Kovariancia, összegek eltérése: 7 fontos tény

KOVARIANCIA, AZ ÖSSZEGEK VARIANCIÁJA ÉS VÉLETLENSZERŰ VÁLTOZÓK KORRELÁCIÓI

  A különböző természetű valószínűségi változók statisztikai paraméterei a valószínűségi változó elvárás definíciójával könnyen beszerezhetők és megérthetők, a következőkben a valószínűségi változó matematikai elvárása segítségével találunk néhány paramétert.

A bekövetkezett események számának pillanatai

    Eddig azt tudtuk, hogy a valószínűségi változók különböző hatványainak elvárása a valószínűségi változók pillanatai, és hogyan lehet megtalálni a valószínűségi változó várható értékét az eseményekből, ha az események száma már megtörtént, most az az érdeklődésünk, hogy az események száma pár már megtörtént, most ha X a bekövetkezett események számát jelenti, akkor az A eseményekre1, A2, …., An határozza meg az I indikátorváltozóti as

a diszkrét értelemben vett X elvárása az lesz

mert az X valószínűségi változó az

most a várakozás meghatározásához, ha az eseménypár száma már megtörtént, használnunk kell kombináció as

ez elvárást ad, mint

ebből megkapjuk az x négyzet elvárását és a variancia értékét is by

Ennek a beszélgetésnek a segítségével különféle valószínűségi változókra fókuszálunk, hogy megtaláljuk az ilyen pillanatokat.

Binomiális valószínűségi változók pillanatai

   Ha p az n független próba sikerének valószínűsége, akkor jelöljük A-ti a tárgyaláshoz i mint sikert úgy

és ezért a binomiális valószínűségi változó varianciája lesz

mert

ha k eseményre általánosítunk

ezt a várakozást egymás után megkaphatjuk 3-nál nagyobb k értékre, keressük meg 3-ra

ennek az iterációnak a segítségével megkaphatjuk

Hipergeometrikus valószínűségi változók pillanatai

  Ennek a valószínűségi változónak a momentumait egy példa segítségével fogjuk megérteni, tegyük fel, hogy n tollat ​​véletlenszerűen választunk ki egy N tollat ​​tartalmazó dobozból, amelyek közül m kék. Legyen Ai jelölje az eseményeket, hogy az i-edik toll kék, most X a kiválasztott kék toll száma egyenlő az események számával A1,A2,…..,An amelyek azért fordulnak elő, mert a kiválasztott i-edik toll egyformán valószínű, mint bármelyik N toll, amelyek közül m kék

és így

ez ad

tehát a hipergeometrikus valószínűségi változó varianciája az lesz

hasonló módon a magasabb pillanatokra

ennélfogva

A negatív hipergeometrikus valószínűségi változók momentumai

  Tekintsünk egy példát egy n+m vakcinát tartalmazó csomagra, amelyben n speciális, m pedig közönséges, ezeket az oltóanyagokat egyenként távolítják el, és minden új eltávolítás egyenlő valószínűséggel a csomagban maradt vakcinák bármelyikét tartalmazza. Most jelölje az Y valószínűségi változó azon vakcinák számát, amelyeket összesen r speciális vakcina eltávolításáig ki kell vonni, ami negatív hipergeometrikus eloszlás, ez valahogy hasonló a negatív binomiális és binomiális eloszláshoz, mint a hipergeometrikus eloszláshoz. megtalálni a valószínűség tömegfüggvény, ha a k-dik húzás megadja a speciális vakcinát, miután k-1 húzás ad r-1 speciális és kr közönséges vakcinát

most az Y valószínűségi változó

Y=r+X

az eseményekhez Ai

as

ezért Y szórásának meghatározásához ismernünk kell X varianciáját tehát

ennélfogva

KOVARIANCE             

Két valószínűségi változó közötti kapcsolat a statisztikai paraméter kovariancia segítségével ábrázolható, mielőtt két X és Y valószínűségi változó kovariancia definíciója definiálja, hogy az X és Y valószínűségi változók két g és h függvényének elvárása azt adja.

ennek a várakozási relációnak a segítségével definiálhatjuk a kovarianciát úgy

   " Az X valószínűségi változó és az Y valószínűségi változó közötti kovariancia, amelyet cov(X,Y) jelöl, a következőképpen definiálható:

az elvárás definícióját használva és kiterjesztve azt kapjuk

világos, hogy ha az X és Y valószínűségi változók függetlenek, akkor

de fordítva nem igaz például ha

és az Y valószínűségi változót úgy definiáljuk

so

itt egyértelműen X és Y nem függetlenek, de a kovariancia nulla.

A kovariancia tulajdonságai

  Az X és Y valószínűségi változók közötti kovariancia a következő tulajdonságokkal rendelkezik

A kovariancia definícióját használva az első három tulajdonság azonnali, a negyedik tulajdonság pedig figyelembe vétel után következik

most definíció szerint

kovariancia

Az összegek szórása

Ezen tulajdonságok fontos eredménye az

as

Ha Xi akkor páronként függetlenek

Példa: Egy binomiális valószínűségi változó varianciája

  Ha X a valószínűségi változó

ahol Xi a független Bernoulli valószínűségi változók olyanok, hogy

 majd keressük meg egy X binomiális valószínűségi változó varianciáját n és p paraméterekkel.

Megoldás:

óta

így egyetlen változóra van

tehát a szórás az

Példa

  A független X valószínűségi változókrai a megfelelő átlaggal és szórással, valamint egy új valószínűségi változóval as eltéréssel

majd számold ki

megoldás:

A fenti tulajdonság és definíció használatával megkaptuk

most az S valószínűségi változóhoz

KOVARIANCE

fogadd el az elvárást

Példa:

Határozzuk meg az A és B események indikátorfüggvényeinek kovarianciáját!

Megoldás:

az A és B eseményeknél a jelzőfunkciók a következők

tehát az elvárás ezekkel szemben

így a kovariancia az

Példa:

     Mutasd

ahol Xi független valószínűségi változók varianciával.

Megoldás:

A tulajdonságokat és definíciót használó kovariancia a következő lesz

Példa:

  Számítsa ki az S valószínűségi változó átlagát és szórását, amely n mintavételi érték összege, ha N emberből álló halmaz van, akik mindegyikének van egy valós számmal mért véleménye egy bizonyos tárgyról v amely a személy „érzéseinek erejét” képviseli a témával kapcsolatban. Hadd  a személy érzésének erejét képviselik  ami ismeretlen, az információgyűjtéshez véletlenszerűen n-ből vett mintát veszünk N-ből, ezt az n embert kikérdezzük, és érzéseiket megkapjuk a vi kiszámításához.

Megoldás

definiáljuk az indikátorfüggvényt így

így S mint fejezhetjük ki

és elvárása mint

ez adja az as szórást

óta

nekünk van

ismerjük az azonosságot

so

tehát az említett valószínűségi változó átlaga és szórása az lesz

Következtetés:

A két valószínűségi változó közötti korrelációt kovarianciaként definiáljuk, és a kovariancia segítségével megkapjuk a különböző valószínűségi változókra a variancia összegét, a kovariancia és a különböző momentumok meghatározását a várakozás definíciója segítségével kapjuk meg, ha további olvasás szükséges, menjen át

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól

Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai

ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba.

A matematikával kapcsolatos további bejegyzésekért kérjük, kövesse az oldalunkat Matematika oldal

Lapozzon a lap tetejére