Konzolos gerenda: 11 tény, amit tudnod kell

Tartalom: konzolos gerenda

• Konzolos gerenda meghatározása
• Konzolos gerenda nélküli test diagram
• Konzolos gerenda Peremfeltételek
• Határozza meg a konzolos gerenda belső nyíró- és hajlítónyomatékát x függvényében!
• A nyíróerő és a hajlítási nyomaték meghatározása a szabad végtől 2 m távolságra egy konzolos gerendán egyenletesen elosztott terhelésű (UDL)
• Az egyenletesen elosztott terhelésű konzolos gerenda eltérítési görbéjének egyenlete
• Konzolos gerenda Merevség és vibráció
• Konzolos gerenda hajlítás a tiszta hajlítónyomatéknak köszönhetően, hajlítási feszültséget indukálva
• Az egyenletesen elosztott terhelés (UDL) által kiváltott konzolos hajlítási feszültség megállapítása
• Kérdés és válasz a konzolos gerendán

Konzolos gerenda meghatározása

„A konzol egy merev szerkezeti elem, amely vízszintesen húzódik, és csak az egyik végén van megtámasztva. Általában egy sík függőleges felületről, például falról nyúlik ki, amelyhez szilárdan rögzíteni kell. Más szerkezeti elemekhez hasonlóan a konzol is kialakítható gerendaként, lemezként, rácsként vagy födémként.”

https://en.wikipedia.org/wiki/Cantilever

A konzolos gerenda olyan gerenda, amelynek egyik vége rögzített, a másik vége szabad. A rögzített támaszték megakadályozza a gerenda elmozdulását és forgó mozgását ezen a végén. A konzolos gerenda lehetővé teszi a túlnyúlást minden további támogatás nélkül. Amikor a terhelést a gerenda szabad végére fejtik ki, a konzol továbbítja ezt a terhelést a tartóra, ahol a nyíróerőt [V] és a hajlítási nyomatékot [BM] a rögzített végén fejti ki.

Konzolos gerenda szabad test diagram

Tekintsünk egy konzolos gerendát, amelynek pontterhelése a gerenda szabad végére hat.

A konzolos gerenda szabad test diagramja az alábbiakban látható:

Konzolos gerenda peremfeltételei

A reakcióerők és nyomaték A-nál kiszámítható az egyensúlyi feltételek alkalmazásával

\sum F_y=0, \sum F_x=0 ,\sum M_A=0

A vízszintes egyensúlyhoz

\sum F_x=0

R_{HA}=0

A függőleges egyensúlyhoz

\sum F_y=0 \\R_{VA}-W=0 \\R_{VA}=W

Az A körüli momentum, az óramutató járásával megegyező irányban pozitív és az óramutató járásával ellentétes nyomaték negatívnak tekinthető

WL-M_A=0

M_A=WL

Határozza meg a konzolos gerenda belső nyíró- és hajlítónyomatékát x függvényében!

Tekintsük az alábbi ábrán látható, egyenletesen elosztott terhelésű konzolos gerendát.

Az UDL miatt a sugárra ható eredő terhelést a következőképpen adhatjuk meg

W = egy téglalap területe

W = L * w

W=wL

A wL egyenértékű pontterhelés a sugár közepén fog hatni. azaz az L/2

A sugár szabad testdiagramja válik

A reakció értéke A-nál az egyensúlyi feltételek alkalmazásával számítható ki

\sum F_y=0, \sum F_x=0 ,\sum M_A=0

A vízszintes egyensúlyhoz

\sum F_x=0 \\R_{HA}=0

A függőleges egyensúlyhoz

\sum F_y=0 \\R_{VA}-wL=0 \\R_{VA}=wL

Az A körüli momentum, az óramutató járásával megegyező irányban pozitív és az óramutató járásával ellentétes nyomaték negatívnak tekinthető

wL*\frac{L}{2}-M_A=0 \\M_A=\frac{wL^2}{2}

Legyen XX a vizsgált szakasz egy szabad végtől x távolságra

A korábban tárgyalt Sign-konvenció szerint, ha a nyíróerő számítását a Bal oldal vagy a sugár bal vége, Felfelé ható erő úgy veszik, mint Pozitív, és a Lefelé ható erő úgy veszik, mint Negatív.

A nyíróerő A-nál is 

S.F_A=R_{VA}=wL

a XX. régióban van

S.F_x=R_{VA}-w[Lx] \\S.F_x=wL-wL+wx=wx

A nyíróerő a B pontban van

SF=R_{VA}-wL \\S.F_B=wL-wL=0

A nyíróerő A és B pontban azt jelzi, hogy a nyíróerő lineárisan változik a rögzített végtől a szabad végig.

BMD esetén, ha a hajlítási nyomatékot a Bal oldal vagy a sugár bal vége, Az óramutató járásával megegyező irányú pillanat úgy veszik, mint Pozitív és a Az óramutató járásával ellentétes pillanat úgy veszik, mint Negatív.

BM, A

B.M_A=M_A=\frac{wL^2}{2}

BM, X

B.M_x=M_A-w[Lx] \\B.M_x=\frac{wL^2}{2}-\frac{w(Lx)^2}{2}

\\B.M_x=wx(L-\frac{x}{2})

BM a B-nél

B.M_B=M_A-\frac{wL^2}{2}

\\B.M_B=\frac{wL^2}{2}-\frac{wL^2}{2}=0

A nyíróerő és a hajlítási nyomaték meghatározása a szabad végtől 2 m távolságra egy konzolos gerendán egyenletesen elosztott terhelésű (UDL)

Tekintsük az alábbi ábrán látható, egyenletesen elosztott terhelésű konzolos gerendát. w = csak 20 N/m. L = 10 m, x = 2 m

Az UDL miatt a sugárra ható eredő terhelést a következőképpen adhatjuk meg

W = egy téglalap területe

W = 20*10

W=200 É

A wL egyenértékű pontterhelés a sugár közepén fog hatni. azaz az L/2

A sugár szabad testdiagramja lesz,

A reakció értéke A-nál az egyensúlyi feltételek alkalmazásával számítható ki

\sum F_y=0, \sum F_x=0 ,\sum M_A=0

A vízszintes egyensúlyhoz

\sum F_x=0 \\R_{HA}=0

A függőleges egyensúlyhoz

\sum F_y=0 \\R_{VA}-wL=0 \\R_{VA}=200 N

Az A körüli momentum, az óramutató járásával megegyező irányban pozitív és az óramutató járásával ellentétes nyomaték negatívnak tekinthető

200*\frac{10}{2}-M_A=0
\\M_A=1000 \;N-m

Legyen XX a vizsgált szakasz egy szabad végtől x távolságra

A korábban tárgyalt Sign-konvenció szerint, ha a nyíróerő számítását a Bal oldal vagy a sugár bal vége, Felfelé ható erő úgy veszik, mint Pozitív, és a Lefelé ható erő úgy veszik, mint Negatív.

A nyíróerő A-nál is 

S.F_A=R_{VA}=wL \\S.F_A=200 N

a XX. régióban van

S.F_x=R_{VA}-w[Lx] \\S.F_x=wL-wL+wx=wx

x = 2 m esetén

\\S.F_x=wx=20*2=40\;N

A nyíróerő a B pontban van

SF=R_{VA}-wL \\S.F_B=wL-wL=0

A nyíróerő A és B pontban azt jelzi, hogy a nyíróerő lineárisan változik a rögzített végtől a szabad végig.

BMD esetén, ha a hajlítási nyomatékot a Bal oldal vagy a sugár bal vége, Az óramutató járásával megegyező irányú pillanat úgy veszik, mint Pozitív és a Az óramutató járásával ellentétes pillanat úgy veszik, mint Negatív.

BM, A

B.M_A = M_A

B.M_A=1000\;Nm

BM, X

B.M_x=M_A-w[Lx]

\\B.M_x=\frac{wL^2}{2}-\frac{w(L-x)^2}{2}=wx[L-\frac{x}{2}]

\\B.M_x=20*2*[10-\frac{2}{2}]=360\;N.m

BM a B-nél

B.M_B=M_A-\frac{wL^2}{2}=1000-\frac{20*10^2}{2}=0

Az egyenletesen elosztott terhelésű konzolos gerenda eltérítési görbéjének egyenlete

Tekintsük az alábbi ábrán látható L hosszúságú konzolos gerendát egyenletesen elosztott terhelés mellett. Levezetjük a meredekség és az egyenletet elhajlás ehhez a gerendához a Kettős integrációs módszerrel.

A bal végtől x távolságra ható hajlítónyomaték a következőképpen érhető el:

M=-wx* \frac{x}{2}

A görbe differenciálegyenletét felhasználva,

\frac{d^2y}{dx^2}=M = \frac{-wx^2}{2}

Integráció, ha egyszer megvan,

EI \frac{dy}{dx}= \frac{-wx^3}{6}+C_1………..[1]

Az [1] egyenlet integrálásával azt kapjuk,

EIy= \frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]

Az integrációk állandóit a peremfeltételek felhasználásával kaphatjuk meg,

x = L, dy/dx = 0; mivel az A-nál lévő támasz ellenáll a mozgásoknak. Így az [1] egyenletből azt kapjuk,

C_1=\frac{wL^3}{6}

Ha x = L, y = 0, nincs elhajlás a támasztó vagy fix végén A Így a [2] egyenletből azt kapjuk,

0= \frac{-wL^4}{24}+\frac{wL^3}{6} *L+C_2

C_2= \frac{-wL^4}{8}

Az [1] és [2] konstans értékét behelyettesítve új egyenletkészleteket kapunk, mint pl.

EI \frac{dy}{dx}= \frac{-wx^3}{6}+\frac{wL^3}{6}………..[3]

EIy= \frac{-wx^4}{24}+\frac{wL^3}{6} -\frac{wL^4}{8}……..[4]

Értékelje a lejtőt x = 12 m-nél és a maximális elhajlást a megadott adatok alapján: I = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

A fenti egyenletekből: x = 12 m-nél,

EI \frac{dy}{dx}= \frac{-wx^3}{6}+\frac{wL^3}{6}

210*10^9*722*10^{-8}* \frac{dy}{dx}= \frac{-20*12^3}{6}+\frac{20*20^3}{6}

\frac{dy}{dx}=0.01378 \;radián

A [4] egyenletből

EIy= \frac{-wx^4}{24}+\frac{wL^3}{6} -\frac{wL^4}{8}

210*10^9*722*10^{-8}*y= \frac{-20*12^4}{24}+\frac{20*20^3}{6} -\frac{20*20^4}{8}

y=-0.064 \;m

Konzolos gerenda Merevség és vibráció

A merevség a hajlítási alakváltozással vagy a hajlítónyomatékkal szembeni alakváltozással szembeni ellenállásként határozható meg. A maximálisan kifejtett terhelés és a gerenda maximális kihajlásának arányát a gerenda merevségének nevezhetjük.

A szabad végén W erővel rendelkező konzolos gerenda esetén a maximális elhajlást a következőképpen adja meg

δ=\frac{WL^3}{3EI}

ahol W = alkalmazott terhelés, L = a gerenda hossza, E = Young modulusa, I = a második tehetetlenségi nyomaték

A merevséget az adja,

k=W/δ \\k=W/\frac{WL^3}{3EI}

\\k=\frac{3EI}{L^3} 

A sajátfrekvencia az a frekvencia, amelyen a rendszer hajlamos rezgésre hajtó- vagy ellenállási erő hiányában.

ω_n=\sqrt{k/m} \\ω_n=\sqrt{\frac{3EI}{L^3m}}

ahol m = a sugár tömege.

Konzolos gerenda hajlítás a tiszta hajlításnak köszönhetően Nyomás indukáló hajlítási feszültség

Ha egy elemet egyenlő és ellentétes pároknak vetnek alá az elem síkjában, az tiszta hajlításnak minősül. Tiszta hajlításnál a gerendára ható nyíróerő nulla.

Feltételezések: Az anyag homogén

A Hook törvénye alkalmazandó

A tag prizmás

Egy pár kerül alkalmazásra a tag síkjában

Hajlítás után a gerenda keresztmetszete nem vetemedik meg

A nyúlási profilnak a semleges tengelyhez képest lineárisnak kell lennie

A feszültségeloszlás a semleges tengelytől a gerenda felső és alsó száláig lineáris.

A hajlítási nyomaték Euler-Bernoulli-egyenlete a

\frac{M}{I}=\frac{\sigma_b}{y}=\frac{E}{R}

M = A gerenda keresztmetszetére alkalmazott hajlítónyomaték.

I = Második területi tehetetlenségi nyomaték

σ = Hajlítási feszültség a tagban

y = Függőleges távolság a gerenda semleges tengelye és a kívánt szál vagy elem között mm-ben

E = Young-modulus MPa-ban

R = görbületi sugár mm-ben

Hajlítási feszültség átmérőjű konzolos gerendához d, és az alkalmazott W terhelés a következőképpen adható meg,

A hajlítási feszültség a gerenda rögzített támasztékára hat

A pillanat érvényesült M = WL

A második terület tehetetlenségi nyomatéka

I=\frac{\pi}{64}d^4

A sugár semleges tengelye és a kívánt szál vagy elem közötti függőleges távolság

y=d/2

A hajlítási stresszt úgy adjuk meg

σ=\frac{Saját}{I}

\\σ=\frac{32WL}{\pi d^3}

A konzolos gerendára ható hajlítási feszültség megállapítása egyenletesen elosztott terhelés mellett (UDL)

Tekintsünk egy konzolos gerendát az alábbi ábrán látható egyenletesen elosztott terheléssel I = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

A reakcióerők és nyomaték A-nál kiszámítható az egyensúlyi feltételek alkalmazásával

\sum F_y=0, \sum F_x=0 ,\sum M_A=0

A vízszintes egyensúlyhoz

\sum F_x=0 \\R_{HA}=0

A függőleges egyensúlyhoz

\sum F_y=0 \\R_{VA}-wL=0 \\R_{VA}=200 N

Az A körüli momentum, az óramutató járásával megegyező irányban pozitív és az óramutató járásával ellentétes nyomaték negatívnak tekinthető

200*\frac{10}{2}-M_A=0
\\M_A=1000 \;N-m

Hajlító feszültség

σ=\frac{Saját}{I}

σ=\frac{1000*50*10^{-3}}{2*722*10^{-8}}

σ=3.238\;MPa

Kérdés és válasz a konzolos gerendán

Q.1 Hogyan nevezzük a maximális terhelés és a gerenda maximális elhajlásának arányát?

Válasz: A merevség a hajlítási alakváltozással vagy a hajlítónyomatékkal szembeni alakváltozással szembeni ellenállásként határozható meg. A maximálisan kifejtett terhelés és a gerenda maximális kihajlásának arányát a gerenda merevségének nevezhetjük.

2. kérdés: Konzolos gerenda meghatározása?

Válasz: A konzolos gerenda olyan gerenda, amelynek egyik vége rögzített, a másik vége szabad. A rögzített támaszték megakadályozza a gerenda elmozdulását és forgó mozgását ezen a végén. A konzolos gerenda lehetővé teszi a túlnyúlást minden további támogatás nélkül. Amikor a terhelést a gerenda szabad végére fejtik ki, a konzol ezt a terhelést a tartóra továbbítja, ahol a nyíróerőt [V] és a hajlítási nyomatékot [BM] a rögzített vég felé fejti ki.

3. kérdés Egy konzolos gerendát egyenletesen elosztott terhelés éri a gerenda hosszában. Milyen lesz a nyíróerő és hajlítási nyomaték diagram alakja?

Válasz: Olyan konzolos gerenda esetén, amely a gerenda hosszában egyenletesen elosztott terhelésnek van kitéve, a nyíróerő diagram alakja egy lineáris görbe és Hajlítási pillanat diagram parabolikus görbe lesz.

Q.4 Egy konzolt egyenletesen változó terhelés éri a gerenda hosszában, nullától kezdve a szabad végétől, milyen lesz a nyíróerő és hajlítási nyomaték diagram alakja?

Válasz: A gerenda hossza mentén egyenletesen változó terhelésnek kitett konzolos gerenda esetében a nyíróerő diagram alakja parabolikus görbe, a hajlítási nyomaték diagram pedig egy köbös vagy harmadfokú görbe.

Q.5 Hol hat a feszültség és a nyomás a konzolos gerendák hajlításában?

Válasz: Egy adott fesztávú konzolos gerendánál a maximális hajlítófeszültség a gerenda fix végén lesz. Lefelé irányuló nettó terhelés esetén a maximális húzó hajlítófeszültség a keresztmetszet tetejére hat, és max kompressziós stressz a gerenda alsó szálára hat.

6. kérdés: Egy konzolt nyomatéknak (M) vetnek ki a gerenda hosszában, mekkora lesz a nyíróerő és a hajlítási nyomaték?

Válasz: Egy nyomatéknak kitett konzolos gerendához M a gerenda hossza felett a nyíróerő nulla lesz, mivel nem hat külső hajlítóerő a gerendára, és a hajlítónyomaték állandó marad a gerenda teljes hosszában.

Tudni az anyag szilárdságáról (kattints ide)és hajlítási nyomaték diagram Kattintson ide