Feltételes terjesztés: 7 érdekes tény, amit tudnia kell

Feltételes elosztás

   Nagyon érdekes az eloszlás feltételes esetének tárgyalása, amikor két valószínűségi változó követi az egymást kielégítő eloszlást, először röviden megnézzük a feltételes eloszlást mind a diszkrét, mind a folytonos valószínűségi változók esetében, majd néhány előfeltétel tanulmányozása után a feltételes elvárások.

Diszkrét feltételes eloszlás

     A közös eloszlásban a közös valószínűségi tömegfüggvény segítségével feltételes eloszlást definiálunk az X és Y diszkrét valószínűségi változókra, X-re feltételes valószínűséget használva, ha Y mint eloszlás a valószínűségi tömegfüggvénnyel.

feltéve, hogy a nevező valószínűsége nagyobb, mint nulla, hasonlóban ezt így írhatjuk fel

az együttes valószínűségben, ha X és Y független valószínűségi változók, akkor ez így alakul

így a diszkrét feltételes eloszlás vagy feltételes eloszlás az X diszkrét valószínűségi változókra Y adott esetén a fenti valószínűségi tömegfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változó, hasonló módon Y adott X esetén tudjuk definiálni.

Példa diszkrét feltételes eloszlásra

  1. Keresse meg a valószínűségi változó tömegfüggvénye X adott Y=1, ha az X és Y valószínűségi változók együttes valószínűségi tömegfüggvényének van néhány értéke as

p(0,0)=0.4, p(0,1)=0.2, p(1,0)=0.1, p(1,1)=0.3

Most először is az Y=1 értékre, amivel rendelkezünk

tehát a valószínűségi tömegfüggvény definícióját használva

nekünk van

és a

  • megkapjuk X feltételes eloszlását, ha X+Y=n, ahol X és Y Poisson eloszlások a λ paraméterekkel1 és λ2 és X és Y független valószínűségi változók

Mivel az X és Y valószínűségi változók függetlenek, így a feltételes eloszlásnak a valószínűségi tömegfüggvénye lesz

mivel a Poisson valószínűségi változó összege ismét poisson így

így a feltételes eloszlás a fenti valószínűségi tömegfüggvénnyel az ilyen Poisson-eloszlások feltételes eloszlása ​​lesz. A fenti eset kettőnél több valószínűségi változóra általánosítható.

Folyamatos feltételes elosztás

   A már definiált y X valószínűségi változó folytonos feltételes eloszlása ​​a folytonos eloszlás a valószínűségi sűrűségfüggvénnyel

a nevező sűrűsége nagyobb, mint nulla, ami a folytonos sűrűségfüggvénynél az

így az ilyen feltételes sűrűségfüggvény valószínűsége az

Hasonló módon, mint a diszkrétben, ha X és Y függetlenek a folytonosban, akkor is

és így

így írhatjuk úgy

Példa a folyamatos feltételes eloszlásra

  1. Számítsa ki az Y valószínűségi változó feltételes sűrűségfüggvényét, ha a (0,1) nyitott intervallumú együttes valószínűségi sűrűségfüggvény a

Ha az X valószínűségi változóra Y értéket adunk (0,1)-en belül, akkor a fenti sűrűségfüggvény segítségével megkapjuk

  • Számítsa ki a feltételes valószínűséget!

ha az együttes valószínűségi sűrűségfüggvényt úgy adjuk meg

A feltételes valószínűség meghatározásához először a feltételes sűrűségfüggvényre van szükségünk, tehát a definíció szerint ez lenne

most ezt a sűrűségfüggvényt a valószínűséggel használva feltételes valószínűség is

A kétváltozós normális eloszlás feltételes eloszlása

  Tudjuk, hogy az X és Y normális valószínűségi változók kétváltozós normális eloszlása ​​a megfelelő átlagokkal és varianciákkal, mint paraméterekkel rendelkezik a közös valószínűségi sűrűségfüggvénnyel.

Feltételes elosztás
Feltételes kétváltozós normális eloszlása terjesztés

így egy ilyen kétváltozós normális eloszlás feltételes eloszlását X adott Y esetén úgy határozzuk meg, hogy követjük a folytonos valószínűségi változó feltételes sűrűségfüggvényét és a fenti együttes sűrűségfüggvényt.

Feltételes elosztás
A kétváltozós normális eloszlás feltételes eloszlása

Ezt megfigyelve azt mondhatjuk, hogy ez normálisan eloszlik az átlaggal

és variancia

hasonló módon a már definiált X feltételes sűrűségfüggvénye az X paramétereinek pozícióit felcseréli Y-val,

Az X határsűrűségfüggvényét a fenti feltételes sűrűségfüggvényből kaphatjuk meg az állandó értékének felhasználásával

Feltételes elosztás
A kétváltozós normális eloszlás feltételes eloszlása

helyettesítsük be az integrált

a sűrűségfüggvény most lesz

mivel a teljes értéke

a valószínűség definíciója szerint tehát a sűrűségfüggvény most lesz

ami nem más, mint az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a szokásos átlaggal és variancia paraméterekkel.

Együttes Valószínűségi változók függvényének valószínűségi eloszlása

  Eddig két valószínűségi változó együttes valószínűségi eloszlását ismerjük, most, ha ilyen valószínűségi változóknak vannak függvényei, akkor mi lenne ezeknek a függvényeknek a közös valószínűségi eloszlása, hogyan kell kiszámítani a sűrűség- és eloszlásfüggvényt, mert vannak valós élethelyzeteink, ahol rendelkeznek a valószínűségi változók függvényeivel,

Ha Y1 és Y2 az X valószínűségi változók függvényei1 és X2 illetve amelyek együttesen folytonosak, akkor e két függvény együttes folytonos sűrűségfüggvénye lesz

ahol Jacobi

és Y1 =g1 (X1, X2) és Y2 =g2 (X1, X2) egyes funkciókhoz g1 és g2 . Itt g1 és g2 kielégíti a jakobi feltételeit folytonosnak és folytonos parciális deriváltjaik vannak.

Most a valószínűsége a valószínűségi változók ilyen függvényeinek

Példák a valószínűségi változók függvényének együttes valószínűségi eloszlására

  1. Határozzuk meg az Y valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvényét!1 =X1 +X2 és Y2=X1 -X2 , ahol X1 és X2 együttesen folytonosak a közös valószínűségi sűrűségfüggvénnyel. megvitatják az elosztás eltérő természetét is.

Itt először ellenőrizzük Jacobian

mivel g1(x1, x2)= x1 +x2  és g2(x1, x2)= x1 - x2 so

leegyszerűsítve Y1 =X1 +X2 és Y2=X1 -X2 , X értékére1 =1/2( Y1 +Y2 ) és X2 = Y1 -Y2 ,

ha ezek a valószínűségi változók független egységes valószínűségi változók

vagy ha ezek a valószínűségi változók független exponenciális valószínűségi változók szokásos paraméterekkel

vagy ha ezek a valószínűségi változók független normál valószínűségi változók akkor

  • Ha X és Y a független standard normálváltozók a megadottak szerint
Feltételes elosztás

kiszámítja a megfelelő polárkoordináták együttes eloszlását.

A szokásos konverzióval X-et és Y-t r-re és θ as-ra konvertáljuk

tehát ezeknek a függvényeknek a parciális deriváltjai lesznek

tehát az ezeket a függvényeket használó jakobi az

ha az X és Y valószínűségi változó is nagyobb nullánál, akkor a feltételes ízületi sűrűségfüggvény az

most a derékszögű koordináta poláris koordinátává konvertálása segítségével

tehát a valószínűségi sűrűség funkció mert a pozitív értékek lesznek

a különbözőért kombinációk X és Y sűrűségfüggvényei hasonló módon vannak

most a fenti sűrűségek átlagából megállapíthatjuk a sűrűségfüggvényt, mint

és a határsűrűség függvény a poláris koordináták együttes sűrűségéből a (0, 2π) intervallumon keresztül

  • Keresse meg a valószínűségi változók függvényének közös sűrűségfüggvényét!

U=X+Y és V=X/(X+Y)

ahol X és Y a gamma eloszlás (α + λ), illetve (β +λ) paraméterekkel.

definícióját használva gamma eloszlás és az együttes eloszlásfüggvény az X és Y valószínűségi változó sűrűségfüggvénye lesz

tekintsük az adott függvényeket

g1 (x,y) =x+y , g2 (x,y) =x/(x+y),

tehát ezeknek a függvényeknek a differenciálása az

most a jakobi az

az adott egyenletek egyszerűsítése után az x=uv és y=u(1-v) változók valószínűségi sűrűségfüggvénye

relációt használhatjuk

  • Számítsa ki az együttes valószínűségi sűrűségfüggvényt

Y1 =X1 +X2+ X3 , ÉS2 =X1- X2 , ÉS3 =X1 - X3

ahol az X1 , X2, X3 valószínűségi változók a standardok normál valószínűségi változók.

Most pedig számítsuk ki a Jacobi-féle parciális deriváltjait

Y1 =X1 +X2+ X3 , ÉS2 =X1- X2 , ÉS3 =X1 - X3

as

egyszerűsítés X változókra1 , X2 és X3

X1 = (Y1 + Y2 + Y3)/3 , X2 = (Y1 - 2Y2 + Y3)/3 , X3 = (Y1 + Y2 -2 Y3) / 3

az ízületi sűrűségfüggvényt úgy általánosíthatjuk

így van

a normálváltozóra az együttes valószínűségi sűrűségfüggvény az

ennélfogva

hol van az index

Számítsd ki Y ízületi sűrűségfüggvényét1 ……Yn és Y határsűrűségfüggvényen ahol

és Xi független, azonos eloszlású exponenciális valószínűségi változók λ paraméterrel.

az űrlap valószínűségi változóihoz

Y1 =X1 , ÉS2 =X1 + X2 , ……, Yn =X1 + ……+ Xn

a jakobi olyan alakú lesz

így értéke egy, és az exponenciális valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvénye

és az X változó értékeii lesz

tehát az ízületi sűrűségfüggvény az

Most keressük meg Y határsűrűségfüggvényétn egyesével integráljuk as

és a

mint a bölcs

ha ezt a folyamatot folytatjuk, megkapjuk

ami a határsűrűségfüggvény.

Következtetés:

A feltételes elosztás a diszkrét és folytonos valószínűségi változóhoz különböző példákkal, figyelembe véve a tárgyalt valószínűségi változók néhány típusát, ahol a független valószínűségi változó fontos szerepet játszik. Ezen kívül az ízület eloszlás az együttes folytonos valószínűségi változók függvényére megfelelő példákkal is magyarázva, ha további olvasásra van szüksége, keresse fel az alábbi linkeket.

A matematikával kapcsolatos további bejegyzésekért tekintse meg a mi oldalunkat Matematika oldal

Wikipediahttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól

Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai

ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba

Lapozzon a lap tetejére