Ebben a cikkben a feltételes szórást és a feltételes várakozást használó előrejelzéseket a különböző típusú valószínűségi változókra néhány példával tárgyaljuk.
Feltételes variancia
Az X valószínűségi változó feltételes varianciája Y adott esetben hasonlóan van definiálva, mint az X valószínűségi változó feltételes elvárása Y adott esetben.
(X|Y)=E[(XE[X|Y])2|Y]
itt a variancia a valószínűségi változó és az X feltételes várakozásának négyzete közötti különbség feltételes elvárása Y adott Y értéke esetén.
A feltételes variancia és feltételes elvárás is
(X|Y) = E[X2|Y] – (E[X|Y])2
E[(X|Y)] = E[E[X2|Y]] – E[(E[X|Y])2]
= E[X2] – E[(E[X\Y])2]
mivel E[E[X|Y]] = E[X], megvan
(E[X|Y]) = E[(E[X|Y])2] – (E[X])2
ez valahogy hasonló a feltétlen szórás és az elvárás viszonyához, ami volt
Var(X) = E[X2] – (E[X])2
és az as feltételes variancia segítségével megtalálhatjuk a szórást
Var(X) = E[var(X|Y] + var(E[X|Y])
Példa a feltételes varianciára
Határozza meg az autóbuszba beszálló utasok számának átlagát és szórását, ha a buszpályaudvarra érkezett emberek Poisson eloszlása λt átlaggal, és a buszpályaudvarra érkezett kezdeti autóbusz egyenletesen oszlik el a (0,T) intervallumon személyektől függetlenül. megérkezett vagy sem.
Megoldás:
A tetszőleges t idő átlagának és szórásának meghatározásához Y a busz érkezési idejének valószínűségi változója, N(t) pedig az érkezések száma
E[N(Y)|Y = t] = E[N(t)|Y = t]
Y és N(t) függetlenségével
=λt
mivel N(t) Poisson átlaggal \lambda t
Ennélfogva
E[N(Y)|Y]=λY
tehát az elvárások vétele ad
E[N(Y)] = λE[Y] = λT/2
A Var(N(Y)) meghatározásához a feltételes varianciaképletet használjuk
így
(N(Y)|Y) = λY
E[N(Y)|Y] = λY
Ezért a feltételes varianciaképletből
Var(N(Y)) = E[λY]+(λY)
=λT/2 + λ2T2/ 12
ahol azt a tényt használtuk, hogy Var(Y)=T2 / 12.
Egy véletlenszámú valószínűségi változó összegének szórása
tekintsük a sorozat független és azonos megosztott valószínűségi változók X1,X2,X3,………. és egy másik ettől a sorozattól független N valószínűségi változót találunk összeg szórása ebből a sorozatból mint
segítségével
ami nyilvánvaló az egyedi valószínűségi változó variancia és feltételes variancia meghatározásával a valószínűségi változók sorozatának összegére, tehát
Jóslás
A predikcióban egy valószínűségi változó értéke megjósolható egy másik valószínűségi változó megfigyelése alapján, az Y valószínűségi változó előrejelzéséhez, ha a megfigyelt valószínűségi változó X, akkor g(X) függvényt használunk, amely megmondja a megjósolt értéket, természetesen próbáld meg Y-ra zárt g(X)-et választani ehhez a legjobb g g(X)=E(Y|X) ehhez minimálisra kell csökkentenünk g értékét az egyenlőtlenség segítségével
Ezt az egyenlőtlenséget úgy kaphatjuk meg
Azonban adott X, E[Y|X]-g(X), mivel X függvénye, konstansként kezelhető. És így,
amely megadja a szükséges egyenlőtlenséget
Példák az előrejelzésre
1. Megfigyelhető, hogy egy személy magassága hat láb, mi lenne a fiai felnőttkori magasságának előrejelzése, ha a fiú magassága, amely jelenleg x hüvelyk, normálisan eloszlik x+1 átlaggal és 4 szórással.
Megoldás: legyen X a személy magasságát jelölő valószínűségi változó és Y a fia magasságának valószínűségi változója, akkor az Y valószínűségi változó
Y=X+e+1
itt e jelenti az X valószínűségi változótól független normál valószínűségi változót, átlagos nullával és négyes varianciával.
tehát a fiak magasságára vonatkozó jóslat az
tehát a fia magassága 73 centi lesz a növekedés után.
2. Tekintsünk egy példát jelek küldésére az A helyről és a B helyről, ha az A helyről egy s jelértéket küldenek, amelyet a B helyen normál eloszlásban vettek s átlaggal és 1 szórással, míg ha az A helyről küldött S jel normális eloszlású. \mu átlaggal és \sigma^2 szórással hogyan tudjuk megjósolni, hogy az A helyről küldött R jel értéke r lesz a B helyen?
Megoldás: Az S és R jelértékek itt a normális eloszlású valószínűségi változókat jelölik, először keressük meg az S feltételes sűrűségfüggvényt R mint
ez a K független S-től, most
itt is C1 és C2 függetlenek S-től, így a feltételes sűrűségfüggvény értéke az
C is független s-től, így az A helyről R-ként küldött és a B helyről r-ként vett jel átlaggal és szórással normális.
és ennek a helyzetnek az átlagos négyzetes hibája
Lineáris előrejelző
Minden alkalommal, amikor nem találjuk a közös valószínűségi sűrűségfüggvényt, még az átlag, a variancia és a korreláció is ismert két valószínűségi változó között, ilyen helyzetben nagyon hasznos az egyik valószínűségi változó lineáris előrejelzője egy másik valószínűségi változóhoz képest, amely meg tudja jósolni a minimumot. , így az Y valószínűségi változó lineáris előrejelzőjét X valószínűségi változóhoz viszonyítva a-t és b-t veszünk, hogy minimalizáljuk
Most részleges különbséget teszünk a és b tekintetében, kapjuk
ezt a két egyenletet a nd b-re megoldva azt kapjuk
így ezt a várakozást minimalizálva a lineáris prediktor as
ahol az átlagok az X és Y valószínűségi változók megfelelő átlagai, a lineáris prediktor hibáját a következő elvárások mellett kapjuk meg.
Ez a hiba közelebb lesz a nullához, ha a korreláció tökéletesen pozitív vagy tökéletesen negatív, vagyis a korrelációs együttható +1 vagy -1.
Következtetés
A diszkrét és a folytonos valószínűségi változó feltételes varianciáját különböző példákkal tárgyaltuk, a feltételes várakozás egyik fontos alkalmazását az előrejelzésben szintén megfelelő példákkal és a legjobb lineáris prediktorral magyarázzuk el, ha további olvasásra van szükség, az alábbi linkeken keresztül.
A matematikával kapcsolatos további bejegyzésekért tekintse meg a mi oldalunkat Matematika oldal
Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól
Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai
ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba
