Feltételes elvárás: 7 tény, amit tudnod kell

Mivel az egymástól függő valószínűségi változók feltételes valószínűségek kiszámítását igénylik, amelyeket már tárgyaltunk, most néhány további paramétert tárgyalunk az ilyen valószínűségi változókhoz vagy kísérletekhez, mint például a feltételes várakozás és a feltételes variancia különböző típusú valószínűségi változókhoz.

Feltételes Elvárás

   Az X diszkrét valószínűségi változó feltételes valószínűségi tömegfüggvényének definíciója adott Y

itt pY(y)>0 , tehát a feltételes a diszkrét valószínűségi változóra vonatkozó elvárás X adott Y, ha pY(y)>0

a fenti elvárásban a valószínűség a feltételes valószínűség.

  Hasonló módon, ha X és Y folytonos, akkor az X valószínűségi változó feltételes valószínűségi sűrűségfüggvénye adott Y

ahol f(x,y) az együttes valószínűségi sűrűségfüggvény és minden yf-reY(y)>0 , tehát az X valószínűségi változó feltételes elvárása adott y lesz

minden yf számáraY(y)>0.

   Mint tudjuk, hogy az összes A valószínűség tulajdonságai alkalmazhatók a feltételes valószínűsége ugyanez a helyzet a feltételes elvárással, a matematikai elvárás összes tulajdonságát kielégíti a feltételes várakozás, például a valószínűségi változó függvényének feltételes elvárása

és a feltételes várakozásban szereplő valószínűségi változók összege az lesz

Feltételes elvárás binomiális valószínűségi változók összegére

    Feltételes megtalálni a binomiális valószínűségi változók összegére vonatkozó elvárás X és Y független n és p paraméterekkel, tudjuk, hogy X+Y egyben binomiális valószínűségi változó is lesz 2n és p paraméterekkel, így X+Y=m adott X valószínűségi változóra a feltételes várakozást úgy kapjuk meg, hogy kiszámítjuk. a valószínűség

hiszen ezt tudjuk

így X feltételes várakozása adott X+Y=m az

Példa:

Keresse meg a feltételes elvárást

ha az ízület folytonos valószínűségi változók valószínűségi sűrűségfüggvénye X és Y így van megadva

megoldás:

A feltételes elvárás kiszámításához feltételes valószínűségi sűrűségfüggvényre van szükség, tehát

mivel a folytonos valószínűségi változóra az feltételes elvárás az

így az adott sűrűségfüggvényre a feltételes elvárás az lenne

Elvárás kondicionálással||Elvárás feltételes elvárással

                Ki tudjuk számolni a matematikai elvárás X adott Y as feltételes várakozásának segítségével

a diszkrét valószínűségi változók esetében ez lesz

amely beszerezhető mint

a folytonos véletlenre pedig hasonlóan megmutathatjuk

Példa:

                Egy ember a föld alatt rekedt az épületében, mert a bejárata el van zárva egy nagy terhelés miatt szerencsére három csővezeték van, ahonnan ki tud jönni az első cső 3 óra múlva viheti ki biztonságosan, a második 5 óra múlva, a harmadik pedig azután. 7 óra, Ha ezek közül bármelyiket egyformán valószínűnek választaná, akkor mennyi lenne az az idő, amikor épségben kijön.

Megoldás:

Legyen X az a valószínűségi változó, amely jelöli azt az időt órákban, amíg a személy biztonságosan kijött, Y pedig azt a csövet, amelyet kezdetben választott.

óta

Ha az ember a második csövet választja, abban 5 házat tölt, de a várt idővel kijön

így lesz az elvárás

A valószínűségi változók véletlenszámának összegének elvárása feltételes várakozással

                Legyen N a valószínűségi változó véletlenszáma, a valószínűségi változók összege pedig az     akkor az elvárás  

óta

as

így

Kétváltozós eloszlás korrelációja

Ha a kétváltozós X és Y valószínűségi változó valószínűségi sűrűségfüggvénye az

ahol

akkor az X és Y valószínűségi változó közötti korreláció a sűrűségfüggvényű kétváltozós eloszlás esetén az

mivel a korrelációt úgy határozzuk meg

mivel a feltételes elvárást használó elvárás az

normál eloszlásra az Y feltételes eloszlása ​​átlagos

most XY elvárása Y adott

ez ad

ennélfogva

Geometriai eloszlás varianciája

    A geometriai eloszlásban végezzünk egymás után független próbákat, amelyek p valószínűséggel adnak sikert, ha N az első siker időpontját jelenti ezekben az egymásutániságban, akkor N szórása definíció szerint a következő lesz.

Legyen az Y=1 valószínűségi változó, ha az első próba sikeres, és Y=0, ha az első próba sikertelen, most a matematikai elvárás megtalálásához itt alkalmazzuk a feltételes elvárást, mint

óta

ha az első próbálkozás sikeres, akkor N=1 és N2=1, ha az első próbálkozásnál kudarc következik be, akkor az első siker eléréséhez a kísérletek teljes száma megegyezik az 1-gyel, azaz az első próbálkozásé, amelyik sikertelen lesz, plusz a szükséges számú további próbálkozással, azaz

Így lesz az elvárás

mivel a geometriai eloszlás elvárása az so

ennélfogva

és a

E

tehát a geometriai eloszlás szórása az lesz

Az egyenletes valószínűségi változók sorozatának minimumának elvárása

   Az egységes valószínűségi változók sorozata U1, VAGY2 … .. a (0, 1) intervallumon át, és N a következőképpen van definiálva

akkor N-re számítva tetszőleges x ∈ [0, 1] esetén N értéke

N as elvárását fogjuk beállítani

a várakozás meghatározásához a folytonos valószínűségi változóra vonatkozó feltételes várakozás definícióját használjuk

most kondicionálja a sorozat első tagját  nekünk van

itt vagyunk

az egyenletes valószínűségi változó fennmaradó száma megegyezik azon a ponton, ahol az első egyenletes érték y, kezdetben, majd egységes valószínűségi változókat adtunk össze, amíg összegük meg nem haladta x − y-t.

tehát ezt a várakozási értéket használva az integrál értéke lesz

ha ezt az egyenletet megkülönböztetjük

és a

most ennek integrálása ad

ennélfogva

a k=1 értéke, ha x=0 , tehát

m

és m(1) =e, az egyenletes valószínűségi változók várható száma a (0, 1) intervallumban, amelyeket össze kell adni, amíg összegük meghaladja az 1-et, egyenlő e-vel

Valószínűség feltételes várakozást használva || valószínűségek kondicionálás használatával

   A valószínűséget a feltételes várakozáshoz hasonló feltételes várakozással is megtalálhatjuk, hogy egy eseményt és egy X valószínűségi változót vegyünk figyelembe.

ennek a valószínűségi változónak a definíciójából és a várakozásból egyértelműen

most feltételes várakozással, bármilyen értelemben

Példa:

számolja ki a valószínűségi tömegfüggvény Ha U az egyenletes valószínűségi változó a (0,1) intervallumon, és tekintsük X feltételes eloszlását U=p binomiálisnak n és p paraméterekkel.

Megoldás:

U értékére a kondicionált valószínűség az

megvan az eredmény

szóval megkapjuk

Példa:

mekkora a valószínűsége annak, hogy X < Y, ha X és Y a folytonos valószínűségi változók f valószínűségi sűrűségfüggvénnyelX és fY illetőleg.

Megoldás:

Feltételes várakozás és feltételes valószínűség használatával

as

Példa:

Számítsa ki az X és Y folytonos független valószínűségi változók összegének eloszlását!

Megoldás:

Az X+Y eloszlásának megtalálásához meg kell találnunk az összeg valószínűségét a kondicionálás segítségével a következőképpen

Következtetés:

A diszkrét és folytonos valószínűségi változó feltételes elvárása különböző példákkal, figyelembe véve ezeknek a valószínűségi változóknak néhány típusát, amelyeket a független valószínűségi változó és a különböző feltételek közötti együttes eloszlás segítségével tárgyaltunk, valamint a feltételes elvárás használatával történő megtalálás elvárása és valószínűsége. Példák, ha további olvasásra van szüksége, olvassa el az alábbi könyveket, vagy ha további cikkeket szeretne a valószínűségről, kövesse a mi Matematikai oldalak.

https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution

Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól

Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai

ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba

Lapozzon a lap tetejére