13 tény a Csebisev-féle egyenlőtlenségről és a központi határtételről

A valószínűségszámításban a Csebisev egyenlőtlensége A & centrális határeloszlástétel azokkal a helyzetekkel foglalkozik, amikor nagyszámú valószínűségi változó összegének valószínűségi eloszlását szeretnénk megtalálni megközelítőleg normális feltétel mellett. A határtételek vizsgálata előtt látunk néhány egyenlőtlenséget, amely megadja a valószínűségek korlátait, ha a az átlag és a szórás ismert.

Markov egyenlőtlensége

A Markov-egyenlőtlenség az X valószínűségi változóra, amely a>0 esetén csak pozitív értéket vesz fel

gif

ennek bizonyításához a>0 fontoljuk meg

Óta

gif

most figyelembe véve ezt az egyenlőtlenséget, amit kapunk

gif

az ok az

gif

amely megadja a Markov-egyenlőtlenséget a>0 as esetén

gif

Csebisev egyenlőtlensége

 A végesnek X valószínűségi változó átlaga és szórása a Csebisev-egyenlőtlenség mert k>0 az

gif

ahol a szigma és a mu a valószínűségi változó varianciáját és átlagát jelenti, ennek bizonyítására a Markov egyenlőtlensége mint a nem negatív valószínűségi változó

gif

a mint állandó négyzet értékére tehát

gif

ez az egyenlet ekvivalens

gif

mint egyértelműen

gif

Példák Markov és Csebisev egyenlőtlenségére:

  1. Ha egy adott cikk termelését vesszük véletlen változónak a hétre 50-es átlaggal, akkor keressük meg annak valószínűségét, hogy egy hét alatt a termelés meghaladja a 75-öt, és mekkora lenne a valószínűsége annak, ha egy hét termelése 40 és 60 között van, ennek szórása mellett. a hét 25?

Megoldás: Tekintsük az X valószínűségi változót a cikk gyártására egy hétig, majd a 75-öt meghaladó gyártási valószínűség meghatározásához használjuk Markov egyenlőtlensége as

gif

Most a 40 és 60 közötti termelés valószínűségét fogjuk használni, 25 szórással Csebisev egyenlőtlensége as

gif

so

gif

ez a hét valószínűségét mutatja, ha a termelés 40 és 60 között van, az 3/4.

2. Mutassuk meg, hogy a Csebisev egyenlőtlensége amely a valószínűség felső korlátját adja, nincs különösebben közelebb a valószínűség tényleges értékéhez.

Megoldás:

Tekintsük, hogy az X valószínűségi változó egyenletesen oszlik el 5 átlaggal és 25/3 szórással a (0,1) intervallumon, majd a Csebisev egyenlőtlensége tudunk írni

gif.latex?P%28%7CX

de a tényleges valószínűség az lesz

gif.latex?P%28%7CX 5%7C%26gt%3B4%5C%7D%3D0

ami szintén messze van a tényleges valószínűségtől, ha az X valószínűségi változót normál eloszlásúnak vesszük átlaggal és szórással, akkor Csebisev egyenlőtlensége lesz

gif

de a tényleges valószínűség az

gif.latex?P%28%7CX %5Cmu%7C%26gt%3B2%20%5Csigma%5C%7D%3DP%5Cleft%5C%7B%5Cleft%7C%5Cfrac%7BX %5Cmu%7D%7B%5Csigma%7D%5Cright%7C%26gt%3B2%5Cright%5C%7D%3D2%5B1

A nagy számok gyenge törvénye

A valószínűségi változók sorozatára vonatkozó gyenge törvényt az az eredmény fogja követni, hogy Csebisev egyenlőtlensége bizonyítási eszközként használható, például bizonyításra

gif

ha a variancia nulla, akkor csak azok a valószínűségi változók, amelyek szórása egyenlő 0-val, azok, amelyek állandóak 1 valószínűséggel, így Csebisev egyenlőtlensége ha n nagyobb vagy egyenlő, mint 1

gif

as

gif

a valószínűség folytonossága által

gif

ami bizonyítja az eredményt.

ennek bizonyítására feltételezzük, hogy a variancia is véges a sorozat minden valószínűségi változójára, így a várakozás és a szórás

gif

most a Csebisev egyenlőtlensége az as valószínűség felső határa

gif

amely n-re a végtelenbe hajló lesz

gif

Központi határérték tétel

Az központi határérték tétel a valószínűségszámítás egyik fontos eredménye, mivel nagy számok összegének eloszlását adja meg, amely megközelítőleg normális terjesztés a független valószínűségi változók összegére vonatkozó közelítő valószínűségek meghatározásának módszere mellett a centrális határtétel azt is megmutatja, hogy sok természetes populáció empirikus gyakorisága harang alakú átlagos normálgörbét mutat. Mielőtt a tétel részletes magyarázatát adnánk, felhasználjuk az eredményt.

„Ha a valószínűségi változók sorozata Z1,Z2,…. az eloszlásfüggvény és a nyomatékgeneráló függvény FZn és Mzn akkor

gif

Központi határérték tétel: Azonos eloszlású és független X valószínűségi változók sorozatához1,X2,……. amelyek mindegyikének átlaga μ és variancia σ2 akkor az összeg eloszlása

gif

a standard normálra hajlik, míg n a végtelenre hajlik, hogy a valós értékek legyenek

Bizonyítás: Az eredmény bizonyításához tekintsük az átlagot nullának, a szórást pedig egynek, azaz μ=0 és σ2=1 és a pillanatgeneráló függvény mert Xi létezik és véges értékű, így az X valószínűségi változó pillanatgeneráló függvényei/√n lesz

gif

hene a ΣX összeg pillanatgeneráló függvényei/√n lesz

gif

Most vegyük L(t)=logM(t)

so

gif

hogy megmutassuk a bizonyítékot, amit először mutatunk

ekvivalens formájának bemutatásával

% 202

óta

így ez az eredményt mutatja az átlag nullára és a variancia 1-re, és ugyanez az eredmény következik általános esetre is úgy, hogy

%20%5Csigma

és minden a mi

gif

Példa a központi határérték tételére

A csillagász laborjából egy csillag fényévben mért távolságának kiszámításához néhány mérési technikát használ, de a légkör minden alkalommal bekövetkező változása miatt a mért távolság nem pontos, de némi hibával, így megtalálja a pontos távolságot, amelyet tervez. folyamatosan figyelje meg sorban és ezeknek a távolságoknak az átlagát a becsült távolság, Ha a mérési értékeket azonos eloszlású és független valószínűségi változónak tekinti, d átlaggal és 4 fényév szórással, keresse meg a mérések számát, hogy megkapja a 0.5-ös hibát. becsült és tényleges értékben?

Megoldás: Tekintsük a méréseket független valószínűségi változóknak az X sorozatban1,X2,…….Xn tehát a Központi határérték tétel tudunk írni

gif

ami a szabványhoz való közelítés normális eloszlás tehát a valószínűsége az lesz

CodeCogsEqn 76

tehát a mérés 95 százalékos pontosságának eléréséhez a csillagásznak n* távolságot kell mérnie, ahol

gif.latex?2%20%5CPhi%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bn%5E%7B*%7D%7D%7D%7B4%7D%5Cright%29

tehát a normál eloszlási táblából úgy írhatjuk ki

amely szerint a mérést 62 alkalommal kell elvégezni, ez is megfigyelhető a segítségével Csebisev egyenlőtlensége azáltal, hogy

gif

így az egyenlőtlenség azt eredményezi

gif.latex?P%5Cleft%5C%7B%5Cleft%7C%5Csum %7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%5Cfrac%7BX %7Bi%7D%7D%7Bn%7D d%5Cright%7C%26gt%3B0.5%5Cright%5C%7D%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B4%7D%7Bn%280

így n=16/0.05=320 esetén, ami bizonyosságot ad arról, hogy a csillag megfigyelési laboratóriumtól való távolságának mérésében csak 5 százalékos hiba lesz.

2. A mérnök szakra felvett hallgatók száma Poisson eloszlású 100 átlaggal, úgy döntöttek, hogy ha a felvett hallgatók száma legalább 120 fő, akkor az oktatás két szekcióban történik, egyébként csak egy szekcióban, mennyi a valószínűsége annak, hogy két részből álljon a tanfolyam?

Megoldás: A Poisson-eloszlás követésével a pontos megoldás lesz

gif

amely nyilvánvalóan nem adja meg az adott számértéket, Ha az X valószínűségi változót úgy tekintjük, ahogyan a hallgatók elismerték, akkor a központi határérték tétel

Melyik lehet

gif.latex?%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20%3DP%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7BX 100%7D%7B%5Csqrt%7B100%7D%7D%20%5Cgeq%20%5Cfrac%7B119.5 100%7D%7B%5Csqrt%7B100%7D%7D%5Cright%5C%7D%20%5C%5C%20%5Capprox%201

ami a számérték.

3. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a tíz dobókockára dobott kocka összege 30 és 40 között van, beleértve a 30-at és 40-et is?

Megoldás: Ha a kockát X-nek tekintjüki i tíz értékére. az átlag és a szórás lesz

gif

így követve a központi határérték tétel tudunk írni

gif.latex?%5Cbegin%7Baligned%7D%20P%5B29.5%20%5Cleq%20X%20%5Cleq%2040.5%5C%7D%20%26amp%3B%3DP%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B29.5 35%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B350%7D%7B12%7D%7D%7D%20%5Cleq%20%5Cfrac%7BX 35%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B350%7D%7B12%7D%7D%7D%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B40.5 35%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B350%7D%7B12%7D%7D%7D%5Cright%5C%7D%20%5C%5C%20%26amp%3B%20%5Capprox%202%20%5CPhi%281.0184%29

ami a szükséges valószínűség.

4. Az egyenletes eloszlású független valószínűségi változókra Xi a (0,1) intervallumon mi lesz a valószínűség közelítése

gif

Megoldás: Az Unifrom eloszlásból tudjuk, hogy az átlag és a szórás lesz

gif

Most a központi határérték tétel tudunk

gif.latex?%5Cbegin%7Baligned%7D%20P%5Cleft%5C%7B%5Csum %7B1%7D%5E%7B10%7D%20X %7Bi%7D%26gt%3B6%5Cright%5C%7D%20%26amp%3B%3DP%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B%5Csum %7B1%7D%5E%7B10%7D%20X %7Bi%7D 5%7D%7B%5Csqrt%7B10%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D%5Cright%29%7D%7D%26gt%3B%5Cfrac%7B6 5%7D%7B%5Csqrt%7B10%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D%5Cright%29%7D%7D%5Cright%5C%7D%20%5C%5C%20%26amp%3B%20%5Capprox%201

így a valószínűségi változó összege 14 százalék lesz.

5. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a vizsga értékelője 25 vizsga érdemjegyet adjon 450 percben, ha van 50 olyan vizsga, amelyek értékelési ideje független 20 perces átlaggal és 4 perces szórással.

Megoldás: Tekintsük a vizsga X valószínűségi változóval való osztályozásához szükséges időti tehát az X valószínűségi változó lesz

gif

mivel ez a feladat 25 vizsgára 450 percen belül van így

gif
gif
gif

itt a központi határérték tétel

gif.latex?%5Cbegin%7Baligned%7D%20P%5BX%20%5Cleq%20450%5C%7D%20%26amp%3B%3DP%5Cleft%28%5Cfrac%7BX 500%7D%7B%5Csqrt%7B400%7D%7D%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B450 500%7D%7B%5Csqrt%7B400%7D%7D%5Cright%29%20%5C%5C%20%26amp%3B%20%5Capprox%20P%28Z%20%5Cleq 2.5%5C%7D%20%5C%5C%20%26amp%3B%3DP%28Z%20%5Cgeq%202.5%5C%7D%20%5C%5C%20%26amp%3B%3D1 %5CPhi%282.5%29%3D0

ami a szükséges valószínűség.

Central Limit tétel független valószínűségi változókhoz

A nem azonos eloszlású, de független X valószínűségi változókkal rendelkező sorozatra1,X2,……. amelyek mindegyikének átlaga μ és varianciája σ2 feltéve, ha kielégíti

  1. mindegyik Xi egységesen határolt
  2. az eltérések összege tehát végtelen
gif

A nagy számok erős törvénye

A nagy számok erős törvénye nagyon fontos fogalma a Valószínűségi elmélet amely azt mondja, hogy egy közös eloszlású valószínűségi változó sorozatának átlaga annak a valószínűséggel konvergál majd ugyanazon eloszlás átlagához

nyilatkozat: Az azonos sorozathoz megosztott és független X valószínűségi változók1,X2,……. amelyek mindegyikének véges átlaga egy valószínűséggel akkor

gif

Bizonyítás: Ennek bizonyításához vegyük figyelembe, hogy minden valószínűségi változó átlaga nulla, és a sorozat

gif

most ehhez tekintse ennek erejét

a jobb oldali kifejezések kibontását követően megkapjuk az űrlap feltételeit

gif

mivel ezek függetlenek, így ezek átlaga is az lesz

gif

a pár kombinációjának segítségével most a sorozat bővülése lesz

gif

óta

gif

so

gif

kapunk

gif

ez az egyenlőtlenségre utal

gif

ennélfogva

gif

A sorozatok konvergenciájával, mivel minden valószínűségi változó valószínűsége egy olyan

gif

óta

gif

ha az egyes valószínűségi változók átlaga nem egyenlő nullával, akkor az eltéréssel és a valószínűséggel egy felírhatjuk úgy

gif

or

gif

ami szükséges eredmény.

Egyoldalú Csebisev-egyenlőtlenség

Az egyoldali Chebysheve-egyenlőtlenség az X valószínűségi változóhoz átlagos nullával és véges varianciával, ha a>0

Csebisev egyenlőtlensége
Csebisev egyenlőtlenség

ennek bizonyításához vegyük figyelembe b>0 esetén az X valószínűségi változót mint

gif

ami ad

gif

tehát a Markov egyenlőtlensége

Csebisev egyenlőtlensége
egyoldalú csebisev

amely megadja a szükséges egyenlőtlenséget. az átlagra és a szórásra úgy írhatjuk fel

gif

Ez a továbbiakban így írható

gif

Példa:

Határozzuk meg annak a valószínűségének felső korlátját, hogy a véletlenszerűen elosztott vállalat termelése legalább 120 lesz, ha ennek a bizonyos vállalatnak a termelése 100-as átlaggal és 400-as variancia-értékkel rendelkezik.

Megoldás:

Az egyoldalas használata csebisev egyenlőtlenség

gif

így ez megadja az egy héten belüli termelés valószínűségét, legalább 120 az 1/2, most ennek a valószínűségnek a korlátját úgy kapjuk meg, hogy Markov egyenlőtlensége

amely a valószínűség felső korlátját mutatja.

Példa:

Kétszáz személyből száz párt veszünk, száz férfi és száz nő találja meg annak a valószínűségének felső határát, hogy legfeljebb harminc pár lesz egy férfi és egy nő.

Megoldás:

Legyen az X valószínűségi változói as

gif

így a pár kifejezhető úgy

gif

Mivel minden férfi egyformán tud párosulni a megmaradt emberekkel, akikben százan vannak nők, így az átlagos

gif

ugyanúgy, ha i és j nem egyenlők akkor

gif

as

% 20197

ezért van

gif
gif
gif
gif
gif

használatával Csebisev egyenlőtlenség

gif.latex?P%5C%7BX%20%5Cleq%2030%5C%7D%20%5Cleq%20P%5C%7B%7CX

ami azt mondja, hogy 30 férfi és nő párosításának lehetősége hatnál kevesebb, így a kötöttséget javítani tudjuk a egyoldalú csebisev egyenlőtlenség

gif.latex?%5Cbegin%7Baligned%7D%20P%5BX%20%5Cleq%2030%5C%7D%20%26amp%3B%3DP%5BX%20%5Cleq%2050.25

Chernoff Bound

Ha a pillanatgeneráló függvény már ismert, akkor

gif

as

gif

ugyanúgy írhatunk t<0-ra, mint

gif

Így a Chernoff-korlát definiálható

gif

ez az egyenlőtlenség t minden pozitív vagy negatív értékére vonatkozik.

A standard normál valószínűségi változó Chernoff-határai

A Chernoff határt szab a szabványnak normál valószínűségi változó amelynek pillanatgeneráló függvénye

%202%7D

is

így ennek az egyenlőtlenségnek és a jobb oldali hatványtagoknak a minimalizálása a>0-t ad

%202%7D

és a<0 esetén az

%202%7D

A Poisson valószínűségi változó Chernoff-határai

A Chernoff-korlát a Poisson valószínűségi változóra, amelynek pillanatgeneráló függvénye

gif

is

gif

így ennek az egyenlőtlenségnek és a jobb oldali hatványtagoknak a minimalizálása a>0-t ad

%20%5Clambda 1%29%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Clambda%7D%7Bi%7D%5Cright%29

és az lenne

gif

Példa a Chernoff-határokra

Egy játékban, ha egy játékos egyenlő valószínűséggel nyeri vagy elveszíti a meccset, függetlenül bármely korábbi pontszámtól, keresse meg a valószínűséghez kötött csernoffot.

Megoldás: Legyen Xi jelölje a játékos nyerését, akkor annak valószínűsége lesz

gif

n színdarab sorozatához legyen

gif

tehát a pillanatgeneráló függvény lesz

gif

itt az exponenciális tagok kiterjesztését használva

CodeCogsEqn 77

így van

%202%7D

most a pillanatgeneráló függvény tulajdonságát alkalmazva

%202%7D%20%5Cend%7Baligned%7D

Ez adja az egyenlőtlenséget

%202%20n%7D%20%5Cquad%20a%26gt%3B0

ennélfogva

Következtetés:

Megtárgyaltuk a nagy számokra vonatkozó egyenlőtlenségeket és határtételt, valamint a valószínűségek határainak igazolható példáit is felvettük, hogy bepillantást nyerjünk az elképzelésbe. Szintén a normál, Poisson valószínűségi változó és momentumgeneráló függvény segítségével demonstráljuk. a koncepció könnyen, ha további olvasásra van szüksége, olvassa el az alábbi könyveket, vagy további cikkeket talál a valószínűségről, kérjük, kövesse a mi Matematikai oldalak.

Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól

Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai

ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba