Tartalom
- A gamma-eloszlások speciális formája és a gamma-eloszlás kapcsolatai
- Gamma eloszlás exponenciális család
- A gamma és a normál eloszlás kapcsolata
- Poisson gamma eloszlás | Poisson gamma eloszlás negatív binomiális
- Weibull gamma eloszlás
- A gamma-eloszlás alkalmazása a való életben | gamma-eloszlási felhasználások | gamma-eloszlás alkalmazása a statisztikákban
- Béta gamma eloszlás | kapcsolat a gamma és a béta eloszlás között
- Kétváltozós gamma-eloszlás
- Kettős gamma eloszlás
- A gamma és az exponenciális eloszlás kapcsolata | exponenciális és gamma eloszlás | gamma exponenciális eloszlás
- Fit gamma eloszlás
- Eltolt gamma eloszlás
- Csonka gamma eloszlás
- A gamma-eloszlás túlélési függvénye
- A gamma-eloszlás MLE-je | maximális valószínűségi gamma-eloszlás | gamma eloszlás valószínűségi függvénye
- A momentumok gamma eloszlási paramétereinek becslési módszere | momentumbecslő gamma-eloszlás módszere
- Konfidencia intervallum a gamma eloszláshoz
- Gamma-eloszlási konjugált exponenciális eloszlás előtt | gamma előzetes elosztás | posterior eloszlás Poisson gamma
- Gamma eloszlás kvantilis függvény
- Általános gamma-eloszlás
- Béta általánosított gamma eloszlás
A gamma-eloszlások speciális formája és a gamma-eloszlás kapcsolatai
Ebben a cikkben a gamma-eloszlások speciális formáit és a különböző folytonos és diszkrét valószínűségi változók közötti gamma-eloszlás összefüggéseit tárgyaljuk, valamint néhány becslési módszert a gamma-eloszlást használó sokaság mintavételénél.
Gamma eloszlás exponenciális család
A gamma-eloszlási exponenciális család, és ez egy kétparaméteres exponenciális család, amely nagyrészt alkalmazható eloszlási család, mivel a valós élet problémáinak többsége a gamma-eloszlási exponenciális családban modellezhető, és az exponenciális családon belüli gyors és hasznos számítás könnyen elvégezhető. a két paraméterben, ha a valószínűségi sűrűségfüggvényt mint
ha korlátozzuk az α (alpha) ismert értékét, ez a két paramétercsalád egy paraméteres exponenciális családra redukálódik
és λ-hoz (lambda)
A gamma és a normál eloszlás kapcsolata
A gamma eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvényében, ha az alfát 50-hez közelebb vesszük, a sűrűségfüggvény természetét kapjuk
még az alakparamétert is növeljük a gamma-eloszlásban, ami a normális eloszlású normálgörbe hasonlóságát eredményezi, ha az alfa alakparamétert a végtelenbe hajlítjuk, akkor a gamma-eloszlás szimmetrikusabb és normálisabb lesz, de mivel az alfa hajlamos az x végtelenségére a gamma-ban Az eloszlás mínusz végtelenre irányul, ami a végtelen gamma-eloszlás félig végtelen támogatását eredményezi, így még a gamma-eloszlás is szimmetrikussá válik, de nem azonos a normál eloszlással.
Poisson gamma eloszlás | Poisson gamma eloszlás negatív binomiális
A Poisson-gamma-eloszlás és a binomiális eloszlás az a diszkrét valószínűségi változó, amelynek valószínűségi változója a diszkrét értékekkel foglalkozik, konkrétan a sikerrel és a kudarccal Bernoulli-próbák formájában, amely csak eredményeként ad véletlenszerű sikert vagy kudarcot, most a Poisson- és a gamma-eloszlás keveréke is. A negatív binomiális eloszlás a Bernoulli-próba megismételt kísérletének eredménye, ezt különböző módon paraméterezhetjük úgy, hogy ha az r-edik siker következik be a kísérletek számában, akkor úgy paraméterezhető.
és ha a meghibásodások száma az r-edik siker előtt, akkor úgy paraméterezhető
és figyelembe véve r és p értékét
a paraméterezés általános formája a negatív binomiális vagy Poisson gamma eloszlás esetén
és az alternatíva az
ezt a binomiális eloszlást negatívnak nevezzük az együttható miatt
és ez a negatív binomiális vagy Poisson gamma eloszlás jól definiálható, mint az a teljes valószínűség, amelyet egyként kapunk ehhez az eloszláshoz
Ennek a negatív binomiális vagy Poisson-gamma-eloszlásnak az átlaga és szórása:
a Poisson és a gamma összefüggést a következő számítással kaphatjuk meg
Így a negatív binomiális a Poisson és a gamma eloszlás keveréke, és ezt az eloszlást használják a napi problémák modellezésére, ahol diszkrét és folytonos keverékre van szükségünk.
Weibull gamma eloszlás
Vannak általánosítások az exponenciális eloszláshoz, amely magában foglalja a Weibull- és a gamma-eloszlást is, mivel a Weibull-eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye
és kumulatív eloszlásfüggvény, mint
ahol a gamma-eloszlás pdf-je és cdf-je már fentebb tárgyaltuk, a fő kapcsolat Weibull és a gamma-eloszlás között mindkettő az exponenciális eloszlás általánosítása, a különbség az, hogy ha a változó hatványa nagyobb egynél, akkor a Weibull-eloszlás gyors eredményt ad, míg kevesebbre mint 1 gamma gyors eredményt ad.
Itt nem tárgyaljuk az általánosított Weibull-gamma-eloszlást, amely külön tárgyalást igényel.
gamma-eloszlás alkalmazása a való életben | gamma-eloszlási felhasználások | gamma-eloszlás alkalmazása a statisztikákban
Számos olyan alkalmazás létezik, ahol a gamma-eloszlást használják a helyzet modellezésére, mint például a biztosítási igény aggregálására, a csapadékmennyiség felhalmozódása, bármely termék gyártása és forgalmazása, a tömeg az adott weben, a távközlésben stb. valójában a gamma-eloszlás adja meg a várakozási idő előrejelzés az n-edik esemény következő eseményéig. A gamma-eloszlásnak számos alkalmazása létezik a való életben.
béta gamma eloszlás | kapcsolat a gamma és a béta eloszlás között
A béta eloszlás a valószínűségi sűrűségfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változó
ahol
amelynek a gammafüggvénnyel a kapcsolata mint
és a gamma-eloszláshoz kapcsolódó béta-eloszlás, mintha X gamma-eloszlás alfa és béta paraméterrel egy, Y pedig gamma-eloszlás alfa paraméterrel egy és béta, akkor az X/(X+Y) valószínűségi változó béta-eloszlás.
vagy Ha X gamma(α,1) és Y Gamma (1, β), akkor az X/(X+Y) valószínűségi változó béta (α, β)
és ugyancsak
kétváltozós gamma eloszlás
Egy kétdimenziós vagy kétváltozós valószínűségi változó folytonos, ha létezik olyan f(x,y) függvény, amelyre a közös eloszlásfüggvény
ahol
és a kapott együttes valószínűségi sűrűségfüggvényt
számos kétváltozós gamma eloszlás létezik, ezek közül az egyik a kétváltozós gamma eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénnyel
kettős gamma eloszlás
A kettős gamma-eloszlás az egyik olyan kétváltozós eloszlás, amelyben a gamma valószínűségi változók alfa paraméterű és egy közös valószínűségi sűrűségfüggvénnyel rendelkeznek.
ez a sűrűség alkotja a kettős gamma eloszlást a megfelelő valószínűségi változókkal, és a kettős gamma eloszlás momentumgeneráló függvénye
gamma és exponenciális eloszlás kapcsolata | exponenciális és gamma eloszlás | gamma exponenciális eloszlás
mivel az exponenciális eloszlás a valószínűségi sűrűségfüggvényű eloszlás
a gamma-eloszlásnak pedig a valószínűségi sűrűségfüggvénye van
egyértelműen az alfa értéke, ha egynek tesszük, akkor az exponenciális eloszlást kapjuk, vagyis a gamma eloszlás nem más, mint az exponenciális eloszlás általánosítása, amely előrejelzi a várakozási időt a következő n-edik esemény bekövetkeztéig, míg az exponenciális eloszlás a várakozást. a következő esemény bekövetkeztéig eltelt idő.
fit gamma eloszlás
A megadott adatok gamma-eloszlás formájában való illesztése magában foglalja a két paraméteres valószínűségi sűrűségfüggvény megtalálását, amely magában foglalja az alak-, hely- és léptékparamétereket, tehát ezeknek a paramétereknek a megtalálását különböző alkalmazással, és kiszámítjuk az átlagot, szórást, szórást, ill. momentumgeneráló függvény a gamma-eloszlás illesztése, mivel a gamma-eloszlásban különböző valós problémákat fognak modellezni, így a szituációnkénti információknak illeszkedniük kell a gamma-eloszlásba ehhez a célra különböző technikák különböző környezetben már léteznek pl. R, Matlab, excel stb.
eltolt gamma eloszlás
Alkalmazásonként és igény szerint minden olyan esetben előfordulhat, hogy az eloszlás eltolása a kétparaméteres gamma-eloszlásból az új általánosított háromparaméteres vagy bármely más általánosított gamma-eloszlás eltolása az alakzat helyének és léptékének eltolására, az ilyen gamma-eloszlást eltolt gamma-eloszlásnak nevezzük.
csonka gamma eloszlás
Ha korlátozzuk a gamma-eloszlás tartományát vagy tartományát az alakskála és a helyparaméterek számára, a korlátozott gamma-eloszlást a feltételek alapján csonka gamma-eloszlásnak nevezzük.
gamma eloszlás túlélési függvénye
A gamma-eloszlás túlélési függvényét az s(x) függvény a következőképpen definiálja
mle gamma eloszlás | maximális valószínűség gamma eloszlás | gamma eloszlás valószínűségi függvénye
tudjuk, hogy a maximális valószínűség a sokaságból vett mintát reprezentatívnak tekinti, és ezt a mintát tekinti a valószínűségi sűrűségfüggvény becslésének, hogy maximalizálja a sűrűségfüggvény paramétereit, mielőtt a gamma-eloszlásra térne, emlékezzen néhány alapra, mint az X valószínűségi változóra. a valószínűségi sűrűségfüggvénynek théta paraméterrel van valószínűségi függvénye
ezt úgy tudjuk kifejezni
és ennek a valószínűségi függvénynek a maximalizálásának módszere lehet
ha az ilyen théta kielégíti ezt az egyenletet, és mivel a log monoton függvény, akkor log-ban írhatunk
és létezik ilyen szuprémum, ha
most alkalmazzuk a maximális valószínűséget a gamma-eloszlásfüggvényre mint
a függvény log valószínűsége lesz
így van
és így
Ezt úgy is el lehet érni, mint
by
és a paramétert differenciálással kaphatjuk meg
momentumok gamma eloszlási paraméterbecslési módszere | momentumbecslő gamma-eloszlás módszere
A sokaság és a minta momentumait n-edrendű elvárás segítségével tudjuk kiszámítani, a nyomaték módszere egyenlővé teszi ezeket az eloszlási momentumokat és a mintát a paraméterek becsléséhez, tegyük fel, hogy van egy gamma valószínűségi változó mintája a valószínűségi sűrűségfüggvénnyel
ismerjük ennek a valószínűségi sűrűségfüggvénynek az első vontatási momentumait
so
a második pillanattól kezdve megkapjuk, ha lambdát cserélünk
és ebből az alfa értékből az
és most lambda lesz
és mintát használó momentumbecslő lesz
konfidencia intervallum a gamma eloszláshoz
A gamma-eloszlás konfidenciaintervalluma az információ becslésének módja, és annak bizonytalansága, amely megmondja, hogy az intervallum várhatóan hány százalékban rendelkezik a paraméter valódi értékével. Ezt a konfidenciaintervallumot a valószínűségi változók megfigyeléséből kapjuk, mivel az random maga is véletlenszerű a gamma-eloszlás konfidencia intervallumának megszerzése, különböző alkalmazásokban különböző technikákat kell követnünk.
gamma-eloszlási konjugált exponenciális eloszlás előtt | gamma előzetes elosztás | posterior eloszlás Poisson gamma
Az utólagos és az előzetes eloszlás a Bayes-féle terminológia Valószínűségi elmélet és konjugáltak egymással, bármely két eloszlás konjugált, ha az egyik eloszlás utótagja egy másik eloszlás, théta szempontjából mutassuk meg, hogy a gamma eloszlás konjugált az exponenciális eloszlás előtt
ha a valószínűségi sűrűségfüggvény gamma eloszlás théta szempontjából olyan
tételezzük fel, hogy a théta eloszlásfüggvénye exponenciális az adott adatokból
így lesz a közös elosztás
és a reláció felhasználásával
nekünk van
amely
tehát a gamma-eloszlás az exponenciális eloszlás előtt konjugált, mivel a gamma-eloszlás utólagos.
gamma eloszlási kvantilis függvény
A gamma-eloszlás kvantilis függvénye lesz az a függvény, amely megadja a gamma-eloszlásban azokat a pontokat, amelyek a gamma-eloszlás értékeinek rangsorrendjére vonatkoznak, ehhez kumulatív eloszlásfüggvényre van szükség, és különböző nyelvekhez különböző algoritmusok és függvények a gamma-eloszlás kvantiliséhez.
általánosított gamma eloszlás
Mivel maga a gamma-eloszlás az exponenciális eloszláscsalád általánosítása, ha ehhez az eloszláshoz további paramétereket adunk, általánosított gamma-eloszlást kapunk, amely az eloszláscsalád további általánosítása, a fizikai követelmények eltérő általánosítást adnak, az egyik gyakori a valószínűségi sűrűségfüggvény használata. mint
az ilyen általánosított gamma-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvényét úgy kaphatjuk meg
ahol a számláló a hiányos gammafüggvényt jelöli
ennek a nem teljes gamma-függvénynek a felhasználásával az általánosított gamma-eloszlás túlélési függvénye a következőképpen kapható meg:
Ennek a háromparaméteres általánosított gamma-eloszlásnak egy másik változata valószínűségi sűrűségfüggvénnyel
ahol k, β, θ a nullánál nagyobb paraméterek, ezeknek az általánosításoknak konvergenciaproblémái vannak a Weibull-paraméterek helyettesítése érdekében.
Ezzel a paraméterezéssel a sűrűségfüggvény konvergenciáját kapjuk, így a konvergenciával járó gamma-eloszlás általánosabbá tétele a valószínűségi sűrűségfüggvényű eloszlás.
Béta általánosított gamma eloszlás
A gamma eloszlás, amely magában foglalja a béta paramétert a sűrűségfüggvényben, ezért a gamma eloszlást néha béta általánosított gamma eloszlásnak nevezik a sűrűségfüggvénnyel
kumulatív eloszlásfüggvénnyel as
amelyről a gamma-eloszlás tárgyalásakor már részletesen szó esett, a további béta általánosított gamma-eloszlást a cdf-vel definiáljuk:
ahol B(a,b) a béta függvény, és ennek valószínűségi sűrűségfüggvénye differenciálással megkapható és a sűrűségfüggvény
itt a G(x) a fent meghatározott kumulatív eloszlás funkció gamma eloszlás esetén, ha ezt az értéket adjuk, akkor a béta általánosított gamma eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye
és a valószínűségi sűrűségfüggvény
a maradék A tulajdonságok kiterjeszthetők erre a béta általánosított gamma-eloszlásra szokásos definíciókkal.
Következtetés:
Különböző formái és általánosításai vannak gamma eloszlás és Gamma eloszlás exponenciális családja a valós élethelyzeteknek megfelelően, így a lehetséges ilyen formák és általánosítások a gamma-eloszlás becslési módszerei mellett szóba kerültek az információk populációs mintavételében, ha további olvasásra van szüksége a Gamma eloszlás exponenciális családjával kapcsolatban, kérjük, lépjen az alábbi linkre és könyvek. További matematikai témákért látogasson el ide oldalunk.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól
Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai
ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba
