Mivel az egymástól függő valószínűségi változók feltételes valószínűségek kiszámítását igénylik, amelyeket már tárgyaltunk, most néhány további paramétert tárgyalunk az ilyen valószínűségi változókhoz vagy kísérletekhez, mint például a feltételes várakozás és a feltételes variancia különböző típusú valószínűségi változókhoz.
Feltételes Elvárás
Az X diszkrét valószínűségi változó feltételes valószínűségi tömegfüggvényének definíciója adott Y
itt pY(y)>0 , tehát a feltételes a diszkrét valószínűségi változóra vonatkozó elvárás X adott Y, ha pY(y)>0
a fenti elvárásban a valószínűség a feltételes valószínűség.
Hasonló módon, ha X és Y folytonos, akkor az X valószínűségi változó feltételes valószínűségi sűrűségfüggvénye adott Y
ahol f(x,y) az együttes valószínűségi sűrűségfüggvény és minden yf-reY(y)>0 , tehát az X valószínűségi változó feltételes elvárása adott y lesz
minden yf számáraY(y)>0.
Mint tudjuk, hogy az összes A valószínűség tulajdonságai alkalmazhatók a feltételes valószínűsége ugyanez a helyzet a feltételes elvárással, a matematikai elvárás összes tulajdonságát kielégíti a feltételes várakozás, például a valószínűségi változó függvényének feltételes elvárása
és a feltételes várakozásban szereplő valószínűségi változók összege az lesz
Feltételes elvárás binomiális valószínűségi változók összegére
Feltételes megtalálni a binomiális valószínűségi változók összegére vonatkozó elvárás X és Y független n és p paraméterekkel, tudjuk, hogy X+Y egyben binomiális valószínűségi változó is lesz 2n és p paraméterekkel, így X+Y=m adott X valószínűségi változóra a feltételes várakozást úgy kapjuk meg, hogy kiszámítjuk. a valószínűség
hiszen ezt tudjuk
így X feltételes várakozása adott X+Y=m az
Példa:
Keresse meg a feltételes elvárást
ha az ízület folytonos valószínűségi változók valószínűségi sűrűségfüggvénye X és Y így van megadva
megoldás:
A feltételes elvárás kiszámításához feltételes valószínűségi sűrűségfüggvényre van szükség, tehát
mivel a folytonos valószínűségi változóra az feltételes elvárás az
így az adott sűrűségfüggvényre a feltételes elvárás az lenne
Elvárás kondicionálással||Elvárás feltételes elvárással
Ki tudjuk számolni a matematikai elvárás X adott Y as feltételes várakozásának segítségével
a diszkrét valószínűségi változók esetében ez lesz
amely beszerezhető mint
a folytonos véletlenre pedig hasonlóan megmutathatjuk
Példa:
Egy ember a föld alatt rekedt az épületében, mert a bejárata el van zárva egy nagy terhelés miatt szerencsére három csővezeték van, ahonnan ki tud jönni az első cső 3 óra múlva viheti ki biztonságosan, a második 5 óra múlva, a harmadik pedig azután. 7 óra, Ha ezek közül bármelyiket egyformán valószínűnek választaná, akkor mennyi lenne az az idő, amikor épségben kijön.
Megoldás:
Legyen X az a valószínűségi változó, amely jelöli azt az időt órákban, amíg a személy biztonságosan kijött, Y pedig azt a csövet, amelyet kezdetben választott.
óta
Ha az ember a második csövet választja, abban 5 házat tölt, de a várt idővel kijön
így lesz az elvárás
A valószínűségi változók véletlenszámának összegének elvárása feltételes várakozással
Legyen N a valószínűségi változó véletlenszáma, a valószínűségi változók összege pedig az akkor az elvárás
óta
as
így
Kétváltozós eloszlás korrelációja
Ha a kétváltozós X és Y valószínűségi változó valószínűségi sűrűségfüggvénye az
ahol
akkor az X és Y valószínűségi változó közötti korreláció a sűrűségfüggvényű kétváltozós eloszlás esetén az
mivel a korrelációt úgy határozzuk meg
mivel a feltételes elvárást használó elvárás az
normál eloszlásra az Y feltételes eloszlása átlagos
most XY elvárása Y adott
ez ad
ennélfogva
Geometriai eloszlás varianciája
A geometriai eloszlásban végezzünk egymás után független próbákat, amelyek p valószínűséggel adnak sikert, ha N az első siker időpontját jelenti ezekben az egymásutániságban, akkor N szórása definíció szerint a következő lesz.
Legyen az Y=1 valószínűségi változó, ha az első próba sikeres, és Y=0, ha az első próba sikertelen, most a matematikai elvárás megtalálásához itt alkalmazzuk a feltételes elvárást, mint
óta
ha az első próbálkozás sikeres, akkor N=1 és N2=1, ha az első próbálkozásnál kudarc következik be, akkor az első siker eléréséhez a kísérletek teljes száma megegyezik az 1-gyel, azaz az első próbálkozásé, amelyik sikertelen lesz, plusz a szükséges számú további próbálkozással, azaz
Így lesz az elvárás
mivel a geometriai eloszlás elvárása az so
ennélfogva
és a
E
tehát a geometriai eloszlás szórása az lesz
Az egyenletes valószínűségi változók sorozatának minimumának elvárása
Az egységes valószínűségi változók sorozata U1, VAGY2 … .. a (0, 1) intervallumon át, és N a következőképpen van definiálva
akkor N-re számítva tetszőleges x ∈ [0, 1] esetén N értéke
N as elvárását fogjuk beállítani
a várakozás meghatározásához a folytonos valószínűségi változóra vonatkozó feltételes várakozás definícióját használjuk
most kondicionálja a sorozat első tagját nekünk van
itt vagyunk
az egyenletes valószínűségi változó fennmaradó száma megegyezik azon a ponton, ahol az első egyenletes érték y, kezdetben, majd egységes valószínűségi változókat adtunk össze, amíg összegük meg nem haladta x − y-t.
tehát ezt a várakozási értéket használva az integrál értéke lesz
ha ezt az egyenletet megkülönböztetjük
és a
most ennek integrálása ad
ennélfogva
a k=1 értéke, ha x=0 , tehát
m
és m(1) =e, az egyenletes valószínűségi változók várható száma a (0, 1) intervallumban, amelyeket össze kell adni, amíg összegük meghaladja az 1-et, egyenlő e-vel
Valószínűség feltételes várakozást használva || valószínűségek kondicionálás használatával
A valószínűséget a feltételes várakozáshoz hasonló feltételes várakozással is megtalálhatjuk, hogy egy eseményt és egy X valószínűségi változót vegyünk figyelembe.
ennek a valószínűségi változónak a definíciójából és a várakozásból egyértelműen
most feltételes várakozással, bármilyen értelemben
Példa:
számolja ki a valószínűségi tömegfüggvény Ha U az egyenletes valószínűségi változó a (0,1) intervallumon, és tekintsük X feltételes eloszlását U=p binomiálisnak n és p paraméterekkel.
Megoldás:
U értékére a kondicionált valószínűség az
megvan az eredmény
szóval megkapjuk
Példa:
mekkora a valószínűsége annak, hogy X < Y, ha X és Y a folytonos valószínűségi változók f valószínűségi sűrűségfüggvénnyelX és fY illetőleg.
Megoldás:
Feltételes várakozás és feltételes valószínűség használatával
as
Példa:
Számítsa ki az X és Y folytonos független valószínűségi változók összegének eloszlását!
Megoldás:
Az X+Y eloszlásának megtalálásához meg kell találnunk az összeg valószínűségét a kondicionálás segítségével a következőképpen
Következtetés:
A diszkrét és folytonos valószínűségi változó feltételes elvárása különböző példákkal, figyelembe véve ezeknek a valószínűségi változóknak néhány típusát, amelyeket a független valószínűségi változó és a különböző feltételek közötti együttes eloszlás segítségével tárgyaltunk, valamint a feltételes elvárás használatával történő megtalálás elvárása és valószínűsége. Példák, ha további olvasásra van szüksége, olvassa el az alábbi könyveket, vagy ha további cikkeket szeretne a valószínűségről, kövesse a mi Matematikai oldalak.
https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution
Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól
Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai
ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba
