Folytonos valószínűségi változó, típusai és eloszlása

     A véges vagy megszámlálhatóan végtelen értékeket felvevő valószínűségi változót diszkrét valószínűségi változónak nevezzük, és valószínűségpárja alkotja a diszkrét valószínűségi változó eloszlását. Most arra a valószínűségi változóra vonatkozóan, aki megszámlálhatatlannak veszi az értékeket, mi lenne a valószínűsége és a fennmaradó jellemzők, amelyeket tárgyalni fogunk. Így röviden a folytonos valószínűségi változó az a valószínűségi változó, amelynek értékei megszámlálhatatlanok. A folytonos valószínűségi változó valós példája az elektromos vagy elektronikus alkatrészek élettartama, valamint az adott tömegközlekedési jármű megállóba érkezése stb.

Folyamatos valószínűségi változó és valószínűségi sűrűségfüggvény

                Véletlen változó  folytonos valószínűségi változó lesz, ha egy nem negatív valós értékű f függvényre x-en ∈ ℝ és B ⊆ ℝ és a

ez az f függvény neve Valószínűségi sűrűségfüggvény  az adott X valószínűségi változóból.

A a valószínűségi sűrűségfüggvény nyilvánvalóan kielégíti a következő valószínűségi axiómákat

Mivel a valószínűség axiómáiból tudjuk, hogy a teljes valószínűség egy ilyen

A folytonos valószínűségi változó esetén a valószínűséget az ilyen f függvény alapján számítjuk ki, tegyük fel, hogy meg akarjuk találni a valószínűségét a folytonos intervallumra mondjuk [a, b] akkor ez lenne

Mint tudjuk, az integráció a görbe alatti területet jelenti, így ez a valószínűség olyan területet mutat a valószínűséghez, mint pl.

a=b egyenletével az érték lesz

és hasonló módon a valószínűsége annak, hogy az érték kisebb vagy egyenlő, ha ezt követi

Példa: Az elektronikus komponens folyamatos működési idejét folyamatos valószínűségi változó formájában fejezzük ki, a valószínűségi sűrűségfüggvényt pedig

határozza meg annak valószínűségét, hogy az alkatrész hatékonyan fog működni 50 és 150 óra között, és annak valószínűségét, hogy ez kevesebb, mint 100 óra.

mivel a valószínűségi változó a folytonos valószínűségi változót reprezentálja, így a kérdésben megadott valószínűségi sűrűségfüggvény megadja a teljes valószínűséget

Tehát megkapjuk az értékét λ

λ = 1/100

50 óra és 150 óra közötti valószínűséggel rendelkezünk

hasonló módon 100-nál kisebb valószínűség lesz

Példa: A számítógép alapú eszköz számos chipkészlettel rendelkezik, amelyek élettartamát a valószínűségi sűrűség függvény adja

majd 150 óra elteltével találjuk meg annak a valószínűségét, hogy az összesen 2 chipből 5 chipset kell lecserélnünk.

fontoljuk meg E_i legyen az i-edik lapkakészlet cseréjének eseménye. így az ilyen esemény valószínűsége az lesz

mivel az összes chip működése független, így a 2 cseréjének valószínűsége lesz

Kumulatív eloszlási függvény

  A folytonos valószínűségi változó kumulatív eloszlásfüggvényét az as valószínűségi eloszlásfüggvény segítségével határozzuk meg

más formában

as eloszlásfüggvény segítségével megkaphatjuk a valószínűségi sűrűségfüggvényt

Folyamatos valószínűségi változó matematikai elvárása és varianciája

Várakozás

A a folytonos valószínűségi változó matematikai elvárása vagy átlaga  valószínűségi sűrűségfüggvénnyel definiálható

• A folytonos valószínűségi változó bármely valós értékű függvényére az X várakozás lesz

ahol g a valós érték funkció.

1. Bármilyen nem negatív folytonosra véletlen változó Y az elvárás lesz

• Bármilyen a és b állandóra

E[aX + b] = aE[X] + b

Variancia

                Az X folytonos valószínűségi változó varianciája a paraméter átlagával vagy a várakozással  ugyanúgy definiálható, mint a diszkrét valószínűségi változó

   A fentiek bizonyítéka a várakozás és a szórás tulajdonságai könnyen megkaphatjuk, ha követjük a diszkrét valószínűségi változóban található lépéseket, valamint a várakozás, a variancia és a valószínűség definícióit folytonos valószínűségi változóban

Példa: Ha az X folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűségfüggvényét adjuk meg

majd keresse meg az X folytonos valószínűségi változó elvárását és szórását.

Megoldás:  Az adott valószínűségi sűrűségfüggvényhez

a definíció szerint várható érték lesz

A variancia meghatározásához most E[X-re van szükségünk²]

Óta

so

Egységes valószínűségi változó

    Ha az X folytonos valószínűségi változónak a valószínűségi sűrűségfüggvénye van

a (0,1) intervallumon, akkor ezt az eloszlást egyenletes eloszlásnak, a valószínűségi változót pedig egységes valószínűségi változónak nevezzük.

• Bármely olyan a és b állandóra, amelyre 0

Egységes valószínűségi változó elvárása és varianciája

      Az (α , β) általános intervallumon egyenletesen folytonos X valószínűségi változóra a definíció szerinti elvárás

és szórást akkor kapunk, ha először E[X-et találunk²]

so

Példa: Egy adott állomásra a vonatok az adott célállomásra 15 perces gyakorisággal érkeznek reggel 7-től Az utas számára, aki 7 és 7.30:5 között van az állomáson egyenletesen elosztva, mekkora a valószínűsége annak, hogy az utas 10 percen belül vonatot kap. és mi lesz a valószínűsége XNUMX percnél tovább.

Megoldás: Mivel a 7-től 7.30-ig terjedő idő egyenletesen oszlik el az utas számára, hogy a pályaudvaron tartózkodjon, jelölje ezt egységes X valószínűségi változóval. így az intervallum (0, 30) lesz.

Mivel a vonat 5 percen belüli eléréséhez az utasnak az állomáson kell lennie 7.10 és 7.15 vagy 7.25 és 7.30 között, így ennek a valószínűsége

= 1/3

Hasonló módon ahhoz, hogy 10 percnél hosszabb várakozás után a vonathoz jusson, az utasnak az állomáson kell lennie 7-7.05 vagy 7.15-7.20 között, így ennek valószínűsége

Példa: Határozza meg a valószínűségét, hogy az egyenletes X valószínűségi változó a (0,10 ) intervallumon eloszlik!

X<3, X>6 és 3 esetén

Megoldás: mivel a valószínűségi változó egyenletes eloszlású, így a valószínűségek is lesznek

Példa: (Bertrands-paradoxon) Egy kör bármely véletlenszerű akkordjához. mekkora a valószínűsége annak, hogy ennek a véletlenszerű húrnak a hossza nagyobb lesz, mint az azonos oldalú háromszög ugyanazon körbe írt oldala.

Ennek a feladatnak nincs helye a véletlenszerű húrhoz képest, ezért ezt a feladatot újrafogalmaztuk átmérővel vagy szöggel, majd úgy válaszoltunk, hogy 1/3-ot kaptunk.

Következtetés:

   Ebben a cikkben a folytonos valószínűségi változó fogalmát és annak valószínűségi sűrűségfüggvénnyel való eloszlását tárgyaltuk, valamint megadtuk a statisztikai paraméterek átlagát, szórását a folytonos valószínűségi változóra. Megadjuk az egységes valószínűségi változót és annak eloszlását példával, amely a folytonos valószínűségi változó típusa, az egymást követő cikkben a folytonos valószínűségi változók néhány fontos típusára fogunk összpontosítani megfelelő példákkal és tulajdonságokkal. , ha szeretnél még olvasni, akkor menj végig:

Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Ha további matematikai témákat szeretnél olvasni, menj át Matematika oldal.