Binomiális és Poisson valószínűségi változó és tulajdonságai
Az n ismétléses véletlenszerű kísérlet sikerével és kudarcával foglalkozó valószínűségi változó binomiális valószínűségi változó volt, valószínűségi tömegfüggvényének meghatározása csak a p siker valószínűségével és a q kudarc valószínűségével foglalkozik, a definíció példákkal már láttuk, most, ha megértjük, látjuk az ilyen diszkrét valószínűségi változók néhány tulajdonságát,
A binomiális valószínűségi változó elvárása és varianciája
A binomiális valószínűségi változó elvárása és varianciája n ismétléssel és p a siker valószínűsége
E[X] = np
és Var(X) = np(1-p)
most fontolja meg, hogy e kettőnek a k hatványú valószínűségi változóra vonatkozó elvárását mutassa meg, követve a definícióját valószínűségi tömegfüggvény binomiális valószínűségi változóhoz, mint pl.
ahol Y egy másik binomiális valószínűségi változó n-1 próbával és p a siker valószínűsége, Ha k=1 értéket vesszük, akkor azt kapjuk
E[X] = np
és ha behelyettesítjük k=2-t kapunk
VOLT2] =npE[Y + 1]
=np[(n-1)p + 1]
így könnyen megkapjuk
Var(X)=E[X2] – (E[X])2
=np[(n-1)p + 1] -(np)2
=np(1-p)
Példa: Egy torzítatlan érme esetében végezzük el a 100-szoros feldobás kísérletét, és az ebben az esetben megjelenő farokszámra keressük meg az ilyen kísérlet átlagát, szórását és szórását.
Egy dobás farka a siker valószínűsége p=1/2=0.5
tehát az ilyen kísérlet átlaga az
E[X] = np
mivel a kísérlet binomiális, hiszen csak sikert vagy kudarcot kapunk n számú ismétlésért
tehát mint μ=np
μ=100x(0.5)=50
Hasonlóképpen lesz a szórás és a szórás is
Var(X)= np(1-p)
σ2= np(1-p)
Az érték az lenne
σ2 =(100)(0.5)(0.5)=25
Példa: Határozza meg a 0.1 csavaros tételből a csavargyártó cégnél a 400-es hibásság valószínűségének átlagát és szórását.
itt n=400, p=0.1, átlag= np=400×0.1=40
óta
σ2= np(1-p)
tehát szórása lesz
Példa: Keresse meg a valószínűség pontosan, kevesebb, mint és legalább 2 siker, ha a binomiális valószínűségi változó átlaga és szórása 4, illetve 2.
Mivel átlag = np = 4
és variancia = np(1-p) = 2,
tehát 4(1-p)=2
(1-p)=1/2
p=1-(1/2)
ezt az értéket az átlaggal megadva azt kapjuk
np = 4
n(1/2)=4
n = 8
pontosan 2 siker valószínűsége lesz
2-nél kisebb a siker valószínűsége
p(X < 2)
=P(0) +P(1) = 8C0 p0q8 + 8C1 p1q7
=(1/256)+8 x (1/2) x (1/2)7 = 9 / 256
Legalább 2 siker valószínűsége
p(X>2)= 1- p(X<2)
=1-P(0) – P(1)= 1-[P(0) + P(1)] =1- (9/256)=247/256
Poisson véletlenszerű változó
Az X diszkrét valószínűségi változó, amely a 0,1,2…….. értékeket veszi fel, Poisson-féle véletlenszerű változó, feltéve, hogy bármely λ>0 valószínűségi tömegfüggvénye
or
as
Amikor n nagyon nagy, és p siker valószínűsége nagyon kicsi, ebben az esetben a Poisson valószínűségi változó a valószínűségi tömegfüggvényével a binomiális valószínűségi változó közelítése lett a megfelelő pmf értékkel, mivel ebben az esetben a várakozás, amely np, közepes lesz, és ez legyen λ= np .
Példa: Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a könyv minden olyan oldalán van legalább egy gépelési hiba, amelynek Poisson-eloszlása egyetlen oldalra 1/2 átlaggal.
Jelölje a diszkrét X valószínűségi változó az oldalon található hibákat. tehát a Poisson valószínűségi változó valószínűségi tömegfüggvénye a következő
λ = 1/2
Példa: Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a 10 hibás gyártási valószínűségű gép által előállított 0.1 cikkből álló mintában legfeljebb egy hibás cikk található.
Ezt mind a binomiális valószínűségi tömegfüggvénnyel, mind a Poisson valószínűségi tömegfüggvénnyel meg tudjuk oldani, így ezt Poisson segítségével oldjuk meg
A Poisson valószínűségi változó elvárása és varianciája
A Poisson valószínűségi változó elvárása és varianciája n ismétléssel és p a siker valószínűsége
E[X] = np = λ
és a
Var(X) = np= λ
Az eredmény megjelenítése előtt szem előtt kell tartanunk, hogy a Poisson valószínűségi változó nem más, mint a binomiális valószínűségi változó közelítése, így np= λ most a valószínűségi tömegfüggvény használatával várható
Ez azt jelenti, hogy a Poisson valószínűségi változó matematikai várható értéke megegyezik a paraméterével, hasonlóan a Poisson valószínűségi változó varianciájának és szórásának számításához X négyzetének elvárása szükséges, tehát
A fenti összegzés nyilvánvaló, mivel az összegek közül kettő a várakozás és a valószínűségek összege.
Így a varianciaértéket kapjuk
Var(X) = E[X2] – (E[X])2
=λ
így Poisson valószínűségi változó esetén az átlag és a variancia azonos értékű, azaz np paraméterként.
A Poisson valószínűségi változó jó-e a közelítés különböző folyamatok megállapítására, pl.: földrengések számának megállapítása bizonyos időtartamon belül, elektronszám megállapítása egy fix idő alatt a fűtött katódról, a lehetséges halálozások számának megállapítása meghatározott idő alatt, ill. adott éven belüli háborúk stb
Példa : Számítsa ki annak valószínűségét, hogy az összes utasszám két nap alatt kevesebb, mint 2. Ha az 5-ös átlaggal érkező utasok száma Poisson valószínűségi változót követ. átlag=np=5
Ha a két nap alatti utasok számát 2-nél kevesebbre vesszük, akkor az lenne
| Első nap | Második nap | Összesen |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
így a valószínűsége az lesz kombináció ebből a két napból as
=e-10[1+5+5]
=11e-10
= 114.5410-5
= 4.994 * 10-4
Példa: Számítsa ki 4 vagy több hibás kondenzátor valószínűségét egy 100 db-os kondenzátorból, feltéve, hogy a kondenzátorok gyártási hibája 1%.
Itt p=1%=0.01 és n=100*0.01=1
így használhatjuk a Poisson valószínűségi változók valószínűségi tömegfüggvényét PMF
átlag= np = 100*0.01=1
így a 4 vagy több hibás kondenzátor valószínűsége az lesz
=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]
Példa: Ha 0.002 az esélye annak, hogy egy termék gyártási hibás, akkor 10 ilyen terméket tartalmazó csomag esetén mennyi a valószínűsége annak, hogy egy ilyen csomagban nincs hibás, egy hibás és két hibás termék az 50000 XNUMX darabos szállítmányból ugyanazt a terméket tartalmazó csomagok.
Itt egyetlen csomag hiba valószínűségére, azaz p=0.002, n=10
akkor az átlag np=0.002*10= 0.020
minden esetben találunk mint
A táblázatból tehát jól látható, hogy a nulla, egyes és kettes csomagokban a hibás pengék száma 4900,980,10 lesz.
Következtetés:
Ebben a cikkben az egyik tulajdonságait tárgyaltuk Binomiális valószínűségi változó, Poisson valószínűségi változó és Random Experiment. Szintén még egy diszkrét valószínűségi változó, a Poisson valószínűségi változó, amelyet a tulajdonságokkal tárgyalunk. A valószínűségi tömegfüggvény eloszlása, a várakozás , a variancia és a szórás példa is a jobb megértés érdekében . A következő cikkekben megpróbálunk néhány diszkrétebb valószínűségi változót lefedni, ha további olvasást szeretne, majd menjen végig Matematika oldal.
Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai
