A függvénygráfok jellemzői
A függvénygráfok jellemzői, ez a cikk a függvények grafikus megjelenítésének fogalmát tárgyalja a függvényben jelenlévő változó értéke mellett. Hogy az olvasók könnyen megértsék a módszertant.
Melyik gráf reprezentálja az f(X) = |x-2| függvényeket – 1?
Egy pillantás a jobb oldali kifejezésre arra késztet bennünket, hogy elgondolkodjunk, mi az a két sáv -2 körül? Nos, ezek az oszlopok a matematikában egy nagyon speciális függvény jelölése, amelyet moduluszfüggvénynek vagy abszolútérték-függvénynek neveznek. Ez a funkció nagyon fontos függvényelmélet hogy érdemes néhány szót az eredetéről.
Tegyük fel, hogy meg kell határoznunk az egyik városból a másikba való eljutáshoz szükséges időt. Ebben az esetben nem csak a két város távolságára leszünk kíváncsiak? Lesz-e jelentősége az iránynak? Hasonlóképpen, a számítások tanulmányozása során gyakran kell elemeznünk két szám közelségét, ami a különbségük abszolút értéke. Nem érdekel minket, hogy a különbség pozitív vagy negatív. Karl Weierstrass német matematikus volt az, aki felismerte egy olyan függvény szükségességét, amely egy szám abszolút értékét fejezi ki. 1841-ben Weierstrass meghatározta a Modulus függvényt, és a két sávot használta szimbólumaként.
f(x) = x minden x>0 esetén
=-x minden x<0 esetén
= 0 x=0 esetén
Rövidítés: f(x) = |x|
A definícióból egyértelmű, hogy ennek a függvénynek nincs hatása pozitív számra. Azonban egy negatív számot pozitív számmá változtat, amelynek abszolút értéke azonos. Ennélfogva
|5| = 5
7–2 = 5
|-5| = 5
|2-7| = 5
Az |x| grafikonjának megrajzolásához f(x) = x grafikonjával kell kezdenünk, amely egyszerűen egy egyenes az origón keresztül, amely 45 fokkal dől az X tengely pozitív oldalához
Elmondható, hogy ennek a gráfnak a felső fele megmarad f(x) = |x| mivel ez a függvény nem változtatja meg a pozitív számokat. A grafikon alsó felének azonban oldalt kell váltania, mert |x| mindig pozitívnak kell lennie. Tehát az f(x)=x alsó felében lévő összes pont a felső felére kerül, az X tengelytől azonos távolságot tartva. Más szóval, az egész F(x) BAL FELE = |x| TÉNYLEG AZ f(x) = x ALSÓ FÉNEK VISSZAVERÜLÉSE az X tengely körül.
A fenti ábrán a jobb fele az |x| grafikonjait mutatja és x egymásra helyezve, míg a bal fele az egyiket a másik tükörképeként mutatja. Fontos megjegyezni, hogy ez a technika bármely funkcióra kiterjeszthető. Más szavakkal, könnyen elképzelhető az |f(x)| gráfja ha már ismerjük f(x) gráfját. A kulcs az alsó felének az X tengely körüli tükröződésével való helyettesítése.
Most már tudjuk, hogyan kell ábrázolni |x|. De az eredeti problémánk megköveteli az |x-2| ábrázolását. Nos, ez nem más, mint a származási eltolódás (0,0)-ról (2,0)-ra, mivel egyszerűen csökkenti az összes pont X leolvasását 2 egységgel, így az f(x)-et f(x-2)-vé alakítja.
Most a -1 az egyetlen dolog, amire vigyázni kell. Ez azt jelenti, hogy az |x-1| összes pontjából ki kell vonni 2-et. Más szavakkal, ez azt jelenti, hogy a grafikont függőlegesen lefelé húzzuk 1 egységgel. Tehát az új csúcs (2) helyett (1,-2,0) lenne.
Melyik gráf reprezentálja az f(X)= -|x-2| függvényeket – 1?
Nos, ennek elég egyszerűnek kell lennie a most elvégzett elemzés után. Az egyetlen különbség itt egy mínuszjel az |x-2| előtt. A mínusz előjel egyszerűen megfordítja |x-2| grafikonját az X tengelyhez képest. Tehát újraindíthatjuk az előzőt probléma csak a lényeg után ahol az |x-2| grafikonja volt. De ezúttal a -1 figyelembe vétele előtt megfordítjuk a grafikont.
Ezután egy egységgel lejjebb húzzuk, hogy beépítsük a -1-et. És kész.
Egy függvény grafikonjának lineárisnak kell lennie, ha milyen karakterisztikával rendelkezik?
Mi az egyenes vonal? Általában egy sík felület két pontja közötti minimális távolságként határozzák meg. De más oldalról is meg lehet határozni. Mivel az XY sík pontok gyűjteménye, ezen a síkon bármelyik egyenest tekinthetjük egy mozgó pont helyének vagy nyomának, vagy olyan pontnak, amelynek X,Y koordinátái változnak.
Az egyenes vonal mentén történő mozgás azt jelenti, hogy a mozgás irányváltoztatás nélkül történik. Más szóval, ha egy pont egy adott pontból indul el, és csak egy adott irányba mozog, akkor azt mondjuk, hogy egy egyenest követ. Tehát, ha a lineáris gráfot függvényként akarjuk kifejezni, akkor meg kell találnunk az állandó irányú feltétel egyenletét.
De hogyan fejezzük ki az irányt matematikailag? Nos, mivel már van két vonatkoztatási tengelyünk az XY síkban, egy egyenes iránya kifejezhető azzal a szöggel, amelyet a két tengellyel bezár. Tehát tegyük fel, hogy egy egyenes α szöget zár be. De ez párhuzamos vonalak családját jelentené, és nem csak egyetlen egyet. Tehát az α nem lehet az egyetlen paraméter a vonalhoz.
Vegye figyelembe, hogy a vonalak csak az Y metszéspontjukban különböznek. Az Y metszéspont az a távolság az origótól, ahol az egyenes találkozik az Y tengellyel. Nevezzük ezt a paramétert C-nek. Tehát két paraméterünk van, α és C. Most próbáljuk meg levezetni az egyenes egyenletét.
Az ábrából a derékszögű háromszögből egyértelműnek kell lennie, hogy az egyenes bármely pontjára (x,y) a szabályozó feltételnek
(yc)/x = tanα.
⟹ y = xtanα + c
⟹y = mx + c ahol m=tanα
Ezért minden y=ax+b formájú egyenletnek egyenest kell képviselnie. Más szavakkal, f(x) = ax + b a függvény kívánt formája, hogy lineáris legyen.
Ugyanez levezethető az egyenes hagyományos definíciójából is, amely szerint az egyenes a legrövidebb út egy sík felület két pontja között. Tehát legyen (x1,y1) és (x2,y2) két pont egy egyenesen.
Az egyenes bármely más pontjára egy feltétel származtatható a három pont által alkotott két szakasz meredekségének egyenlővé tételével, mivel az egyenesnek meg kell tartania a meredekségét az összes szakaszon. Ezért az egyenlet
(yy1)/(xx1)= (y2-y1)/(x2-x1)
⟹y(x2-x1) + x(y1-y2) + (x1y2-y1x2) = 0
Ez az egyenlet Ax + By + C = 0 alakú, amely felírható az y=ax+b alakban, amit lineáris függvény alakjában ismerünk.
Melyik grafikont használják egy megadott változó változásának megjelenítésére, amikor egy második változót megváltoztatnak?
Egy függvény ideális gráfjának megrajzolásához vagy határozott algebrai kifejezésre vagy végtelen számú adatpontra van szükségünk. A való életben mindkettő nem elérhető legtöbbször. A rendelkezésünkre álló adatok szórtak. Más szavakkal, lehet, hogy van egy listánk az (x,y) pontokból, amelyeket fel lehet ábrázolni a grafikonon, de előfordulhat, hogy a pontok nem helyezkednek el túl sűrűn. De ezeket a pontokat mindenképpen össze kell kapcsolnunk, mivel nincs más mód a változók mintázatának vagy trendjének vizsgálatára. Az így kapott gráfot vonalgráfnak nevezzük.
Azért nevezték így, mert a szomszédos pontokat egyenes vonalak kötik össze. Ez a grafikon a legalkalmasabb két olyan változó közötti kapcsolat szemléltetésére, ahol az egyik a másiktól függ, és mindkettő változik. Az idősoros grafikonok példák a vonalgráfokra, ahol az X tengely az időt mutatja óra/nap/hónap/év egységekben, az Y tengely pedig azt a változót, amelynek értéke idővel változik.
| Értékesítés | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
| Év | 4000 | 4700 | 4450 | 4920 | 5340 | 5120 | 5450 | 5680 | 5560 | 5900 |
Periódusos funkció
Amikor a függő változó megismétli az értékét a független változó meghatározott periódusában vagy intervallumában, a függvényt periodikusnak nevezzük. Az intervallumot periódusnak vagy alapperiódusnak nevezik, néha alapperiódusnak vagy főperiódusnak is. A függvény periodikusságának kritériuma valamilyen T valós állandó, f(x+T) = f(x). Ez azt jelenti, hogy f(x) megismétli az értékét x minden T egysége után. A függvény értékét bármely ponton feljegyezhetjük, és ugyanazt az értéket találjuk az adott ponthoz jobbra és balra T egységeknél. Ez a periodikus függvény jellemzője.
A fenti ábra Sinx periodikus viselkedését ábrázolja. Vegyünk x két véletlenszerű értékét, mint x1 és x2, és húzunk az x tengellyel párhuzamos egyeneseket a sin(x1) és sin(x2) értékekből. Megjegyezzük, hogy mindkét egyenes pontosan 2π távolságra találkozik a gráfgal. Ezért a Sinx periódusa 2π. Tehát bármelyik x-re felírhatjuk sin(x+2 π) = sinx. A többi trigonometrikus függvény is periodikus. A koszinusz periódusa ugyanaz, mint a Sin, és a kosec és a sec. A Tannak π periódusa van, és a Cot-nak is.
Melyik tag adja meg egy periodikus függvénynek egy vízszintes egységben előforduló ciklusainak számát?
Egy teljes időszakot ciklusnak nevezünk. Tehát pontosan egy ciklus van x T egységében. Ezért van 1/T ciklus az x egy egységében. Az 1/T szám különösen fontos a periodikus függvények tanulmányozásában, mivel ez jelzi, hogy a függvény milyen gyakran ismétli meg az értékeit. Ezért a „frekvencia” kifejezés az 1/T számhoz van rendelve. A frekvenciát 'f'-vel jelöljük, ami nem tévesztendő össze a függvény 'f'-jével. Minél nagyobb a frekvencia, annál több ciklus van egységenként. A frekvencia és a periódus fordítottan arányos egymással, f = 1/T vagy T = 1/f összefüggésben. Sin(X) esetén a periódus 2π, tehát a frekvencia 1/2π lenne.
Példák:
- Számítsa ki a Sin periódusát és gyakoriságát (3x)
Mivel a Sin(x)-nek egy ciklusa van a 2π-ben, a Sin(3x)-nek 3 ciklusa lesz 2π-ben, mivel x háromszor gyorsabban halad Sin(3x-ban). Tehát a frekvencia háromszorosa a Sin(x) -nek, azaz 3/3π. Ez a periódus 3/(2/1π) = 3π/2
- Számítsa ki a Sin2x+sin3x periódusát!
Vegye figyelembe, hogy a fundamentális periódus bármely egész számú többszöröse egyben periódus is. Ebben a feladatban a függvénynek két összetevője van. Az első periódusa π, a másodiké 2π/3. De ez a kettő különbözik, így egyik sem lehet az összetett függvény periódusa. De bármilyen legyen is a kompozíció időszaka, annak az összetevők időszakának is kell lennie. Tehát mindkettőnek közös egészszámú többszörösének kell lennie. De ezekből végtelenül sok lehet. Így az alapperiódus az összetevők periódusainak legkisebb közös többszöröse lenne. Ebben a feladatban Lcm(π,2π/3) = 2π
- Számítsa ki a (Sin2x + Sin5x)/(Sin3x + Sin4x) periódusát
Triviális, de elég érdekes megfigyelni, hogy az előző feladatban kitalált szabály valóban érvényes a periodikus függvények bármely összetételére. Tehát ebben az esetben is a hatásos periódus a komponensek periódusainak LCM-je lenne. Ez LCM(π,2π/5,2π/3, π/2) = 2π
- Számítsa ki a Sinx + sin πx periódusát!
Eleinte kézenfekvőnek tűnik, hogy a periódus LCM(2π,2) legyen, de aztán rájövünk, hogy ilyen szám nem létezik, mivel a 2π irracionális, így a többszörösei is, a 2 pedig a racionális és a többszörösei is. Tehát ennek a két számnak nem lehet közös egész számú többszöröse. Ezért ez a függvény nem periodikus.
Az {x} törtrészfüggvény periodikus.
f(x)={x}
Ezt törtrészfüggvénynek nevezik. Meghagyja a valós szám legnagyobb egész részét, és csak a tört részt hagyja ki. Tehát értéke mindig 0 és 1 között van, de soha nem egyenlő 1-gyel. Ennek a grafikonnak egyértelművé kell tennie, hogy 1-es periódusa van.
KÖVETKEZTETÉS
Eddig a függvénygráfok jellemzőit tárgyaltuk. Most már tisztában kell lennünk a jellemzőkkel és a különböző típusú grafikonokkal. Volt elképzelésünk a függvények grafikus értelmezésére is. A következő cikk sokkal részletesebben foglalkozik az olyan fogalmakkal, mint a tartomány és a tartomány, az inverz függvények, a különféle függvények és grafikonjaik, valamint sok kidolgozott probléma. Ha mélyebben szeretne belemenni a tanulmányba, kérjük, olvassa el az alábbiakat
Michael Spivak kalkulusa.
Michael Artin algebra.
További matematikai cikkekért kérjük kattints ide.
