Kovariancia, összegek eltérése: 7 fontos tény -

KOVARIANCIA, AZ ÖSSZEGEK VARIANCIÁJA ÉS VÉLETLENSZERŰ VÁLTOZÓK KORRELÁCIÓI

A különböző természetű valószínűségi változók statisztikai paraméterei a valószínűségi változó elvárás definíciójával könnyen beszerezhetők és megérthetők, a következőkben a valószínűségi változó matematikai elvárása segítségével találunk néhány paramétert.

A bekövetkezett események számának pillanatai

Eddig azt tudtuk, hogy a valószínűségi változók különböző hatványainak elvárása a valószínűségi változók pillanatai, és hogyan lehet megtalálni a valószínűségi változó várható értékét az eseményekből, ha az események száma már megtörtént, most az az érdeklődésünk, hogy az események száma pár már megtörtént, most ha X a bekövetkezett események számát jelenti, akkor az A eseményekre₁, A₂, …., A_n határozza meg az I indikátorváltozót_i as

Ez az egyenlet leképezett formája. Ezt közvetlenül nem szerkesztheti. A jobb gombbal elmentheti a képet, és a legtöbb böngészőben áthúzhatja a képet az asztalra vagy egy másik programra.

a diszkrét értelemben vett X elvárása az lesz

mert az X valószínűségi változó az

most a várakozás meghatározásához, ha az eseménypár száma már megtörtént, használnunk kell kombináció as

ez elvárást ad, mint

ebből megkapjuk az x négyzet elvárását és a variancia értékét is by

Ennek a beszélgetésnek a segítségével különféle valószínűségi változókra fókuszálunk, hogy megtaláljuk az ilyen pillanatokat.

Binomiális valószínűségi változók pillanatai

Ha p az n független próba sikerének valószínűsége, akkor jelöljük A-t_i a tárgyaláshoz i mint sikert úgy

$E\left [ \binom{X}{2} \right ]= \sum_{i< j}^{} p^{2} = \binom{n}{2}p^{2}$

és ezért a binomiális valószínűségi változó varianciája lesz

mert

ha k eseményre általánosítunk

$E[X(X-1) \cdot \cdot \cdot \cdot (X-k+1) ] =n(n-1) \cdot\cdot\cdot (n-k+1)p^{k}$

ezt a várakozást egymás után megkaphatjuk 3-nál nagyobb k értékre, keressük meg 3-ra

$E[X^{3} -3X^{2} +2X] =n(n-1)(n-2)p^{3}$

ennek az iterációnak a segítségével megkaphatjuk

Hipergeometrikus valószínűségi változók pillanatai

Ennek a valószínűségi változónak a momentumait egy példa segítségével fogjuk megérteni, tegyük fel, hogy n tollat véletlenszerűen választunk ki egy N tollat tartalmazó dobozból, amelyek közül m kék. Legyen A_i jelölje az eseményeket, hogy az i-edik toll kék, most X a kiválasztott kék toll száma egyenlő az események számával A₁,A₂,…..,A_n amelyek azért fordulnak elő, mert a kiválasztott i-edik toll egyformán valószínű, mint bármelyik N toll, amelyek közül m kék

és így

$E\left [ \binom{X}{2} \right ] =\sum_{i< j}^{}\frac{m(m-1)}{n(n-1)} =\binom{n}{2}\frac{m(m-1)}{n(n-1)}$

ez ad

tehát a hipergeometrikus valószínűségi változó varianciája az lesz

$= n(n-1)\frac{m(m-1)}{N(N-1)} +\frac{nm}{N} -\frac{n^{2}m^{2}}{N^{2}}$ $=\frac{nm}{N} \left [ \frac{(n-1)(m-1)}{N-1} +1 + -\frac{mn}{N} \right ]$

hasonló módon a magasabb pillanatokra

$E\left [ \binom{X}{k} \right ] = \binom{n}{k} \frac{m(m-1)\cdot \cdot \cdot \cdot (m-k+1)}{N(N-1)\cdot \cdot \cdot \cdot (N-k+1)}$

ennélfogva

A negatív hipergeometrikus valószínűségi változók momentumai

Tekintsünk egy példát egy n+m vakcinát tartalmazó csomagra, amelyben n speciális, m pedig közönséges, ezeket az oltóanyagokat egyenként távolítják el, és minden új eltávolítás egyenlő valószínűséggel a csomagban maradt vakcinák bármelyikét tartalmazza. Most jelölje az Y valószínűségi változó azon vakcinák számát, amelyeket összesen r speciális vakcina eltávolításáig ki kell vonni, ami negatív hipergeometrikus eloszlás, ez valahogy hasonló a negatív binomiális és binomiális eloszláshoz, mint a hipergeometrikus eloszláshoz. megtalálni a valószínűség tömegfüggvény, ha a k-dik húzás megadja a speciális vakcinát, miután k-1 húzás ad r-1 speciális és kr közönséges vakcinát

most az Y valószínűségi változó

Y=r+X

az eseményekhez A_i

$E[Y]=r+ m\frac{r}{n+1}=\frac{r(n+m+1)}{n+1}$

ezért Y szórásának meghatározásához ismernünk kell X varianciáját tehát

ennélfogva

KOVARIANCE

Két valószínűségi változó közötti kapcsolat a statisztikai paraméter kovariancia segítségével ábrázolható, mielőtt két X és Y valószínűségi változó kovariancia definíciója definiálja, hogy az X és Y valószínűségi változók két g és h függvényének elvárása azt adja.

ennek a várakozási relációnak a segítségével definiálhatjuk a kovarianciát úgy

" Az X valószínűségi változó és az Y valószínűségi változó közötti kovariancia, amelyet cov(X,Y) jelöl, a következőképpen definiálható:

az elvárás definícióját használva és kiterjesztve azt kapjuk

$=E[XY] - E[X]E[Y] - E[X]E[Y] +E[X]E[Y]$ $=E[XY] - E[X]E[Y]$

világos, hogy ha az X és Y valószínűségi változók függetlenek, akkor

de fordítva nem igaz például ha

és az Y valószínűségi változót úgy definiáljuk

itt egyértelműen X és Y nem függetlenek, de a kovariancia nulla.

A kovariancia tulajdonságai

Az X és Y valószínűségi változók közötti kovariancia a következő tulajdonságokkal rendelkezik

A kovariancia definícióját használva az első három tulajdonság azonnali, a negyedik tulajdonság pedig figyelembe vétel után következik

most definíció szerint

Az összegek szórása

Ezen tulajdonságok fontos eredménye az

$Var\left ( \sum_{i=1}^{n} X_{i} \right ) =\sum_{i=1}^{n}Var(X_{i}) +2 \sum \sum_{i< j}^{} Cov(X_{i},X_{j})$

Ha X_i akkor páronként függetlenek

Példa: Egy binomiális valószínűségi változó varianciája

Ha X a valószínűségi változó

ahol X_i a független Bernoulli valószínűségi változók olyanok, hogy

majd keressük meg egy X binomiális valószínűségi változó varianciáját n és p paraméterekkel.

Megoldás:

óta

így egyetlen változóra van

tehát a szórás az

Példa

A független X valószínűségi változókra_i a megfelelő átlaggal és szórással, valamint egy új valószínűségi változóval as eltéréssel

majd számold ki

megoldás:

A fenti tulajdonság és definíció használatával megkaptuk

$=\left ( \frac{1}{n} \right )^{2} \sum_{i=1}^{n} Var(X_{i}) \ \ by \ \ independence$

most az S valószínűségi változóhoz

fogadd el az elvárást

Példa:

Határozzuk meg az A és B események indikátorfüggvényeinek kovarianciáját!

Megoldás:

az A és B eseményeknél a jelzőfunkciók a következők

tehát az elvárás ezekkel szemben

így a kovariancia az

Példa:

Mutasd

ahol X_i független valószínűségi változók varianciával.

Megoldás:

A tulajdonságokat és definíciót használó kovariancia a következő lesz

Példa:

Számítsa ki az S valószínűségi változó átlagát és szórását, amely n mintavételi érték összege, ha N emberből álló halmaz van, akik mindegyikének van egy valós számmal mért véleménye egy bizonyos tárgyról v amely a személy „érzéseinek erejét” képviseli a témával kapcsolatban. Hadd a személy érzésének erejét képviselik ami ismeretlen, az információgyűjtéshez véletlenszerűen n-ből vett mintát veszünk N-ből, ezt az n embert kikérdezzük, és érzéseiket megkapjuk a vi kiszámításához.

Megoldás

definiáljuk az indikátorfüggvényt így

így S mint fejezhetjük ki

és elvárása mint

ez adja az as szórást

óta

nekünk van

ismerjük az azonosságot

tehát az említett valószínűségi változó átlaga és szórása az lesz

Következtetés:

A két valószínűségi változó közötti korrelációt kovarianciaként definiáljuk, és a kovariancia segítségével megkapjuk a különböző valószínűségi változókra a variancia összegét, a kovariancia és a különböző momentumok meghatározását a várakozás definíciója segítségével kapjuk meg, ha további olvasás szükséges, menjen át

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól

Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai

ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba.

A matematikával kapcsolatos további bejegyzésekért kérjük, kövesse az oldalunkat Matematika oldal