13 tény a Csebisev-féle egyenlőtlenségről és a központi határtételről

A valószínűségszámításban a Csebisev egyenlőtlensége A & centrális határeloszlástétel azokkal a helyzetekkel foglalkozik, amikor nagyszámú valószínűségi változó összegének valószínűségi eloszlását szeretnénk megtalálni megközelítőleg normális feltétel mellett. A határtételek vizsgálata előtt látunk néhány egyenlőtlenséget, amely megadja a valószínűségek korlátait, ha a az átlag és a szórás ismert.

Markov egyenlőtlensége

A Markov-egyenlőtlenség az X valószínűségi változóra, amely a>0 esetén csak pozitív értéket vesz fel

ennek bizonyításához a>0 fontoljuk meg

Óta

most figyelembe véve ezt az egyenlőtlenséget, amit kapunk

az ok az

amely megadja a Markov-egyenlőtlenséget a>0 as esetén

Csebisev egyenlőtlensége

 A végesnek X valószínűségi változó átlaga és szórása a Csebisev-egyenlőtlenség mert k>0 az

ahol a szigma és a mu a valószínűségi változó varianciáját és átlagát jelenti, ennek bizonyítására a Markov egyenlőtlensége mint a nem negatív valószínűségi változó

a mint állandó négyzet értékére tehát

ez az egyenlet ekvivalens

mint egyértelműen

Példák Markov és Csebisev egyenlőtlenségére:

  1. Ha egy adott cikk termelését vesszük véletlen változónak a hétre 50-es átlaggal, akkor keressük meg annak valószínűségét, hogy egy hét alatt a termelés meghaladja a 75-öt, és mekkora lenne a valószínűsége annak, ha egy hét termelése 40 és 60 között van, ennek szórása mellett. a hét 25?

Megoldás: Tekintsük az X valószínűségi változót a cikk gyártására egy hétig, majd a 75-öt meghaladó gyártási valószínűség meghatározásához használjuk Markov egyenlőtlensége as

Most a 40 és 60 közötti termelés valószínűségét fogjuk használni, 25 szórással Csebisev egyenlőtlensége as

so

ez a hét valószínűségét mutatja, ha a termelés 40 és 60 között van, az 3/4.

2. Mutassuk meg, hogy a Csebisev egyenlőtlensége amely a valószínűség felső korlátját adja, nincs különösebben közelebb a valószínűség tényleges értékéhez.

Megoldás:

Tekintsük, hogy az X valószínűségi változó egyenletesen oszlik el 5 átlaggal és 25/3 szórással a (0,1) intervallumon, majd a Csebisev egyenlőtlensége tudunk írni

de a tényleges valószínűség az lesz

ami szintén messze van a tényleges valószínűségtől, ha az X valószínűségi változót normál eloszlásúnak vesszük átlaggal és szórással, akkor Csebisev egyenlőtlensége lesz

de a tényleges valószínűség az

A nagy számok gyenge törvénye

A valószínűségi változók sorozatára vonatkozó gyenge törvényt az az eredmény fogja követni, hogy Csebisev egyenlőtlensége bizonyítási eszközként használható, például bizonyításra

ha a variancia nulla, akkor csak azok a valószínűségi változók, amelyek szórása egyenlő 0-val, azok, amelyek állandóak 1 valószínűséggel, így Csebisev egyenlőtlensége ha n nagyobb vagy egyenlő, mint 1

as

a valószínűség folytonossága által

ami bizonyítja az eredményt.

ennek bizonyítására feltételezzük, hogy a variancia is véges a sorozat minden valószínűségi változójára, így a várakozás és a szórás

most a Csebisev egyenlőtlensége az as valószínűség felső határa

amely n-re a végtelenbe hajló lesz

Központi határérték tétel

A központi határérték tétel a valószínűségszámítás egyik fontos eredménye, mivel nagy számok összegének eloszlását adja meg, amely megközelítőleg normális terjesztés a független valószínűségi változók összegére vonatkozó közelítő valószínűségek meghatározásának módszere mellett a centrális határtétel azt is megmutatja, hogy sok természetes populáció empirikus gyakorisága harang alakú átlagos normálgörbét mutat. Mielőtt a tétel részletes magyarázatát adnánk, felhasználjuk az eredményt.

„Ha a valószínűségi változók sorozata Z1,Z2,…. az eloszlásfüggvény és a nyomatékgeneráló függvény FZn és Mzn akkor

Központi határérték tétel: Azonos eloszlású és független X valószínűségi változók sorozatához1,X2,……. amelyek mindegyikének átlaga μ és variancia σ2 akkor az összeg eloszlása

a standard normálra hajlik, míg n a végtelenre hajlik, hogy a valós értékek legyenek

Bizonyítás: Az eredmény bizonyításához tekintsük az átlagot nullának, a szórást pedig egynek, azaz μ=0 és σ2=1 és a pillanatgeneráló függvény mert Xi létezik és véges értékű, így az X valószínűségi változó pillanatgeneráló függvényei/√n lesz

hene a ΣX összeg pillanatgeneráló függvényei/√n lesz

Most vegyük L(t)=logM(t)

so

hogy megmutassuk a bizonyítékot, amit először mutatunk

ekvivalens formájának bemutatásával

óta

így ez az eredményt mutatja az átlag nullára és a variancia 1-re, és ugyanez az eredmény következik általános esetre is úgy, hogy

és minden a mi

Példa a központi határérték tételére

A csillagász laborjából egy csillag fényévben mért távolságának kiszámításához néhány mérési technikát használ, de a légkör minden alkalommal bekövetkező változása miatt a mért távolság nem pontos, de némi hibával, így meg akarja találni a pontos távolságot, amelyet tervez. folyamatosan figyelje meg sorban és ezeknek a távolságoknak az átlagát a becsült távolság, Ha a mérési értékeket azonos eloszlású és független valószínűségi változónak tekinti, d átlaggal és 4 fényév szórással, keresse meg a mérések számát, hogy megkapja a 0.5-ös hibát. becsült és tényleges értékben?

Megoldás: Tekintsük a méréseket független valószínűségi változóknak az X sorozatban1,X2,…….Xn tehát a Központi határérték tétel tudunk írni

ami a szabványhoz való közelítés normális eloszlás tehát a valószínűsége az lesz

tehát a mérés 95 százalékos pontosságának eléréséhez a csillagásznak n* távolságot kell mérnie, ahol

tehát a normál eloszlási táblából úgy írhatjuk ki

amely szerint a mérést 62 alkalommal kell elvégezni, ez is megfigyelhető a segítségével Csebisev egyenlőtlensége azáltal, hogy

így az egyenlőtlenség azt eredményezi

így n=16/0.05=320 esetén, ami bizonyosságot ad arról, hogy a csillag megfigyelési laboratóriumtól való távolságának mérésében csak 5 százalékos hiba lesz.

2. A mérnök szakra felvett hallgatók száma Poisson eloszlású 100 átlaggal, úgy döntöttek, hogy ha a felvett hallgatók száma legalább 120 fő, akkor az oktatás két szekcióban történik, egyébként csak egy szekcióban, mennyi a valószínűsége annak, hogy két részből álljon a tanfolyam?

Megoldás: A Poisson-eloszlás követésével a pontos megoldás lesz

amely nyilvánvalóan nem adja meg az adott számértéket, Ha az X valószínűségi változót úgy tekintjük, ahogyan a hallgatók elismerték, akkor a központi határérték tétel

Melyik lehet

ami a számérték.

3. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a tíz dobókockák összege dobáskor 30 és 40 között van, beleértve a 30-at és 40-et is?

Megoldás: Ha a kockát X-nek tekintjüki i tíz értékére. az átlag és a szórás lesz

így követve a központi határérték tétel tudunk írni

ami a szükséges valószínűség.

4. Az egyenletes eloszlású független valószínűségi változókra Xi a (0,1) intervallumon mi lesz a valószínűség közelítése

Megoldás: Az Unifrom eloszlásból tudjuk, hogy az átlag és a szórás lesz

Most a központi határérték tétel tudunk

így a valószínűségi változó összege 14 százalék lesz.

5. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a vizsga értékelője 25 vizsga érdemjegyet adjon 450 percben, ha van 50 olyan vizsga, amelyek értékelési ideje független 20 perces átlaggal és 4 perces szórással.

Megoldás: Tekintsük a vizsga X valószínűségi változóval való osztályozásához szükséges időti tehát az X valószínűségi változó lesz

mivel ez a feladat 25 vizsgára 450 percen belül van így

itt a központi határérték tétel

ami a szükséges valószínűség.

Central Limit tétel független valószínűségi változókhoz

A nem azonos eloszlású, de független X valószínűségi változókkal rendelkező sorozatra1,X2,……. amelyek mindegyikének átlaga μ és varianciája σ2 feltéve, ha kielégíti

  1. mindegyik Xi egységesen határolt
  2. az eltérések összege tehát végtelen

A nagy számok erős törvénye

A nagy számok erős törvénye nagyon fontos fogalma a Valószínűségi elmélet amely azt mondja, hogy egy közös eloszlású valószínűségi változó sorozatának átlaga annak a valószínűséggel konvergál majd ugyanazon eloszlás átlagához

nyilatkozat: Az azonos sorozathoz megosztott és független X valószínűségi változók1,X2,……. amelyek mindegyikének véges átlaga egy valószínűséggel akkor

Bizonyítás: Ennek bizonyításához vegyük figyelembe, hogy minden valószínűségi változó átlaga nulla, és a sorozat

most ehhez tekintse ennek erejét

a jobb oldali kifejezések kibontását követően megkapjuk az űrlap feltételeit

mivel ezek függetlenek, így ezek átlaga is az lesz

a pár kombinációjának segítségével most a sorozat bővülése lesz

óta

so

kapunk

ez az egyenlőtlenségre utal

ennélfogva

A sorozatok konvergenciájával, mivel minden valószínűségi változó valószínűsége egy olyan

óta

ha az egyes valószínűségi változók átlaga nem egyenlő nullával, akkor az eltéréssel és a valószínűséggel egy felírhatjuk úgy

or

ami szükséges eredmény.

Egyoldalú Csebisev-egyenlőtlenség

Az egyoldali Chebysheve-egyenlőtlenség az X valószínűségi változóhoz átlagos nullával és véges varianciával, ha a>0

Csebisev egyenlőtlensége
Csebisev egyenlőtlenség

ennek bizonyításához vegyük figyelembe b>0 esetén az X valószínűségi változót mint

ami ad

tehát a Markov egyenlőtlensége

Csebisev egyenlőtlensége
egyoldalú csebisev

amely megadja a szükséges egyenlőtlenséget. az átlagra és a szórásra úgy írhatjuk fel

Ez a továbbiakban így írható

Példa:

Határozzuk meg annak a valószínűségének felső korlátját, hogy a véletlenszerűen elosztott vállalat termelése legalább 120 lesz, ha ennek a bizonyos vállalatnak a termelése 100-as átlaggal és 400-as variancia-értékkel rendelkezik.

Megoldás:

Az egyoldalas használata csebisev egyenlőtlenség

így ez megadja az egy héten belüli termelés valószínűségét, legalább 120 az 1/2, most ennek a valószínűségnek a korlátját úgy kapjuk meg, hogy Markov egyenlőtlensége

amely a valószínűség felső korlátját mutatja.

Példa:

Kétszáz személyből száz párt veszünk, száz férfi és száz nő találja meg annak a valószínűségének felső határát, hogy legfeljebb harminc pár lesz egy férfi és egy nő.

Megoldás:

Legyen az X valószínűségi változói as

így a pár kifejezhető úgy

Mivel minden férfi egyformán tud párosulni a megmaradt emberekkel, akikben százan vannak nők, így az átlagos

ugyanúgy, ha i és j nem egyenlők akkor

as

ezért van

használatával Csebisev egyenlőtlenség

ami azt mondja, hogy 30 férfi és nő párosításának lehetősége hatnál kevesebb, így a kötöttséget javítani tudjuk a egyoldalú csebisev egyenlőtlenség

Chernoff Bound

Ha a pillanatgeneráló függvény már ismert, akkor

as

ugyanúgy írhatunk t<0-ra, mint

Így a Chernoff-korlát definiálható

ez az egyenlőtlenség t minden pozitív vagy negatív értékére vonatkozik.

A standard normál valószínűségi változó Chernoff-határai

A Chernoff határt szab a szabványnak normál valószínűségi változó amelynek pillanatgeneráló függvénye

is

így ennek az egyenlőtlenségnek és a jobb oldali hatványtagoknak a minimalizálása a>0-t ad

és a<0 esetén az

A Poisson valószínűségi változó Chernoff-határai

A Chernoff-korlát a Poisson valószínűségi változóra, amelynek pillanatgeneráló függvénye

is

így ennek az egyenlőtlenségnek és a jobb oldali hatványtagoknak a minimalizálása a>0-t ad

és az lenne

Példa a Chernoff-határokra

Egy játékban, ha egy játékos egyenlő valószínűséggel nyeri vagy elveszíti a meccset, függetlenül bármely korábbi pontszámtól, keresse meg a valószínűséghez kötött csernoffot.

Megoldás: Legyen Xi jelölje a játékos nyerését, akkor annak valószínűsége lesz

n színdarab sorozatához legyen

tehát a pillanatgeneráló függvény lesz

itt az exponenciális tagok kiterjesztését használva

így van

most a pillanatgeneráló függvény tulajdonságát alkalmazva

Ez adja az egyenlőtlenséget

ennélfogva

Következtetés:

Megtárgyaltuk a nagy számokra vonatkozó egyenlőtlenségeket és határtételt, valamint a valószínűségi határokra igazolható példákat is vettünk, hogy bepillantást nyerjünk az elképzelésbe. Szintén a normál, Poisson valószínűségi változó és momentumgeneráló függvény segítségével demonstráljuk. A koncepció könnyen használható, ha további olvasásra van szüksége, olvassa el az alábbi könyveket, vagy ha további cikkeket szeretne a valószínűségről, kövesse a mi Matematikai oldalak.

Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól

Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai

ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba

Lapozzon a lap tetejére