A valószínűség-elmélet a kockázatvállalás fogalmából alakult ki. Manapság számos bonyodalmat okoz a szerencsejáték, mint például a focimeccs megnyerése, a kártyázás és az érmedobás vagy a kockadobás.
A valószínűségszámítást számos különböző szektorban használják, és a rugalmasság Valószínűségi elmélet szinte sokféle igényhez kínál eszközöket. Itt a valószínűségszámítást és néhány mintát tárgyaljuk néhány alapvető fogalom és eredmény segítségével.
VÉLETLENSZERŰ KÍSÉRLETEK:
"A véletlenszerű kísérlet egyfajta kísérlet, ahol az eredményt nem lehet megjósolni."
MINTAHELY:
A kísérlet összes lehetséges kimenetelének halmazát mintatérnek nevezzük, általában S-vel jelöljük, és minden tesztkimenetet mintapontnak nevezünk.
Pl.: Gondoljon a véletlenszerű kísérletre, amikor egyszerre 2 érmét dob fel. 4 eredmény alkot egy mintateret, amelyet a következőkkel jelöl: S ={ HH, TT, HT, TH}
ÚT ÉS ESEMÉNY:
Az S mintatér A minden nem üres részhalmazát eseménynek nevezzük. Fontolja meg az érme dobásának kísérletét. Amikor dobunk egy érmét, találhatunk fejet (H) vagy farkot (T). Itt egy érme dobása a nyom, a fej vagy a farok megszerzése pedig esemény.
ÖSSZETETT ESEMÉNYEK:
A két vagy több alapesemény kombinálásával szerzett eseményeket összetett eseményeknek vagy felbontható eseményeknek nevezzük.
TELJES ESEMÉNYEK:
Bármely nyomvonal megvalósítható eredményeinek teljes számát kimerítő eseményeknek nevezzük.
Pl.: Kockadobásnál a lehetséges eredmények 1 vagy 2 vagy 3 vagy 4 vagy 5 vagy 6. Tehát összesen 6 eseményünk van a kockadobásban.
KÖLCSÖNÖSEN KIZÁRÓLAGOS ÉS KITERJESZTŐ RENDSZERRENDSZER:
Legyen S a véletlenszerű kísérlet mintatere, ha X1, X2, …..Xn részhalmazai S és a
(i) Xi ∩ Xj =Φ for i ≠ j és (ii) X1 ∪ X2 ………∪ Xn =S
Aztán ez az X gyűjtemény1∪ X2 ………∪ Xn állítólag egymást kizáró és kimerítő eseményrendszert hoz létre.
Mi az a függetlenség?
Amikor egy jól beállított kártyazsebből kihúzunk egy kártyát, másodsorban pedig a többi kártyacsomagból (ami 51 kártyát tartalmaz) szintén kihúzunk egy kártyát, akkor a második kibontás az elsőn lóg. De ha viszont az első húzott kártya behelyezésével (cseréjével) kivesszük a második kártyát a csomagból, akkor a második húzás független az elsőtől.
Példa: Két érmét dobnak. Legyen az első fejjel rendelkező érme X esemény, az Y pedig a dobás után farkat mutató második érme. Két X és Y esemény alapvetően független.
Példa: Két szép kockát húzunk. Ha páratlan szám kerül az első kockára, tekintse X eseménynek, a második kocka páros számának pedig Y eseménynek.
A két X és Y esemény egymástól független.
Példa: 52 kártyacsomagból kártyát húznak. Ha A = a kártya a szívé, B = kártya egy király és A ⋂ B = kártya a szívek királya, majd események A és a B függőek
KEDVEZŐ ESETSZÁM: Azon esetek száma, amelyek lehetővé teszik egy esemény tárgyalását, azon elsődleges események összesített száma, amelyek bármelyikének szempontja biztosítja az esemény bekövetkezését.
Mit jelent a valószínűség
Ha egy önkényes demonstráció eredménye n össze nem illő, ugyanolyan valószínű és kimerítő eredmények, amelyek közül m egyetértenek egy esemény bekövetkeztével A, akkor annak bekövetkezésének valószínűsége A által adva
Valószínűségi jelölés: P(X)=m/n
Két X és Y esemény esetén
i) X′ vagy x vagy XC jelzi az X nem előfordulását vagy tagadását.
(ii) X ∪ Y azt jelenti, hogy X és Y közül legalább az egyik előfordul.
(iii) X ∩ Y jelentése X és Y egyidejű előfordulására.
(iv) X′ ∩ Y′ jelenti az egyik és a másik X és Y nem előfordulását.
(v) X⊆ Y azt jelenti, hogy „X előfordulása Y előfordulását jelzi”.
Példa: Egy vödör 6 piros és 7 fekete golyót tartalmaz. Határozza meg annak valószínűségét, hogy vörös színű golyókat rajzoljon.
Megoldás: Teljes sz. 1 márvány megszerzésének lehetséges módjai= 6 + 7
1 vörös márvány megszerzésének módjainak száma = 6
Valószínűség = (kedvező esetek száma)/(teljes esetek száma) = 6/13
Példa: Egy 52 kártyacsomagból véletlenszerűen 1 kártya kerül kihúzásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy dámakártyát kap.
Megoldás: Egy királynő kártya 4 módon választható.
1 királynő kártya kiválasztásának összes módja = 52
Valószínűség = kedvező esetek száma / kimerítő esetek száma = 4/52=1/13
Példa: Keresse meg a dobás valószínűségét:
(a) 4-et kapunk, (b) páratlan számot, (c) páros számot
közönséges matricával (hatlappal).
Megoldás: A probléma a kocka probléma
a) Kockadobáskor csak egyféleképpen lehet 4-et szerezni.
Valószínűség = kedvező esetek száma/A kimerítő esetek száma összesen = 1/6
b) A páratlan szám esésének módjai: 1, 3, 5 = 3
Valószínűség = kedvező esetek száma / kimerítő esetek száma = 3/6=1/2
c) A páros szám esési módjainak száma 2, 4, 6 = 3
Valószínűség = kedvező esetek száma / kimerítő esetek száma = 3/6=1/2
Példa: Mennyi az esélye annak, hogy királyt és királynőt találjanak, ha egy 2 játékkártya-csomagból 52 lapot húznak?
Megoldás: 2 kártya húzható egy 52 kártyacsomagból = 52C2 (52 választhat 2) módot
52 C2 =52!/2!(52-2)!=(52*51)/2=1326
1 dámakártya közül 4 dámakártya választható = 4C1=4 mód (4 választható 1)
1 királykártyából 4 király kártya vehető = 4C1=4 mód (4 választható 1)
Kedvező esetek = 4 × 4 = 16 mód
P (1 dáma és 1 király kártya húzása) = Kedvező esetek száma/A teljes esetek száma = 16/1326=8/663
Példa: Mennyi az esélye annak, hogy az első dobásnál 4, 5 vagy 6, a második dobásnál pedig 1, 2, 3 vagy 4 lesz, ha kétszer dobják a kockát.
Megoldás:
Legyen P(A) = annak valószínűsége, hogy az első dobásnál 4, 5 vagy 6 lesz = 3/6=1/2
és P(B) = annak valószínűsége, hogy a második dobásnál 1, 2, 3 vagy 4 lesz, = 4/6=2/3
legyen az események valószínűsége akkor
Példa: Összesen 100 oldalas könyv, ha bármelyik oldal tetszőlegesen ki van választva. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott oldal oldalszámának összes számjegyének összege 11.
Megoldás: A 11 megszerzésének kedvező módjainak száma: (2, 9), (9, 2), (3, 8), (8, 3), (4, 7), (7, 4), (5, 6) ), (6, 5)
Ezért a szükséges valószínűség = 8/100=2/25
Példa: Egy vödör 10 fehér, 6 piros, 4 fekete és 7 kék golyót tartalmaz. Véletlenszerűen 5 golyót húzunk ki. Mekkora a valószínűsége annak, hogy ezek közül kettő piros és egy fekete színű?
Megoldás:
Összesen sz. golyókból= 10 + 6 + 4 + 7 =27
Ebből a 5 golyóból 27 golyó húzható = 27 válasszon 5 módot
= 27C5=27!/[5!(27-5)!]=(27*26*25*24*23)/(5*4*3*2)=80730
Összesen sz. a teljes körű eseményekből = 80730
2 piros golyóból 6 piros golyót lehet húzni = 6 módon
= 6C2=6!/[2!(6-2)!]=(6*5)/2=15
1 fekete golyóból 4 fekete golyót lehet kihúzni= 4 választhat 1 módot= 4C1=4
∴ A kedvező esetek száma = 15 × 4 = 60
Ezért szükséges valószínűség = kedvező esetek száma A kimerítő esetek száma összesen
Következtetés:
A Valószínűségi elmélet nagyon érdekes és alkalmazható a mindennapi életünkben valószínűség az elmélet és a példák ismerősnek tűnnek számunkra, ez valójában egy teljes elmélet, amelyet manapság számos technológia és alkalmazás használ. Ez a cikk csak egy pillantás volt a valószínűség fogalmára, az egymást követő cikkek a valószínűség részletes fogalmával és eredményeivel foglalkoznak. , további tanulmányokért tekintse meg az alábbi könyvet:
Ref: Schaum's Outlines of Probability and Statistics.
Ha más matematikai témákat szeretne olvasni, kérjük, olvassa el ez az oldal.
