Diszkrét véletlenszerű változó és matematikai elvárás: 5 tény

Diszkrét véletlenszerű változó és matematikai elvárás

Általában nem érdekel minket egy véletlenszerű vagy nem véletlenszerű kísérlet összes lehetséges kimenetele, hanem a kedvező események valamilyen valószínűsége vagy számértéke érdekel, például tegyük fel, hogy két kockával dobunk a 8 összegért, akkor nem. érdekel az eredmény, ha az első kocka 2 második kockával 6 vagy (3,5), (5,3), (4,4), (6,2) stb. ugyanígy a mindennapi életben a tározó véletlenszerű kísérletei esetében sem a vízszint napi emelkedése vagy csökkenése érdekel bennünket, hanem csak az esős évszak befejezése utáni vízállás.

Tehát azokat a numerikus mennyiségeket, amelyekre kíváncsiak vagyunk, az adott véletlenszerű kísérlet valószínűségi változójának tekintjük. Ebből a célból numerikusan hozzárendeljük a lehetséges valós értékeket a véletlenszerű kísérlet eredményeihez. Az eredményhez való számérték hozzárendelésének szemléltetésére vegyük fontolóra az érmefeldobás kísérletét, a véletlenszerű kísérlet mintaterében 0 és 1 számértéket rendelünk a fejhez, illetve a nyomhoz. 

Diszkrét véletlenszerű változó

Diszkrét valószínűségi változó definiálható úgy, mint a véges vagy megszámlálhatóan végtelen számú valószínűségi változó, a nem véges vagy megszámlálhatóan végtelen valószínűségi változók pedig nem diszkrét valószínűségi változók. A mintatér minden eleméhez rendelünk egy valós számot, ez értelmezhető valós értékű függvényként, amelyet X-szel jelölünk, azaz X:S→R. Ezt a függvényt valószínűségi változónak vagy sztochasztikus függvénynek nevezzük, aminek van valamilyen fizikai, geometriai vagy bármilyen más jelentősége.

Példa: Tekintsünk egy kísérletet két dobókockával, majd tegyük fel a valószínűségi változót vagy sztochasztikus függvény jelentik a kockán megjelenő pontok összegét, majd a mintatér lehetséges értékeit

S={(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5) , (1,6) ,

          (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

          (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

        (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

        (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

        (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

X=2 lesz, ha (1,1)

X=3 (1,2), (2,1) stb. esetén a következőkből könnyen érthető

X = 2(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
X = 3(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
X = 4(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
X = 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
X = 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)
X = 7X = 8X = 9X = 10X = 11X = 12

A fenti táblázatban az átlós elemek jobbról balra a valószínűségi változóval vagy sztochasztikus függvénnyel kifejezett összeget adják.

Az adott valószínűségi változó valószínűsége a következőképpen fejezhető ki

Diszkrét véletlenszerű változó
Discrete Random Variable: két kocka mintaterület dobása

Diszkrét valószínűségi eloszlás

Diszkrét valószínűség-eloszlás a diszkrét természetű valószínűségi változók valószínűsége, különösen, ha x1, x2, x3, x4, ………., xk értékei diszkrét valószínűségi változó X, majd P(x1), P(x2), P(x3), P(x4), ……… .P(xk) a megfelelő valószínűségek.

Valószínűségi függvény/valószínűségi eloszlás jelölhetjük 

P(X=x)=f(x)

és a valószínűség definícióját követve ez a függvény a következő feltételeket teljesíti.

  1. f(x)≥0
  2. Σ f(x)=1, ahol ez az összegzés x teljes összegzése.

Példa: Ha egy érmét kétszer dobunk fel, akkor ha a nyomvonalak számát X valószínűségi változóként fejezzük ki, akkor ez 

EredményekTTTHHTHH
X2110

Ha a tisztességes érmét vesszük, akkor a fentiek eredménye a kétszeri feldobás, és az ilyen valószínűségi változó valószínűsége

P(X=0)=P(H,H)=1/4

P (X=1) = P (TH vagy HT) = P (TH ∪ HT) = P (TH) + P (HT)=1/4+1/4=1/2

és P(X=2)=P(TT)=1/4

Ezt a valószínűségi eloszlást a következőképpen tudjuk táblázatba foglalni

X012
P(X=x)=f(x)¼½1 / 4

Kumulatív elosztási függvény (cdf)/elosztási függvény

Meg fogjuk határozni Elosztási funkció or Kumulatív eloszlásfüggvény (cdf) az F(x)-szel jelölt diszkrét X valószínűségi változó esetén, ha -∞≤x≤∞ mint

F(x)=P(X≤x)

Feltéve, ha ez következik

  1. Bármely x,y , x≤y esetén F(x) ≤ F(y), azaz az F(x) kumulatív eloszlásfüggvény nem csökkenő.
  2. F(x)=0 és F(x)=1
  3. F(x+h)=F(x), ∀ x azaz . az F(x) kumulatív eloszlásfüggvény jobbra folytonos.

Mivel a diszkrét valószínűségi változó valószínűsége X=x esetén P(X=x), x esetén1<X<x2 lesz P(x1<X<x2) és X≤x esetén P(X≤x).

A diszkrét eloszlásfüggvényhez a Distribution függvényt a következőképpen írhatjuk fel

Diszkrét véletlenszerű változó
Diszkrét véletlenszerű változó: kumulatív eloszlási függvény

az as eloszlásfüggvényből megkaphatjuk a valószínűségi függvényt

P (X=x) = f(x) =F(x)-F(u)

Példa: A valószínűség mert a diszkrét valószínűségi változót a következőképpen adjuk meg

X01234567
P (x)01 / 101 / 51 / 53 / 101 / 1001 / 5017 / 100
Kumulatív eloszlásfüggvény

Találja meg az F2, F5, F(7) kifejezést?

Megoldás:

Diszkrét véletlenszerű változó
Diszkrét véletlenszerű változó: Példa

Matematikai elvárás 

   Matematikai elvárás nagyon fontos fogalom a Valószínűségi elmélet a statisztikai szempontból elvárásnak vagy várható értéknek is nevezik, úgy definiálható, mint a valószínűségi változók összegzése és annak valószínűsége a szorzásban, azaz ha x1, x2, x3, x4, ……….xn az X diszkrét valószínűségi változó értékei, majd P(x1),P(x2),P(x3),P(x4),……….P(xn) a megfelelő valószínűségek akkor valószínűségi változó matematikai elvárása X-et E(x) as

Diszkrét véletlenszerű változó
Diszkrét véletlenszerű változó: Példa

Példa: Egy 72 darab 1-től 72-ig számozott kártyacsomagból egyszerre 8 kártya kerül kihúzásra, keresse meg a kihúzott jegyeken szereplő számok összegének várható értékét.

Megoldás:. tekintsük az x valószínűségi változókat1, x2, x3, x4,……….xn az 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, ………, 72-es kártyákat ábrázolva

tehát a 72 kártyából bármely x valószínűsége az 

P(xi)=1/n=1/72

azóta az elvárás lesz

E(x)=x1.(1/n)+x2.(1/n)+x3.(1/n)+……………+xn.(1/n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

Most 8 ilyen kártya várható értéke lesz 

E(x)=x1.(1/n)+x2.(1/n)+x3.(1/n)+……………+x8.(1/n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

Variancia, Szabvány eltérés és a Átlagos eltérés a matematikai elvárás szerint

A a statisztika fontos fogalmai szórás és a variancia matematikai elvárásokkal tudjuk kifejezni, tehát ha az x valószínűségi változók1, x2, x3, x4, ……….xn a megfelelő P(x1), P(x2), P(x3), P(x4), ……….P(xn), akkor szórás lesz

Diszkrét véletlenszerű változó
Discrete Random Variable: szórás

Példa: Egy játékban, ha egy tisztességes kockát használnak, és a játékos nyer, ha páratlan érték jön a kockára, és a pénznyeremény 20 Rs-t kap, ha 1 jön, 40 Rs-t 3-ért, és 60 Rs-t 5-ért, és ha a kocka bármely más lapja. 10 rúpiás veszteség érte a játékost. szórással és szórással keresse meg a várható nyerhető pénzt.

Megoldás:

A tisztességes kocka esetében ismerjük a valószínűségek eloszlását,

X123456
P(X=x)1 / 61 / 61 / 61 / 61 / 61 / 6
szórás

Legyen X a kocka konvertálásának valószínűségi változója a játékban nyert vagy veszteség pénzkövetelménye szerint, amikor az arc a következőképpen alakul:

X+20-1040-1060-10
P(X=x)1 / 61 / 61 / 61 / 61 / 61 / 6
szórás

így bármelyik játékos által nyert várható összeg az lesz

  E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

így bármely játékos által nyert várható összeg μ=15 lenne

Diszkrét véletlenszerű változó
Discrete Random Variable: szórás

A matematikai elvárás eredménye, valamint a variancia több mint két változóra általánosítható követelmény szerint.

Következtetés:

   Ebben a cikkben elsősorban a cdf kumulatív eloszlásfüggvényként ismert diszkrét valószínűségi változót, valószínűségi eloszlást és eloszlásfüggvényt tárgyaltuk, valamint a Matematikai elvárás diszkrét valószínűségi változóra és mi lenne az átlagos szórása, szórása és szórása egy ilyen diszkrét valószínűségi változó esetén, megfelelő példák segítségével magyarázzuk el a következő cikkben, ugyanezt tárgyaljuk a folytonos valószínűségi változó esetében is, ha további olvasni szeretnél, akkor menj végig:

A matematikával kapcsolatos további témákért kövesse ezt link.

Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Lapozzon a lap tetejére