- Tartalom
- Feltételes elosztás
- Diszkrét feltételes eloszlás
- Példa diszkrét feltételes eloszlásra
- Folyamatos feltételes elosztás
- Példa a folyamatos feltételes eloszlásra
- A kétváltozós normális eloszlás feltételes eloszlása
- Együttes Valószínűségi változók függvényének valószínűségi eloszlása
- Példák a valószínűségi változók függvényének együttes valószínűségi eloszlására
Feltételes elosztás
Nagyon érdekes az eloszlás feltételes esetének tárgyalása, amikor két valószínűségi változó követi az egymást kielégítő eloszlást, először röviden megnézzük a feltételes eloszlást mind a diszkrét, mind a folytonos valószínűségi változók esetében, majd néhány előfeltétel tanulmányozása után a feltételes elvárások.
Diszkrét feltételes eloszlás
A közös eloszlásban a közös valószínűségi tömegfüggvény segítségével feltételes eloszlást definiálunk az X és Y diszkrét valószínűségi változókra, X-re feltételes valószínűséget használva, ha Y mint eloszlás a valószínűségi tömegfüggvénnyel.
feltéve, hogy a nevező valószínűsége nagyobb, mint nulla, hasonlóban ezt így írhatjuk fel
az együttes valószínűségben, ha X és Y független valószínűségi változók, akkor ez így alakul
így a diszkrét feltételes eloszlás vagy feltételes eloszlás az X diszkrét valószínűségi változókra Y adott esetén a fenti valószínűségi tömegfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változó, hasonló módon Y adott X esetén tudjuk definiálni.
Példa diszkrét feltételes eloszlásra
- Keresse meg a valószínűségi változó tömegfüggvénye X adott Y=1, ha az X és Y valószínűségi változók együttes valószínűségi tömegfüggvényének van néhány értéke as
p(0,0)=0.4, p(0,1)=0.2, p(1,0)=0.1, p(1,1)=0.3
Most először is az Y=1 értékre, amivel rendelkezünk
tehát a valószínűségi tömegfüggvény definícióját használva
nekünk van
és a
- megkapjuk X feltételes eloszlását, ha X+Y=n, ahol X és Y Poisson eloszlások a λ paraméterekkel1 és λ2 és X és Y független valószínűségi változók
Mivel az X és Y valószínűségi változók függetlenek, így a feltételes eloszlásnak a valószínűségi tömegfüggvénye lesz
mivel a Poisson valószínűségi változó összege ismét poisson így
így a feltételes eloszlás a fenti valószínűségi tömegfüggvénnyel az ilyen Poisson-eloszlások feltételes eloszlása lesz. A fenti eset kettőnél több valószínűségi változóra általánosítható.
Folyamatos feltételes elosztás
A már definiált y X valószínűségi változó folytonos feltételes eloszlása a folytonos eloszlás a valószínűségi sűrűségfüggvénnyel
a nevező sűrűsége nagyobb, mint nulla, ami a folytonos sűrűségfüggvénynél az
így az ilyen feltételes sűrűségfüggvény valószínűsége az
Hasonló módon, mint a diszkrétben, ha X és Y függetlenek a folytonosban, akkor is
és így
így írhatjuk úgy
Példa a folyamatos feltételes eloszlásra
- Számítsa ki az Y valószínűségi változó feltételes sűrűségfüggvényét, ha a (0,1) nyitott intervallumú együttes valószínűségi sűrűségfüggvény a
Ha az X valószínűségi változóra Y értéket adunk (0,1)-en belül, akkor a fenti sűrűségfüggvény segítségével megkapjuk
- Számítsa ki a feltételes valószínűséget!
ha az együttes valószínűségi sűrűségfüggvényt úgy adjuk meg
A feltételes valószínűség meghatározásához először a feltételes sűrűségfüggvényre van szükségünk, tehát a definíció szerint ez lenne
most ezt a sűrűségfüggvényt a valószínűséggel használva feltételes valószínűség is
A kétváltozós normális eloszlás feltételes eloszlása
Tudjuk, hogy az X és Y normális valószínűségi változók kétváltozós normális eloszlása a megfelelő átlagokkal és varianciákkal, mint paraméterekkel rendelkezik a közös valószínűségi sűrűségfüggvénnyel.
így egy ilyen kétváltozós normális eloszlás feltételes eloszlását X adott Y esetén úgy határozzuk meg, hogy követjük a folytonos valószínűségi változó feltételes sűrűségfüggvényét és a fenti együttes sűrűségfüggvényt.
Ezt megfigyelve azt mondhatjuk, hogy ez normálisan eloszlik az átlaggal
és variancia
hasonló módon a már definiált X feltételes sűrűségfüggvénye az X paramétereinek pozícióit felcseréli Y-val,
Az X határsűrűségfüggvényét a fenti feltételes sűrűségfüggvényből kaphatjuk meg az állandó értékének felhasználásával
helyettesítsük be az integrált
a sűrűségfüggvény most lesz
mivel a teljes értéke
a valószínűség definíciója szerint tehát a sűrűségfüggvény most lesz
ami nem más, mint az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a szokásos átlaggal és variancia paraméterekkel.
Együttes Valószínűségi változók függvényének valószínűségi eloszlása
Eddig két valószínűségi változó együttes valószínűségi eloszlását ismerjük, most, ha ilyen valószínűségi változóknak vannak függvényei, akkor mi lenne ezeknek a függvényeknek a közös valószínűségi eloszlása, hogyan kell kiszámítani a sűrűség- és eloszlásfüggvényt, mert vannak valós élethelyzeteink, ahol rendelkeznek a valószínűségi változók függvényeivel,
Ha Y1 és Y2 az X valószínűségi változók függvényei1 és X2 illetve amelyek együttesen folytonosak, akkor e két függvény együttes folytonos sűrűségfüggvénye lesz
ahol Jacobi
és Y1 =g1 (X1, X2) és Y2 =g2 (X1, X2) egyes funkciókhoz g1 és g2 . Itt g1 és g2 kielégíti a jakobi feltételeit folytonosnak és folytonos parciális deriváltjaik vannak.
Most a valószínűsége a valószínűségi változók ilyen függvényeinek
Példák a valószínűségi változók függvényének együttes valószínűségi eloszlására
- Határozzuk meg az Y valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvényét!1 =X1 +X2 és Y2=X1 -X2 , ahol X1 és X2 együttesen folytonosak a közös valószínűségi sűrűségfüggvénnyel. megvitatják az elosztás eltérő természetét is.
Itt először ellenőrizzük Jacobian
mivel g1(x1, x2)= x1 +x2 és g2(x1, x2)= x1 - x2 so
leegyszerűsítve Y1 =X1 +X2 és Y2=X1 -X2 , X értékére1 =1/2( Y1 +Y2 ) és X2 = Y1 -Y2 ,
ha ezek a valószínűségi változók független egységes valószínűségi változók
vagy ha ezek a valószínűségi változók független exponenciális valószínűségi változók szokásos paraméterekkel
vagy ha ezek a valószínűségi változók független normál valószínűségi változók akkor
- Ha X és Y a független standard normálváltozók a megadottak szerint
kiszámítja a megfelelő polárkoordináták együttes eloszlását.
A szokásos konverzióval X-et és Y-t r-re és θ as-ra konvertáljuk
tehát ezeknek a függvényeknek a parciális deriváltjai lesznek
tehát az ezeket a függvényeket használó jakobi az
ha az X és Y valószínűségi változó is nagyobb nullánál, akkor a feltételes ízületi sűrűségfüggvény az
most a derékszögű koordináta poláris koordinátává konvertálása segítségével
tehát a valószínűségi sűrűség funkció mert a pozitív értékek lesznek
a különbözőért kombinációk X és Y sűrűségfüggvényei hasonló módon vannak
most a fenti sűrűségek átlagából megállapíthatjuk a sűrűségfüggvényt, mint
és a határsűrűség függvény a poláris koordináták együttes sűrűségéből a (0, 2π) intervallumon keresztül
- Keresse meg a valószínűségi változók függvényének közös sűrűségfüggvényét!
U=X+Y és V=X/(X+Y)
ahol X és Y a gamma eloszlás (α + λ), illetve (β +λ) paraméterekkel.
definícióját használva gamma eloszlás és az együttes eloszlásfüggvény az X és Y valószínűségi változó sűrűségfüggvénye lesz
tekintsük az adott függvényeket
g1 (x,y) =x+y , g2 (x,y) =x/(x+y),
tehát ezeknek a függvényeknek a differenciálása az
most a jakobi az
az adott egyenletek egyszerűsítése után az x=uv és y=u(1-v) változók valószínűségi sűrűségfüggvénye
relációt használhatjuk
- Számítsa ki az együttes valószínűségi sűrűségfüggvényt
Y1 =X1 +X2+ X3 , ÉS2 =X1- X2 , ÉS3 =X1 - X3
ahol az X1 , X2, X3 valószínűségi változók a standardok normál valószínűségi változók.
Most pedig számítsuk ki a Jacobi-féle parciális deriváltjait
Y1 =X1 +X2+ X3 , ÉS2 =X1- X2 , ÉS3 =X1 - X3
as
egyszerűsítés X változókra1 , X2 és X3
X1 = (Y1 + Y2 + Y3)/3 , X2 = (Y1 - 2Y2 + Y3)/3 , X3 = (Y1 + Y2 -2 Y3) / 3
az ízületi sűrűségfüggvényt úgy általánosíthatjuk
így van
a normálváltozóra az együttes valószínűségi sűrűségfüggvény az
ennélfogva
hol van az index
Számítsd ki Y ízületi sűrűségfüggvényét1 ……Yn és Y határsűrűségfüggvényen ahol
és Xi független, azonos eloszlású exponenciális valószínűségi változók λ paraméterrel.
az űrlap valószínűségi változóihoz
Y1 =X1 , ÉS2 =X1 + X2 , ……, Yn =X1 + ……+ Xn
a jakobi olyan alakú lesz
így értéke egy, és az exponenciális valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvénye
és az X változó értékeii lesz
tehát az ízületi sűrűségfüggvény az
Most keressük meg Y határsűrűségfüggvényétn egyesével integráljuk as
és a
mint a bölcs
ha ezt a folyamatot folytatjuk, megkapjuk
ami a határsűrűségfüggvény.
Következtetés:
A feltételes elosztás a diszkrét és folytonos valószínűségi változóhoz különböző példákkal, figyelembe véve a tárgyalt valószínűségi változók néhány típusát, ahol a független valószínűségi változó fontos szerepet játszik. Ezen kívül az ízület eloszlás az együttes folytonos valószínűségi változók függvényére megfelelő példákkal is magyarázva, ha további olvasásra van szüksége, keresse fel az alábbi linkeket.
A matematikával kapcsolatos további bejegyzésekért tekintse meg a mi oldalunkat Matematika oldal
Wikipediahttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org
Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól
Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai
ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba
