Feltételes eltérés és előrejelzések: 7 fontos tény

Ebben a cikkben a feltételes szórást és a feltételes várakozást használó előrejelzéseket a különböző típusú valószínűségi változókra néhány példával tárgyaljuk.

Feltételes variancia

Az X valószínűségi változó feltételes varianciája Y adott esetben hasonlóan van definiálva, mint az X valószínűségi változó feltételes elvárása Y adott esetben.

(X|Y)=E[(XE[X|Y])2|Y]

itt a variancia a valószínűségi változó és az X feltételes várakozásának négyzete közötti különbség feltételes elvárása Y adott Y értéke esetén.

A feltételes variancia és feltételes elvárás is

(X|Y) = E[X2|Y] – (E[X|Y])2

E[(X|Y)] = E[E[X2|Y]] – E[(E[X|Y])2]

= E[X2] – E[(E[X\Y])2]

mivel E[E[X|Y]] = E[X], megvan

(E[X|Y]) = E[(E[X|Y])2] – (E[X])2

ez valahogy hasonló a feltétlen szórás és az elvárás viszonyához, ami volt

Var(X) = E[X2] – (E[X])2

és az as feltételes variancia segítségével megtalálhatjuk a szórást

Var(X) = E[var(X|Y] + var(E[X|Y])

Példa a feltételes varianciára

Határozza meg az autóbuszba beszálló utasok számának átlagát és szórását, ha a buszpályaudvarra érkezett emberek Poisson eloszlása ​​λt átlaggal, és a buszpályaudvarra érkezett kezdeti autóbusz egyenletesen oszlik el a (0,T) intervallumon személyektől függetlenül. megérkezett vagy sem.

Megoldás:

A tetszőleges t idő átlagának és szórásának meghatározásához Y a busz érkezési idejének valószínűségi változója, N(t) pedig az érkezések száma

E[N(Y)|Y = t] = E[N(t)|Y = t]

Y és N(t) függetlenségével

=λt

mivel N(t) Poisson átlaggal \lambda t
Ennélfogva

E[N(Y)|Y]=λY

tehát az elvárások vétele ad

E[N(Y)] = λE[Y] = λT/2

A Var(N(Y)) meghatározásához a feltételes varianciaképletet használjuk

így

(N(Y)|Y) = λY

E[N(Y)|Y] = λY

Ezért a feltételes varianciaképletből

Var(N(Y)) = E[λY]+(λY)

=λT/2 + λ2T2/ 12

ahol azt a tényt használtuk, hogy Var(Y)=T2 / 12.

Egy véletlenszámú valószínűségi változó összegének szórása

tekintsük a sorozat független és azonos megosztott valószínűségi változók X1,X2,X3,………. és egy másik ettől a sorozattól független N valószínűségi változót találunk összeg szórása ebből a sorozatból mint

segítségével

ami nyilvánvaló az egyedi valószínűségi változó variancia és feltételes variancia meghatározásával a valószínűségi változók sorozatának összegére, tehát

Jóslás

A predikcióban egy valószínűségi változó értéke megjósolható egy másik valószínűségi változó megfigyelése alapján, az Y valószínűségi változó előrejelzéséhez, ha a megfigyelt valószínűségi változó X, akkor g(X) függvényt használunk, amely megmondja a megjósolt értéket, természetesen próbáld meg Y-ra zárt g(X)-et választani ehhez a legjobb g g(X)=E(Y|X) ehhez minimálisra kell csökkentenünk g értékét az egyenlőtlenség segítségével

Ezt az egyenlőtlenséget úgy kaphatjuk meg

Azonban adott X, E[Y|X]-g(X), mivel X függvénye, konstansként kezelhető. És így,

amely megadja a szükséges egyenlőtlenséget

Példák az előrejelzésre

1. Megfigyelhető, hogy egy személy magassága hat láb, mi lenne a fiai felnőttkori magasságának előrejelzése, ha a fiú magassága, amely jelenleg x hüvelyk, normálisan eloszlik x+1 átlaggal és 4 szórással.

Megoldás: legyen X a személy magasságát jelölő valószínűségi változó és Y a fia magasságának valószínűségi változója, akkor az Y valószínűségi változó

Y=X+e+1

itt e jelenti az X valószínűségi változótól független normál valószínűségi változót, átlagos nullával és négyes varianciával.

tehát a fiak magasságára vonatkozó jóslat az

tehát a fia magassága 73 centi lesz a növekedés után.

2. Tekintsünk egy példát jelek küldésére az A helyről és a B helyről, ha az A helyről egy s jelértéket küldenek, amelyet a B helyen normál eloszlásban vettek s átlaggal és 1 szórással, míg ha az A helyről küldött S jel normális eloszlású. \mu átlaggal és \sigma^2 szórással hogyan tudjuk megjósolni, hogy az A helyről küldött R jel értéke r lesz a B helyen?

Megoldás: Az S és R jelértékek itt a normális eloszlású valószínűségi változókat jelölik, először keressük meg az S feltételes sűrűségfüggvényt R mint

ez a K független S-től, most

itt is C1 és C2 függetlenek S-től, így a feltételes sűrűségfüggvény értéke az

C is független s-től, így az A helyről R-ként küldött és a B helyről r-ként vett jel átlaggal és szórással normális.

és ennek a helyzetnek az átlagos négyzetes hibája

Lineáris előrejelző

Minden alkalommal, amikor nem találjuk a közös valószínűségi sűrűségfüggvényt, még az átlag, a variancia és a korreláció is ismert két valószínűségi változó között, ilyen helyzetben nagyon hasznos az egyik valószínűségi változó lineáris előrejelzője egy másik valószínűségi változóhoz képest, amely meg tudja jósolni a minimumot. , így az Y valószínűségi változó lineáris előrejelzőjét X valószínűségi változóhoz viszonyítva a-t és b-t veszünk, hogy minimalizáljuk

Most részleges különbséget teszünk a és b tekintetében, kapjuk

ezt a két egyenletet a nd b-re megoldva azt kapjuk

így ezt a várakozást minimalizálva a lineáris prediktor as

ahol az átlagok az X és Y valószínűségi változók megfelelő átlagai, a lineáris prediktor hibáját a következő elvárások mellett kapjuk meg.

feltételes variancia
feltételes variancia: Hiba az előrejelzésben

Ez a hiba közelebb lesz a nullához, ha a korreláció tökéletesen pozitív vagy tökéletesen negatív, vagyis a korrelációs együttható +1 vagy -1.

Következtetés

A diszkrét és a folytonos valószínűségi változó feltételes varianciáját különböző példákkal tárgyaltuk, a feltételes várakozás egyik fontos alkalmazását az előrejelzésben szintén megfelelő példákkal és a legjobb lineáris prediktorral magyarázzuk el, ha további olvasásra van szükség, az alábbi linkeken keresztül.

A matematikával kapcsolatos további bejegyzésekért tekintse meg a mi oldalunkat Matematika oldal

Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól

Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai

ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba

Lapozzon a lap tetejére