Hermite polinom: 9 teljes gyors tény

  A Hermite polinom széles körben elterjedt az alkalmazásokban ortogonális függvényként. A Hermite polinom a Hermite differenciálegyenlet soros megoldása.

Hermite egyenlete

    A másodrendű differenciálegyenlet meghatározott együtthatókkal, mint

d²y/dx² – 2x dy/dx + 2xy = 0

Hermite-egyenletként ismert, ennek a differenciálegyenletnek a megoldásával megkapjuk azt a polinomot, amely Hermite polinom.

Keressük meg az egyenlet megoldását

d²y/dx² – 2x dy/dx + 2ny = 0

differenciálegyenlet soros megoldásának segítségével

most ezeket az értékeket helyettesítjük a Hermite-egyenletben

Ez az egyenlet teljesül a k=0 értékre, és ahogy feltételeztük, hogy k értéke nem lesz negatív, most a legalacsonyabb fokú x tagra^m-2 vegyük k=0-t az első egyenletben, mivel a második negatív értéket ad, tehát az x együttható^m-2 is

a₀m (m-1) = 0 ⇒ m = 0, m = 1

mint₀ ≠ 0

most ugyanúgy egyenlővé téve x együtthatóját^m-1 a második összegzésből

és egyenlővé tesszük x együtthatóit^m+k nullára,

a_{k + 2}(m+k+2)(m+k+1)-2a_k(m+kn) = 0

úgy is írhatjuk

a_{k + 2} = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) a_k

ha m=0

a_{k + 2} = 2(kn)/(k+2)(k+1) a_k

ha m=1

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) a_k

erre a két esetre most a k eseteit tárgyaljuk

Amikor $m=0, a_{k + 2}= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} a_k$

Ha $k=0 a₂ =-2 n/2 a₀=-na₀$

$k=1, a₃=2(1-n)/6 a₁ =-2(n-1)/3 ! a₁$

Ha $k=2, a₄ =2(2-n)/12 a₂ =2 (2-n)/12 (-na₀) = 2² n(n-2)/4 ! a₀$

eddig m=0 két feltételünk van, amikor a₁=0, majd a₃=a₅=a₇=….=a_2r+1=0 és amikor a₁ akkor nem nulla

ezt követve tedd fel a értékeit₀,a₁,a₂,a₃,a₄ és egy₅ nekünk van

és m=1 esetén a₁=0 úgy, hogy k=0,1,2,3,….. azt kapjuk

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)a_k

így lesz a megoldás

tehát a teljes megoldás az

ahol A és B tetszőleges állandók

Hermite polinom

   A Hermite-egyenlet megoldása y(x)=Ay₁(x)+Általán₂(x) ahol y₁(x) és y₂(x) a fentebb tárgyalt sorozatkifejezések,

a sorozatok egyike akkor ér véget, ha n nem negatív egész szám, ha n páros y₁ megszűnik különben y₂ ha n páratlan, és könnyen ellenőrizhetjük, hogy ha n=0,1,2,3,4…….. ezek a polinomok

1,x,1-2x², x-2/3 x³, 1-4x²+4/3x⁴, x-4/3x³+ 4/15x⁵

tehát itt azt mondhatjuk, hogy a Hermite-egyenlet megoldása ezeknek a polinomoknak állandó többszöröse, és az x legnagyobb hatványát tartalmazó tagok 2 alakúak.ⁿxⁿ H-val jelölve_n(x) néven ismert Hermite polinom

Hermite polinom függvény generálása

A Hermite polinom általában generáló függvény segítségével reláció segítségével definiálható

[n/2] a legnagyobb egész szám, amely kisebb vagy egyenlő n/2-vel, tehát követi a H_n(x) as

ez azt mutatja H_n(x) egy n fokú polinom x-ben és

H_n(x) = 2ⁿxⁿ + π_{n 2 XNUMX} (x)

ahol π_{n 2 XNUMX} (x) az n-2 fokú polinom x-ben, és páros függvénye lesz x-nek páros n-nek, és páratlan függvénye x-nek páratlan n-nek, tehát

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(x)

néhány kiinduló Hermite-polinom olyan

H₀(x) = 1

H₁(x) = 2x

H₂(x) = 4x² - 2

H₃(x) = 8x³-12

H₄(x) = 16x⁴ - 48x²+12

H₅(x) = 32x² - 160x³+ 120x

Hermite-polinom függvényének generálása Rodrigue-formulával

A Hermite polinom a Rodrigue-formula segítségével is definiálható generáló függvény segítségével

hiszen a generáló függvény relációja

  A Maclaurin-tételt használva megvan

or

úgy, hogy z=xt és

t=0 esetén tehát z=x adja

ezt más módon is megmutathatjuk, mint

megkülönböztető

tekintetében t ad

t határérték vétele nullára hajlik

most differenciálva x-hez képest

t határérték vétele nullára hajlik

ebből a két kifejezésből leírhatjuk

ugyanúgy írhatunk

 n-szer differenciálva t=0-t kapunk

ezekből az értékekből írhatunk

ezekből kaphatjuk meg az értékeket

Példa a Hermite polinomra           

1. Keresse meg a rendes polinomját

Megoldás: a Hermite polinom definíciója és a rendelkezésünkre álló relációk segítségével

2. Keresse meg a közönséges polinom Hermite-polinomját!

Megoldás: A megadott egyenletet átválthatjuk Hermite-re, mint

és ebből az egyenletből azonos hatványok együtthatóját egyenlővé téve

ezért a Hermite polinom az lesz

A Hermite polinom ortogonalitása | A Hermite polinom ortogonális tulajdonsága

A Hermite polinom fontos jellemzője az ortogonalitása, amely ezt jelzi

Ennek az ortogonalitásnak a bizonyítására emlékezzünk rá

amely a Hermite-polinom generáló függvénye és tudjuk

így ezt a két egyenletet megszorozva azt kapjuk

végtelen határok között szorozva és integrálva

és azóta

so

ezt az értéket használva a fenti kifejezésben van

ami ad

most egyenlővé tegyük az együtthatókat mindkét oldalon

amely a Hermite polinom ortogonális tulajdonságát mutatja.

  A Hermite polinom ortogonális tulajdonságának eredménye más módon is megmutatható, ha figyelembe vesszük az ismétlődési relációt

Példa a Hermite polinom ortogonalitására

1. Értékelje az integrált

Megoldás: A remetepolinom ortogonalitási tulajdonságának felhasználásával

mivel itt az értékek m=3 és n=2 tehát

2. Értékelje az integrált!

Megoldás: A Hermite polinom ortogonalitási tulajdonságát felhasználva írhatunk

Hermite polinom ismétlődési relációi

A Hermite-polinom értéke könnyen megtudható az ismétlődési relációkból

Ezek az összefüggések definíciók és tulajdonságok segítségével könnyen megszerezhetők.

Bizonyítékok: 1. Ismerjük a Hermite-egyenletet

y”-2xy'+2ny = 0

és a viszony

az x-re vonatkozó differenciálást részlegesen felírhatjuk így

ebből a két egyenletből

most n helyett n-1

t együtthatójának egyenlővé tételévelⁿ

tehát a szükséges eredmény az

2. Hasonló módon részlegesen differenciálva a t egyenlethez képest

kapunk

n=0 el fog tűnni, így ennek az e értéknek a megadásával

most egyenlővé téve a t együtthatóitⁿ

így

3. Ennek az eredménynek a bizonyításához ki kell zárni H-t_{n 1 XNUMX} ból ből

és a

tehát megkapjuk

így megírhatjuk az eredményt

4. Ennek bizonyítására differenciálunk

megkapjuk a kapcsolatot

helyettesítve az értéket

és n helyére n+1

ami ad

Példák a Hermite-polinom ismétlődési relációira

1. Mutasd meg

H_2n(0) = (-1)ⁿ. 2²ⁿ (1 / 2)ⁿ

Megoldás:

Hogy megmutassuk, milyen eredményünk van

H2n(x) =

x=0-t véve itt kapjuk

2. Mutasd meg

H'_{2n + 1}(0) = (-1)ⁿ 2^{2n + 1} (3 / 2)²

Megoldás:

Mivel az ismétlődési relációból

H'_n(x) = 2nH_{n 1 XNUMX}(X)

itt cserélje ki n-t 2n+1-re, így

H'_2n-1(x) = 2(2n+1) H_2n(x)

x=0-t véve

3. Keresse meg az értékét

H_{2n + 1}(0)

Megoldás

Mióta tudjuk

itt használd az x=0-t

H_2n-1(0) = 0

4. Keresse meg H' értékét_2n(0).

Megoldás :

megvan az ismétlődési reláció

H'_n(x) = 2nH_{n 1 XNUMX}(x)

itt cserélje ki n-t 2n-re

H'_2n(x) = =2(2n)H_2n-1(x)

tegye x=0

H'_2n(0) = (4n)H_2n-1(0) = 4n*0=0

5. Mutassa meg a következő eredményt

Megoldás :

Az ismétlődési relációt használva

H'_n(x) = 2nH_{n 1 XNUMX} (x)

so

és a

d³/dx³ {H_n(x)} = 2³n(n-1)(n-2)H_{n 3 XNUMX}(x)

megkülönböztetve ezt m alkalommal

ami ad

6. Mutasd meg

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(x)

Megoldás :

tudunk írni

t együtthatójábólⁿ nekünk van

és -x esetén

7. Értékelje az integrált és mutassa meg!

Megoldás : Ennek az integrálnak a megoldásához használja az integrációs részeket, mint

Most az Integrál jel alatti differenciálás differenciáljon vele

x-hez képest

segítségével

H'_n(x) = 2_nH_{n 1 XNUMX} (x)

és a

H'_m(x) = 2 mH_m-1 (x)

nekünk van

és azóta

𝝳 _n,m-1 = 𝝳_{n+1, m}

így az integrál értéke lesz

Következtetés:

Az alkalmazás során gyakran előforduló konkrét polinom a Hermite polinom, így az alapvető definíciót, a generáló függvényt, az ismétlődési relációkat és a Hermite polinomhoz kapcsolódó példákat itt tárgyaltuk röviden, ha további olvasásra van szüksége, olvassa el

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

A matematikával kapcsolatos további bejegyzésekért kérjük, kövesse az oldalunkat Matematika oldal