Hermite polinom: 9 teljes gyors tény

  A Hermite polinom széles körben elterjedt az alkalmazásokban ortogonális függvényként. A Hermite polinom a Hermite differenciálegyenlet soros megoldása.

Hermite egyenlete

    A másodrendű differenciálegyenlet meghatározott együtthatókkal, mint

d2y/dx2 – 2x dy/dx + 2xy = 0

Hermite-egyenletként ismert, ennek a differenciálegyenletnek a megoldásával megkapjuk azt a polinomot, amely Hermite polinom.

Keressük meg az egyenlet megoldását

d2y/dx2 – 2x dy/dx + 2ny = 0

differenciálegyenlet soros megoldásának segítségével

most ezeket az értékeket helyettesítjük a Hermite-egyenletben

Ez az egyenlet teljesül a k=0 értékre, és ahogy feltételeztük, hogy k értéke nem lesz negatív, most a legalacsonyabb fokú x tagram-2 vegyük k=0-t az első egyenletben, mivel a második negatív értéket ad, tehát az x együtthatóm-2 is

a0m (m-1) = 0 ⇒ m = 0, m = 1

mint0 ≠ 0

most ugyanúgy egyenlővé téve x együtthatójátm-1 a második összegzésből

és egyenlővé tesszük x együtthatóitm+k nullára,

ak + 2(m+k+2)(m+k+1)-2ak(m+kn) = 0

úgy is írhatjuk

ak + 2 = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) ak

ha m=0

ak + 2 = 2(kn)/(k+2)(k+1) ak

ha m=1

ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) ak

erre a két esetre most a k eseteit tárgyaljuk

Amikor $m=0, ak + 2= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} ak$

Ha $k=0 a2 =-2 n/2 a0=-na0$

$k=1, a3=2(1-n)/6 a1 =-2(n-1)/3 ! a1$

Ha $k=2, a4 =2(2-n)/12 a2 =2 (2-n)/12 (-na0) = 22 n(n-2)/4 ! a0$

eddig m=0 két feltételünk van, amikor a1=0, majd a3=a5=a7=….=a2r+1=0 és amikor a1 akkor nem nulla

ezt követve tedd fel a értékeit0,a1,a2,a3,a4 és egy5 nekünk van

és m=1 esetén a1=0 úgy, hogy k=0,1,2,3,….. azt kapjuk

ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)ak

így lesz a megoldás

tehát a teljes megoldás az

ahol A és B tetszőleges állandók

Hermite polinom

   A Hermite-egyenlet megoldása y(x)=Ay1(x)+Általán2(x) ahol y1(x) és y2(x) a fentebb tárgyalt sorozatkifejezések,

a sorozatok egyike akkor ér véget, ha n nem negatív egész szám, ha n páros y1 megszűnik különben y2 ha n páratlan, és könnyen ellenőrizhetjük, hogy ha n=0,1,2,3,4…….. ezek a polinomok

1,x,1-2x2, x-2/3 x3, 1-4x2+4/3x4, x-4/3x3+ 4/15x5

tehát itt azt mondhatjuk, hogy a Hermite-egyenlet megoldása ezeknek a polinomoknak állandó többszöröse, és az x legnagyobb hatványát tartalmazó tagok 2 alakúak.nxn H-val jelölven(x) néven ismert Hermite polinom

Hermite polinom függvény generálása

A Hermite polinom általában generáló függvény segítségével reláció segítségével definiálható

[n/2] a legnagyobb egész szám, amely kisebb vagy egyenlő n/2-vel, tehát követi a Hn(x) as

ez azt mutatja Hn(x) egy n fokú polinom x-ben és

Hn(x) = 2nxn + πn 2 XNUMX (x)

ahol πn 2 XNUMX (x) az n-2 fokú polinom x-ben, és páros függvénye lesz x-nek páros n-nek, és páratlan függvénye x-nek páratlan n-nek, tehát

Hn(-x) = (-1)n Hn(x)

néhány kiinduló Hermite-polinom olyan

H0(x) = 1

H1(x) = 2x

H2(x) = 4x2 - 2

H3(x) = 8x3-12

H4(x) = 16x4 - 48x2+12

H5(x) = 32x2 - 160x3+ 120x

Hermite-polinom függvényének generálása Rodrigue-formulával

A Hermite polinom a Rodrigue-formula segítségével is definiálható generáló függvény segítségével

hiszen a generáló függvény relációja

  A Maclaurin-tételt használva megvan

or

úgy, hogy z=xt és

t=0 esetén tehát z=x adja

ezt más módon is megmutathatjuk, mint

megkülönböztető

tekintetében t ad

t határérték vétele nullára hajlik

most differenciálva x-hez képest

t határérték vétele nullára hajlik

ebből a két kifejezésből leírhatjuk

ugyanúgy írhatunk

 n-szer differenciálva t=0-t kapunk

ezekből az értékekből írhatunk

ezekből kaphatjuk meg az értékeket

Példa a Hermite polinomra           

  1. Keresse meg a rendes polinomját

Megoldás: a Hermite polinom definíciója és a rendelkezésünkre álló relációk segítségével

2. Keresse meg a közönséges polinom Hermite-polinomját!

Megoldás: A megadott egyenletet átválthatjuk Hermite-re, mint

és ebből az egyenletből azonos hatványok együtthatóját egyenlővé téve

ezért a Hermite polinom az lesz

A Hermite polinom ortogonalitása | A Hermite polinom ortogonális tulajdonsága

A Hermite polinom fontos jellemzője az ortogonalitása, amely ezt jelzi

Ennek az ortogonalitásnak a bizonyítására emlékezzünk rá

amely a Hermite-polinom generáló függvénye és tudjuk

így ezt a két egyenletet megszorozva azt kapjuk

végtelen határok között szorozva és integrálva

és azóta

so

ezt az értéket használva a fenti kifejezésben van

ami ad

most egyenlővé tegyük az együtthatókat mindkét oldalon

amely a Hermite polinom ortogonális tulajdonságát mutatja.

  A Hermite polinom ortogonális tulajdonságának eredménye más módon is megmutatható, ha figyelembe vesszük az ismétlődési relációt

Példa a Hermite polinom ortogonalitására

1. Értékelje az integrált

Megoldás: A remetepolinom ortogonalitási tulajdonságának felhasználásával

mivel itt az értékek m=3 és n=2 tehát

2. Értékelje az integrált!

Megoldás: A Hermite polinom ortogonalitási tulajdonságát felhasználva írhatunk

Hermite polinom ismétlődési relációi

A Hermite-polinom értéke könnyen megtudható az ismétlődési relációkból

Hermite polinom
Hermite polinomiális ismétlődési relációk

Ezek az összefüggések definíciók és tulajdonságok segítségével könnyen megszerezhetők.

Bizonyítékok: 1. Ismerjük a Hermite-egyenletet

y”-2xy'+2ny = 0

és a viszony

az x-re vonatkozó differenciálást részlegesen felírhatjuk így

ebből a két egyenletből

most n helyett n-1

t együtthatójának egyenlővé tételéveln

tehát a szükséges eredmény az

2. Hasonló módon részlegesen differenciálva a t egyenlethez képest

kapunk

n=0 el fog tűnni, így ennek az e értéknek a megadásával

most egyenlővé téve a t együtthatóitn

így

3. Ennek az eredménynek a bizonyításához ki kell zárni H-tn 1 XNUMX ból ből

és a

tehát megkapjuk

így megírhatjuk az eredményt

4. Ennek bizonyítására differenciálunk

megkapjuk a kapcsolatot

helyettesítve az értéket

és n helyére n+1

ami ad

Példák a Hermite-polinom ismétlődési relációira

1. Mutasd meg

H2n(0) = (-1)n. 22n (1 / 2)n

Megoldás:

Hogy megmutassuk, milyen eredményünk van

H2n(x) =

x=0-t véve itt kapjuk

2. Mutasd meg

H'2n + 1(0) = (-1)n 22n + 1 (3 / 2)2

Megoldás:

Mivel az ismétlődési relációból

H'n(x) = 2nHn 1 XNUMX(X)

itt cserélje ki n-t 2n+1-re, így

H'2n-1(x) = 2(2n+1) H2n(x)

x=0-t véve

3. Keresse meg az értékét

H2n + 1(0)

Megoldás

Mióta tudjuk

itt használd az x=0-t

H2n-1(0) = 0

4. Keresse meg H' értékét2n(0).

Megoldás :

megvan az ismétlődési reláció

H'n(x) = 2nHn 1 XNUMX(x)

itt cserélje ki n-t 2n-re

H'2n(x) = =2(2n)H2n-1(x)

tegye x=0

H'2n(0) = (4n)H2n-1(0) = 4n*0=0

5. Mutassa meg a következő eredményt

Megoldás :

Az ismétlődési relációt használva

H'n(x) = 2nHn 1 XNUMX (x)

so

és a

d3/dx3 {Hn(x)} = 23n(n-1)(n-2)Hn 3 XNUMX(x)

megkülönböztetve ezt m alkalommal

ami ad

6. Mutasd meg

Hn(-x) = (-1)n Hn(x)

Megoldás :

tudunk írni

t együtthatójábóln nekünk van

és -x esetén

7. Értékelje az integrált és mutassa meg!

Megoldás : Ennek az integrálnak a megoldásához használja az integrációs részeket, mint

Most az Integrál jel alatti differenciálás differenciáljon vele

x-hez képest

segítségével

H'n(x) = 2nHn 1 XNUMX (x)

és a

H'm(x) = 2 mHm-1 (x)

nekünk van

és azóta

𝝳 n,m-1 = 𝝳n+1, m

így az integrál értéke lesz

Következtetés:

Az alkalmazás során gyakran előforduló konkrét polinom a Hermite polinom, így az alapvető definíciót, a generáló függvényt, az ismétlődési relációkat és a Hermite polinomhoz kapcsolódó példákat itt tárgyaltuk röviden, ha további olvasásra van szüksége, olvassa el

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

A matematikával kapcsolatos további bejegyzésekért kérjük, kövesse az oldalunkat Matematika oldal

Lapozzon a lap tetejére