Gamma eloszlás: 7 fontos tulajdonság, amit tudnia kell

Gamma eloszlás

A folytonos valószínűségi változók és folytonos eloszlások egyike a Gamma-eloszlás. Mint tudjuk, hogy a folytonos valószínűségi változó a folytonos értékekkel vagy intervallumokkal foglalkozik, így a gamma-eloszlás is a fajlagos valószínűségi sűrűségfüggvénnyel és a valószínűségi tömegfüggvénnyel, az egymást követő tárgyalásunkban a részletezze a fogalmat, a tulajdonságokat és az eredményeket a gamma valószínűségi változók és a gamma eloszlás példáival.

Gamma valószínűségi változó vagy Gamma eloszlás | mi a gamma eloszlás | gamma eloszlás meghatározása | gamma eloszlási sűrűségfüggvény | gamma eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvény | gamma eloszlás bizonyítása

Folyamatos valószínűségi változó valószínűségi sűrűségfüggvénnyel

ismert, hogy gamma valószínűségi változó vagy gamma eloszlás, ahol az α>0, λ>0 és a gamma-függvény

a gamma-függvény igen gyakori tulajdonságával rendelkezünk az as részekkel történő integrálással

Ha n-től kezdve folytatjuk a folyamatot, akkor

és végül az egy gamma értéke lesz

így az értéke lesz

gamma-eloszlás cdf-je | kumulatív gamma-eloszlás | gamma-eloszlás integrációja

A kumulatív eloszlás a gamma valószínűségi változó függvénye (cdf), vagy egyszerűen a gamma valószínűségi változó eloszlásfüggvénye ugyanaz, mint a folytonos valószínűségi változóé, feltéve, hogy a valószínűségi sűrűségfüggvény eltérő, pl.

itt a valószínűségi sűrűségfüggvény a fentebb a gamma-eloszlásnál definiált, a kumulatív eloszlásfüggvényt felírhatjuk úgy is

mindkét fenti formátumban a pdf értéke a következő

ahol az α >0, λ>0 valós számok.

Gamma eloszlási képlet | gamma eloszlás képlete | gamma eloszlási egyenlet | gamma eloszlás levezetése

A gamma valószínűségi változó valószínűségének meghatározásához a valószínűségi sűrűségfüggvényt kell használnunk különböző adott α >0 esetén, λ >0

és a fenti pdf segítségével megkaphatjuk a gamma valószínűségi változó eloszlását

Így a gamma eloszlási képlet megköveteli a pdf értéket és a gamma valószínűségi változó határértékeit a követelménynek megfelelően.

Gamma eloszlási példa

mutatják, hogy a teljes valószínűség a gamma eloszlás egy az adott valószínűségi sűrűségfüggvénnyel, azaz

λ >0 esetén α>0.
Megoldás:
a gamma-eloszlás képletével

mivel a gamma-eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye az

ami nulla minden nullánál kisebb érték esetén, így a valószínűség most lesz

a gammafüggvény definícióját használva

és helyettesítést kapunk

így

Gamma eloszlás átlaga és variancia | gamma-eloszlás elvárása és varianciája | a gamma-eloszlás várható értéke és varianciája | A gamma-eloszlás átlaga | gamma-eloszlás várható értéke | gamma eloszlás elvárása

A következőkben a gamma-eloszlás átlagát és szórását találjuk meg a folytonos valószínűségi változók elvárásainak és varianciájának standard definíciói segítségével.

Az X folytonos valószínűségi változó várható értéke vagy átlaga valószínűségi sűrűségfüggvénnyel

vagy Gamma valószínűségi változó X lesz

gamma-eloszlás bizonyításának átlaga | a gamma eloszlás bizonyításának várható értéke

A gamma-eloszlás várható értékének vagy átlagának meghatározásához követjük a gammafüggvény definícióját és tulajdonságát,
először a folytonos valószínűségi változó elvárásának és a gamma valószínűségi változó valószínűségi sűrűségfüggvényének meghatározásával

a közös tényező törlésével és a gammafüggvény definíciójának használatával

most mivel rendelkezünk a gamma-függvény tulajdonságával

az elvárás értéke lesz

így a gamma valószínűségi változó vagy gamma-eloszlás átlagos vagy várható értéke a következő

gamma-eloszlás varianciája | gamma-eloszlás varianciája

A gamma valószínűségi változó szórása az adott valószínűségi sűrűségfüggvénnyel

vagy a gamma-eloszlás varianciája lesz

gamma eloszlás bizonyításának varianciája

Mint tudjuk, a variancia a várt értékek különbsége as

a gamma-eloszlásra már megvan az átlagérték

most először számítsuk ki E[X értékét²], tehát a folytonos valószínűségi változóra vonatkozó elvárás definíciója alapján rendelkezünk
mivel az f(x) függvény az as gamma-eloszlás valószínűségi eloszlásfüggvénye

így az integrál csak nullától a végtelenig lesz

tehát a gammafüggvény definíciója alapján írhatunk

Így a gamma függvény tulajdonságát felhasználva a as értéket kaptuk

Most tegyük bele ezeknek az elvárásoknak az értékét

így a gamma-eloszlás vagy a gamma-valószínűségi változó varianciaértéke az

Gamma eloszlási paraméterek | kétparaméteres gamma eloszlás | 2 változó gamma eloszlás

A gamma eloszlás a λ>0, α>0 paraméterekkel és a valószínűségi sűrűségfüggvénnyel

statisztikai paraméterekkel rendelkezik átlag és variancia mint

és a

mivel λ pozitív valós szám, az egyszerűsítés és az egyszerű kezelés másik módja, ha λ=1/β-t állítunk be, így ez adja meg a valószínűségi sűrűségfüggvényt a formában

röviden ennek a sűrűségnek az eloszlásfüggvényét vagy kumulatív eloszlásfüggvényét úgy fejezhetjük ki

ez a gamma-sűrűségfüggvény megadja az átlagot és a szórást mint

és a

ami nyilvánvaló a helyettesítésből.
Mindkét módszert gyakran használják vagy a gamma eloszlást α és λ paraméterekkel gamma (α, λ) vagy a gamma eloszlás a β és λ paraméterekkel gamma (β, λ) a megfelelő statisztikai paraméterek átlagával és szórásával mindegyik formában.
Mindkettő nem más, mint ugyanaz.

Gamma eloszlási telek | gamma eloszlási gráf| gamma eloszlás hisztogramja

A gamma-eloszlás természetét a grafikon segítségével könnyen vizualizálhatjuk a paraméterek egyes értékeire, itt megrajzoljuk a valószínűségi sűrűségfüggvény és a kumulatív sűrűségfüggvény diagramjait néhány paraméter értékéhez.
vegyük a valószínűségi sűrűségfüggvényt mint

akkor a kumulatív eloszlásfüggvény lesz

Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és a kumulatív eloszlásfüggvényhez az alfa értékének 1-ben történő rögzítésével és a béta értékének változtatásával.

Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és a kumulatív eloszlásfüggvényhez az alfa értékének 2-ben történő rögzítésével és a béta értékének változtatásával

Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és a kumulatív eloszlásfüggvényhez az alfa értékének 3-ben történő rögzítésével és a béta értékének változtatásával

Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és kumulatív eloszlásfüggvény a béta értékének 1-ben történő rögzítésével és az alfa értékének változtatásával

Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és a kumulatív eloszlásfüggvényhez a béta értékének 2-ben történő rögzítésével és az alfa értékének változtatásával

Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és a kumulatív eloszlásfüggvényhez a béta értékének 3-ban történő rögzítésével és az alfa értékének változtatásával.

Általában eltérő görbék vannak, mint az alfa-változónál

Gamma eloszlási táblázat | szabványos gamma eloszlási táblázat

A gamma-függvény számértéke

hiányos gammafüggvény numerikus értékekként ismert az alábbiak szerint

A gamma-eloszlás numerikus értéke a valószínűségi sűrűségfüggvény és egyes kezdeti értékek kumulatív eloszlásfüggvény diagramjának felvázolásához a következő:

1x	f(x),α=1,β=1	f(x),α=2,β=2	f(x),α=3,β=3	P(x),α=1,β=1	P(x),α=2,β=2	P(x),α=3,β=3
0	1	0	0	0	0	0
0.1	0.904837418	0.02378073561	1.791140927E-4	0.09516258196	0.001209104274	6.020557215E-6
0.2	0.8187307531	0.0452418709	6.929681371E-4	0.1812692469	0.00467884016	4.697822176E-5
0.3	0.7408182207	0.06455309823	0.001508062363	0.2591817793	0.01018582711	1.546530703E-4
0.4	0.670320046	0.08187307531	0.00259310613	0.329679954	0.01752309631	3.575866931E-4
0.5	0.6065306597	0.09735009788	0.003918896875	0.3934693403	0.02649902116	6.812970042E-4
0.6	0.5488116361	0.1111227331	0.005458205021	0.4511883639	0.03693631311	0.001148481245
0.7	0.4965853038	0.1233204157	0.007185664583	0.5034146962	0.04867107888	0.001779207768
0.8	0.4493289641	0.1340640092	0.009077669195	0.5506710359	0.06155193555	0.002591097152
0.9	0.4065696597	0.1434663341	0.01111227331	0.5934303403	0.07543918015	0.003599493183
1	0.3678794412	0.1516326649	0.01326909834	0.6321205588	0.09020401043	0.004817624203
1.1	0.3328710837	0.1586611979	0.01552924352	0.6671289163	0.1057277939	0.006256755309
1.2	0.3011942119	0.1646434908	0.01787520123	0.6988057881	0.1219013822	0.007926331867
1.3	0.272531793	0.1696648775	0.0202907766	0.727468207	0.1386244683	0.00983411477
1.4	0.2465969639	0.1738048563	0.02276101124	0.7534030361	0.1558049836	0.01198630787
1.5	0.2231301601	0.1771374573	0.02527211082	0.7768698399	0.1733585327	0.01438767797
1.6	0.201896518	0.1797315857	0.02781137633	0.798103482	0.1912078646	0.01704166775
1.7	0.1826835241	0.1816513461	0.03036713894	0.8173164759	0.2092823759	0.01995050206
1.8	0.1652988882	0.1829563469	0.03292869817	0.8347011118	0.2275176465	0.02311528775
1.9	0.1495686192	0.1837019861	0.03548626327	0.8504313808	0.2458550043	0.02653610761
2	0.1353352832	0.1839397206	0.03803089771	0.8646647168	0.2642411177	0.03021210849
2.1	0.1224564283	0.1837173183	0.04055446648	0.8775435717	0.2826276143	0.03414158413
2.2	0.1108031584	0.183079096	0.04304958625	0.8891968416	0.3009707242	0.03832205271
2.3	0.1002588437	0.1820661424	0.04550957811	0.8997411563	0.3192309458	0.04275032971
2.4	0.09071795329	0.1807165272	0.04792842284	0.9092820467	0.3373727338	0.04742259607
2.5	0.08208499862	0.179065498	0.05030071858	0.9179150014	0.3553642071	0.052334462
2.6	0.07427357821	0.1771456655	0.05262164073	0.9257264218	0.373176876	0.05748102674
2.7	0.06720551274	0.1749871759	0.05488690407	0.9327944873	0.3907853875	0.0628569343
2.8	0.06081006263	0.1726178748	0.05709272688	0.9391899374	0.4081672865	0.06845642568
2.9	0.05502322006	0.1700634589	0.05923579709	0.9449767799	0.4253027942	0.07427338744
3	0.04978706837	0.1673476201	0.0613132402	0.9502129316	0.4421745996	0.08030139707

alfa és béta megtalálása a gamma-eloszláshoz | hogyan kell kiszámítani az alfa és a béta eloszlását a gamma eloszláshoz | gamma eloszlási paraméterek becslése

Az alfa és béta gamma-eloszlás meghatározásához a gamma-eloszlás átlagát és szórását vesszük figyelembe

és a

most megkapjuk a béta értékét mint

so

és a

így

A gamma-eloszlásból csak néhány töredéket veszünk ki, megkapjuk az alfa és a béta értékét.

gamma eloszlási problémák és megoldások | gamma eloszlási példa problémák | gamma-elosztási oktatóanyag | gamma eloszlási kérdés

1. Tekintsük a probléma megoldásához szükséges időt, ha egy ügyfél gamma-eloszlása ​​órákban 1.5 átlaggal és 0.75 szórással, mi lenne az annak valószínűsége, hogy a probléma a megoldási idő meghaladja a 2 órát, ha az idő meghaladja a 2 órát, mennyi a valószínűsége annak, hogy a probléma legalább 5 órán belül megoldódik.

megoldások: mivel a valószínűségi változó gamma eloszlású, átlag 1.5 és variancia 0.75, így megtaláljuk az alfa és a béta értékeit, és ezek segítségével a valószínűség

P(X>2)=13e^-4= 0.2381

és a

P(X>5 | X>2)=(61/13)e^-6= 0.011631

2. Ha a felhasználók heti negatív visszacsatolását gamma-eloszlásban modellezzük alfa 2 és béta paraméterekkel, mint 4, miután a 12 hetes negatív visszacsatolás a minőség átalakítása után érkezett, akkor ebből az információból az átstrukturálás javíthatja a teljesítményt?

megoldások: Mivel ez α=2, β=4 gamma-eloszlásban van modellezve

az átlagot és a szórást a következőképpen fogjuk megtalálni: μ =E(x)=α * β=4 * 2=8

mivel az X=12 érték az átlagtól való szóráson belül van, így nem mondható, hogy ez a minőség javulása vagy nem a minőség átalakítása miatt, így a megadott átstrukturálási információ által okozott javulás bizonyítására nem elegendő.

3. Legyen X a gamma eloszlás α=1/2, λ=1/2 paraméterekkel keresse meg az Y=X négyzetgyöke függvény valószínűségi sűrűségfüggvényét

Megoldás: számítsuk ki Y as kumulatív eloszlásfüggvényét

ezt most y-hoz képest differenciálva megkapjuk Y as valószínűségi sűrűségfüggvényét

és y tartománya 0-tól a végtelenig lesz

Következtetés:

A valószínűségi és statisztikai gamma-eloszlás fogalma az egyik legfontosabb, napi szinten alkalmazható exponenciális család eloszlása, az összes alapvető és magasabb szintű fogalmat eddig tárgyaltuk gamma eloszlás, ha további olvasmányra van szüksége, kérjük, olvassa el az említett könyveket. Ki is lehet látogatni matematika oldalon további témakörökért

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól
Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai
ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba