A valószínűségszámításban a Csebisev egyenlőtlensége A & centrális határeloszlástétel azokkal a helyzetekkel foglalkozik, amikor nagyszámú valószínűségi változó összegének valószínűségi eloszlását szeretnénk megtalálni megközelítőleg normális feltétel mellett. A határtételek vizsgálata előtt látunk néhány egyenlőtlenséget, amely megadja a valószínűségek korlátait, ha a az átlag és a szórás ismert.
Markov egyenlőtlensége
A Markov-egyenlőtlenség az X valószínűségi változóra, amely a>0 esetén csak pozitív értéket vesz fel
ennek bizonyításához a>0 fontoljuk meg
Óta
most figyelembe véve ezt az egyenlőtlenséget, amit kapunk
az ok az
amely megadja a Markov-egyenlőtlenséget a>0 as esetén
Csebisev egyenlőtlensége
A végesnek X valószínűségi változó átlaga és szórása a Csebisev-egyenlőtlenség mert k>0 az
ahol a szigma és a mu a valószínűségi változó varianciáját és átlagát jelenti, ennek bizonyítására a Markov egyenlőtlensége mint a nem negatív valószínűségi változó
a mint állandó négyzet értékére tehát
ez az egyenlet ekvivalens
mint egyértelműen
Példák Markov és Csebisev egyenlőtlenségére:
- Ha egy adott cikk termelését vesszük véletlen változónak a hétre 50-es átlaggal, akkor keressük meg annak valószínűségét, hogy egy hét alatt a termelés meghaladja a 75-öt, és mekkora lenne a valószínűsége annak, ha egy hét termelése 40 és 60 között van, ennek szórása mellett. a hét 25?
Megoldás: Tekintsük az X valószínűségi változót a cikk gyártására egy hétig, majd a 75-öt meghaladó gyártási valószínűség meghatározásához használjuk Markov egyenlőtlensége as
Most a 40 és 60 közötti termelés valószínűségét fogjuk használni, 25 szórással Csebisev egyenlőtlensége as
so
ez a hét valószínűségét mutatja, ha a termelés 40 és 60 között van, az 3/4.
2. Mutassuk meg, hogy a Csebisev egyenlőtlensége amely a valószínűség felső korlátját adja, nincs különösebben közelebb a valószínűség tényleges értékéhez.
Megoldás:
Tekintsük, hogy az X valószínűségi változó egyenletesen oszlik el 5 átlaggal és 25/3 szórással a (0,1) intervallumon, majd a Csebisev egyenlőtlensége tudunk írni
de a tényleges valószínűség az lesz
ami szintén messze van a tényleges valószínűségtől, ha az X valószínűségi változót normál eloszlásúnak vesszük átlaggal és szórással, akkor Csebisev egyenlőtlensége lesz
de a tényleges valószínűség az
A nagy számok gyenge törvénye
A valószínűségi változók sorozatára vonatkozó gyenge törvényt az az eredmény fogja követni, hogy Csebisev egyenlőtlensége bizonyítási eszközként használható, például bizonyításra
ha a variancia nulla, akkor csak azok a valószínűségi változók, amelyek szórása egyenlő 0-val, azok, amelyek állandóak 1 valószínűséggel, így Csebisev egyenlőtlensége ha n nagyobb vagy egyenlő, mint 1
as
a valószínűség folytonossága által
ami bizonyítja az eredményt.
ennek bizonyítására feltételezzük, hogy a variancia is véges a sorozat minden valószínűségi változójára, így a várakozás és a szórás
most a Csebisev egyenlőtlensége az as valószínűség felső határa
amely n-re a végtelenbe hajló lesz
Központi határérték tétel
A központi határérték tétel a valószínűségszámítás egyik fontos eredménye, mivel nagy számok összegének eloszlását adja meg, amely megközelítőleg normális terjesztés a független valószínűségi változók összegére vonatkozó közelítő valószínűségek meghatározásának módszere mellett a centrális határtétel azt is megmutatja, hogy sok természetes populáció empirikus gyakorisága harang alakú átlagos normálgörbét mutat. Mielőtt a tétel részletes magyarázatát adnánk, felhasználjuk az eredményt.
„Ha a valószínűségi változók sorozata Z1,Z2,…. az eloszlásfüggvény és a nyomatékgeneráló függvény FZn és Mzn akkor
Központi határérték tétel: Azonos eloszlású és független X valószínűségi változók sorozatához1,X2,……. amelyek mindegyikének átlaga μ és variancia σ2 akkor az összeg eloszlása
a standard normálra hajlik, míg n a végtelenre hajlik, hogy a valós értékek legyenek
Bizonyítás: Az eredmény bizonyításához tekintsük az átlagot nullának, a szórást pedig egynek, azaz μ=0 és σ2=1 és a pillanatgeneráló függvény mert Xi létezik és véges értékű, így az X valószínűségi változó pillanatgeneráló függvényei/√n lesz
hene a ΣX összeg pillanatgeneráló függvényei/√n lesz
Most vegyük L(t)=logM(t)
so
hogy megmutassuk a bizonyítékot, amit először mutatunk
ekvivalens formájának bemutatásával
óta
így ez az eredményt mutatja az átlag nullára és a variancia 1-re, és ugyanez az eredmény következik általános esetre is úgy, hogy
és minden a mi
Példa a központi határérték tételére
A csillagász laborjából egy csillag fényévben mért távolságának kiszámításához néhány mérési technikát használ, de a légkör minden alkalommal bekövetkező változása miatt a mért távolság nem pontos, de némi hibával, így meg akarja találni a pontos távolságot, amelyet tervez. folyamatosan figyelje meg sorban és ezeknek a távolságoknak az átlagát a becsült távolság, Ha a mérési értékeket azonos eloszlású és független valószínűségi változónak tekinti, d átlaggal és 4 fényév szórással, keresse meg a mérések számát, hogy megkapja a 0.5-ös hibát. becsült és tényleges értékben?
Megoldás: Tekintsük a méréseket független valószínűségi változóknak az X sorozatban1,X2,…….Xn tehát a Központi határérték tétel tudunk írni
ami a szabványhoz való közelítés normális eloszlás tehát a valószínűsége az lesz
tehát a mérés 95 százalékos pontosságának eléréséhez a csillagásznak n* távolságot kell mérnie, ahol
tehát a normál eloszlási táblából úgy írhatjuk ki
amely szerint a mérést 62 alkalommal kell elvégezni, ez is megfigyelhető a segítségével Csebisev egyenlőtlensége azáltal, hogy
így az egyenlőtlenség azt eredményezi
így n=16/0.05=320 esetén, ami bizonyosságot ad arról, hogy a csillag megfigyelési laboratóriumtól való távolságának mérésében csak 5 százalékos hiba lesz.
2. A mérnök szakra felvett hallgatók száma Poisson eloszlású 100 átlaggal, úgy döntöttek, hogy ha a felvett hallgatók száma legalább 120 fő, akkor az oktatás két szekcióban történik, egyébként csak egy szekcióban, mennyi a valószínűsége annak, hogy két részből álljon a tanfolyam?
Megoldás: A Poisson-eloszlás követésével a pontos megoldás lesz
amely nyilvánvalóan nem adja meg az adott számértéket, Ha az X valószínűségi változót úgy tekintjük, ahogyan a hallgatók elismerték, akkor a központi határérték tétel
Melyik lehet
ami a számérték.
3. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a tíz dobókockák összege dobáskor 30 és 40 között van, beleértve a 30-at és 40-et is?
Megoldás: Ha a kockát X-nek tekintjüki i tíz értékére. az átlag és a szórás lesz
így követve a központi határérték tétel tudunk írni
ami a szükséges valószínűség.
4. Az egyenletes eloszlású független valószínűségi változókra Xi a (0,1) intervallumon mi lesz a valószínűség közelítése
Megoldás: Az Unifrom eloszlásból tudjuk, hogy az átlag és a szórás lesz
Most a központi határérték tétel tudunk
így a valószínűségi változó összege 14 százalék lesz.
5. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a vizsga értékelője 25 vizsga érdemjegyet adjon 450 percben, ha van 50 olyan vizsga, amelyek értékelési ideje független 20 perces átlaggal és 4 perces szórással.
Megoldás: Tekintsük a vizsga X valószínűségi változóval való osztályozásához szükséges időti tehát az X valószínűségi változó lesz
mivel ez a feladat 25 vizsgára 450 percen belül van így
itt a központi határérték tétel
ami a szükséges valószínűség.
Central Limit tétel független valószínűségi változókhoz
A nem azonos eloszlású, de független X valószínűségi változókkal rendelkező sorozatra1,X2,……. amelyek mindegyikének átlaga μ és varianciája σ2 feltéve, ha kielégíti
- mindegyik Xi egységesen határolt
- az eltérések összege tehát végtelen
A nagy számok erős törvénye
A nagy számok erős törvénye nagyon fontos fogalma a Valószínűségi elmélet amely azt mondja, hogy egy közös eloszlású valószínűségi változó sorozatának átlaga annak a valószínűséggel konvergál majd ugyanazon eloszlás átlagához
nyilatkozat: Az azonos sorozathoz megosztott és független X valószínűségi változók1,X2,……. amelyek mindegyikének véges átlaga egy valószínűséggel akkor
Bizonyítás: Ennek bizonyításához vegyük figyelembe, hogy minden valószínűségi változó átlaga nulla, és a sorozat
most ehhez tekintse ennek erejét
a jobb oldali kifejezések kibontását követően megkapjuk az űrlap feltételeit
mivel ezek függetlenek, így ezek átlaga is az lesz
a pár kombinációjának segítségével most a sorozat bővülése lesz
óta
so
kapunk
ez az egyenlőtlenségre utal
ennélfogva
A sorozatok konvergenciájával, mivel minden valószínűségi változó valószínűsége egy olyan
óta
ha az egyes valószínűségi változók átlaga nem egyenlő nullával, akkor az eltéréssel és a valószínűséggel egy felírhatjuk úgy
or
ami szükséges eredmény.
Egyoldalú Csebisev-egyenlőtlenség
Az egyoldali Chebysheve-egyenlőtlenség az X valószínűségi változóhoz átlagos nullával és véges varianciával, ha a>0
ennek bizonyításához vegyük figyelembe b>0 esetén az X valószínűségi változót mint
ami ad
tehát a Markov egyenlőtlensége
amely megadja a szükséges egyenlőtlenséget. az átlagra és a szórásra úgy írhatjuk fel
Ez a továbbiakban így írható
Példa:
Határozzuk meg annak a valószínűségének felső korlátját, hogy a véletlenszerűen elosztott vállalat termelése legalább 120 lesz, ha ennek a bizonyos vállalatnak a termelése 100-as átlaggal és 400-as variancia-értékkel rendelkezik.
Megoldás:
Az egyoldalas használata csebisev egyenlőtlenség
így ez megadja az egy héten belüli termelés valószínűségét, legalább 120 az 1/2, most ennek a valószínűségnek a korlátját úgy kapjuk meg, hogy Markov egyenlőtlensége
amely a valószínűség felső korlátját mutatja.
Példa:
Kétszáz személyből száz párt veszünk, száz férfi és száz nő találja meg annak a valószínűségének felső határát, hogy legfeljebb harminc pár lesz egy férfi és egy nő.
Megoldás:
Legyen az X valószínűségi változói as
így a pár kifejezhető úgy
Mivel minden férfi egyformán tud párosulni a megmaradt emberekkel, akikben százan vannak nők, így az átlagos
ugyanúgy, ha i és j nem egyenlők akkor
as
ezért van
használatával Csebisev egyenlőtlenség
ami azt mondja, hogy 30 férfi és nő párosításának lehetősége hatnál kevesebb, így a kötöttséget javítani tudjuk a egyoldalú csebisev egyenlőtlenség
Chernoff Bound
Ha a pillanatgeneráló függvény már ismert, akkor
as
ugyanúgy írhatunk t<0-ra, mint
Így a Chernoff-korlát definiálható
ez az egyenlőtlenség t minden pozitív vagy negatív értékére vonatkozik.
A standard normál valószínűségi változó Chernoff-határai
A Chernoff határt szab a szabványnak normál valószínűségi változó amelynek pillanatgeneráló függvénye
is
így ennek az egyenlőtlenségnek és a jobb oldali hatványtagoknak a minimalizálása a>0-t ad
és a<0 esetén az
A Poisson valószínűségi változó Chernoff-határai
A Chernoff-korlát a Poisson valószínűségi változóra, amelynek pillanatgeneráló függvénye
is
így ennek az egyenlőtlenségnek és a jobb oldali hatványtagoknak a minimalizálása a>0-t ad
és az lenne
Példa a Chernoff-határokra
Egy játékban, ha egy játékos egyenlő valószínűséggel nyeri vagy elveszíti a meccset, függetlenül bármely korábbi pontszámtól, keresse meg a valószínűséghez kötött csernoffot.
Megoldás: Legyen Xi jelölje a játékos nyerését, akkor annak valószínűsége lesz
n színdarab sorozatához legyen
tehát a pillanatgeneráló függvény lesz
itt az exponenciális tagok kiterjesztését használva
így van
most a pillanatgeneráló függvény tulajdonságát alkalmazva
Ez adja az egyenlőtlenséget
ennélfogva
Következtetés:
Megtárgyaltuk a nagy számokra vonatkozó egyenlőtlenségeket és határtételt, valamint a valószínűségi határokra igazolható példákat is vettünk, hogy bepillantást nyerjünk az elképzelésbe. Szintén a normál, Poisson valószínűségi változó és momentumgeneráló függvény segítségével demonstráljuk. A koncepció könnyen használható, ha további olvasásra van szüksége, olvassa el az alábbi könyveket, vagy ha további cikkeket szeretne a valószínűségről, kövesse a mi Matematikai oldalak.
Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól
Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai
ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba
