Funkcióelmélet: 9 teljes gyors tény

BEVEZETÉS

Mi a matematika? Ez számítás? Ez logika? Ez szimbólumok? Képek? Grafikonok? Kiderült, hogy ez mind ezek és még sok más. EZ CSAK EGY NYELV. Az univerzális nyelv, amelynek szimbólumai, karakterei, kifejezései, szókincse, nyelvtana, minden, ami egy nyelvet alkot, mind tökéletesen megindokolt, egyedi és egyértelmű jelentésű. Ez az a nyelv, amelyen a világegyetem törvényei meg vannak írva. Ezért ezt a nyelvet kell tanulnunk és felfedeznünk, hogy megfejtsük a természet titkait. Ezzel a filozófiával kell kezdenünk vitánkat az egyik legszebb és legalapvetőbb matematikai témáról, a FUNKCIÓELMÉLETről.

MI A KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ÉS AZ AZONOSÍTÁSOK?

Mint minden jól definiált nyelv, a matematikának is megvan a maga szimbólum- és karakterkészlete, numerikus és alfabetikus. Egy kifejezés a matematikában ilyen szimbólumok és karakterek kombinációja. Ezek mind kifejtésre kerülnek ebben függvényelmélet vita.

5+2/(9-3)

7a+2b-3c

2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α – β)

Ezek mind matematikai kifejezések. Nem számít, hogy kiértékelhetők-e vagy sem, ha értelmesek és megfelelő szintaxist követnek, akkor kifejezések.

Nos, ha összehasonlítunk két kifejezést egy '=' jellel, valami olyasmit kapunk, mint…

(1+x)2 = 1+2x+x2

Ami az = jel mindkét oldalára írt két kifejezés egyenlőségének kifejezése. Megjegyzendő, hogy ez az egyenlőség x minden értékére igaz. Az ilyen típusú egyenlőségeket IDENTITÁSOKNAK nevezik.

(1+x)2 = 2+3x+2x2…………..(1)

Vagy mint

(1+x)2 = 7-3x+2x2………… (2)

Ekkor nem lesznek igazak x minden értékére, inkább igazak lennének x bizonyos értékeire, mint például (2), vagy igazak lennének x NO értékeire, például (1). Ezeket egyenleteknek nevezzük.

Összefoglalva tehát, azok az egyenlőségek, amelyek a változók összes értékére vonatkoznak, AZONOSÍTÁSOK. Azok az egyenlőségek pedig, amelyek a változók néhány értékére vagy egyáltalán nem érvényesek, EGYENLETEK.

MIÉRT VAN SZÜKSÉGÜNK A FUNKCIÓ FOGALMARA?

Hát nem csodálatos, hogy a világegyetem ilyen tökéletesen kiegyensúlyozott? Egy ilyen hatalmas méretű rendszer annyi kisebb rendszerből áll, amelyek mindegyikében annyi változó kölcsönhatásba lép egymással, mégis olyan jól viselkedtek. Nem úgy tűnik, hogy mindent egy olyan szabályrendszer irányít, amelyek láthatatlanok, de mindenhol léteznek? Vegyük a gravitációs erő példáját. Ez fordítottan arányos a testek távolságával, és ezt a szabályt minden anyag követi, mindenhol az univerzumban. Tehát módot kell találnunk az ilyen szabályok kifejezésére, például a változók közötti kapcsolatokra.

Olyan változók vesznek körül bennünket, amelyek más változóktól függenek. Egy épület árnyékának hossza függ annak magasságától és a napszaktól. Az autó által megtett távolság a motorja által generált nyomatéktól függ. A függvényelmélet koncepciója az, amely lehetővé teszi számunkra, hogy az ilyen összefüggéseket matematikailag fejezzük ki.

MI AZ A FUNKCIÓ A MATETEKBEN?

Funkciószabály vagy FUNCTION rendszerint

Leegyszerűsítve a függvény egy olyan szabály, amely két vagy több változót köt össze. Ha a változók csak valós értékeket vehetnek fel, akkor ez egyszerűen egy kifejezés, amely egy szabályt vagy szabálykészletet határoz meg, amely valós számot rendel minden egyes valós számhoz.

Most ez a definíció minden bizonnyal némi pontosítást igényel, amelyeket a példákon keresztül adnak meg, mint pl

1. Az a szabály, amely az adott szám kockáját rendeli az egyes számokhoz.

f (x) = x3

2. A szabály, amely hozzárendeli az (x2-x-1)/x3 minden x-hez

f(x) = (x2-x-1)/x3

3. A szabály, amely hozzárendeli a (x2-x-1)/(x2+x+1) minden olyan x-hez, amely nem egyenlő 1-gyel, és a 0-tól 1-hez

f(x) = (x2-x-1)/(x2+x+1) x ≠ 1 esetén

                                                 = 0 x=1 esetén

  • f (x) = x2   mert -1 < x < π/3
  • A szabály, amely hozzárendeli

  2-től 5-ig

  3-tól a 8/3-as számhoz

  π/2 az 1-es számhoz

  és a  a többihez

  • Az a szabály, amely egy x számhoz rendeli az 1-esek számát a decimális kiterjesztésében, ha a szám véges, és a 0-át, ha végtelen sok 1-es van a bővítésben.

Ezeknek a példáknak egy dolgot nagyon világossá kell tenniük, hogy a függvény minden olyan szabály, amely számokat rendel bizonyos más számokhoz. Ezek a szabályok nem mindig fejezhetők ki algebrai megfogalmazással. Ezek nem is utalnak egyetlen egyedi feltételre, amely minden számra vonatkozik. És ennek nem kell olyan szabálynak lennie, amelyet a gyakorlatban vagy a való világban megtalálhatunk, mint a 6. szabályban. Senki sem tudja megmondani, hogy ez a szabály melyik számot rendeli a π vagy √2 számhoz. Előfordulhat, hogy a szabály bizonyos számokra nem vonatkozik. Például a 2. szabály nem vonatkozik x=0-ra. Azt a számkészletet, amelyre a szabály vonatkozik, a függvény DOMAIN-jének nevezzük.

HOGY MIT JELENTÉSE y= f(x)?

Figyeljük meg, hogy az y=f(x) kifejezést használjuk egy függvény írásához. Amikor egy kifejezést "f(x) = y"-vel kezdünk, akkor azt értjük, hogy egy olyan függvényt definiálunk, amely egy számhalmazt az x változó értékeinek halmazával kapcsol össze.

FUNKCIÓ mint viszony

Más szóval, és talán általánosabb értelemben, a függvény egy reláció két A és B halmaz között, ahol az A halmaz minden eleméhez hozzá van rendelve egy elem a B halmazból. A B halmaz elemei az úgynevezett KÉPEK az A halmaz elemeit pedig a ELŐKÉPEK.

Az elemek viszonyításának folyamatát ún TÉRKÉP. Természetesen sokféleképpen lehet ezeket a leképezéseket elvégezni, de nem neveznénk mindegyiket függvénynek. Függvénynek csak azokat a leképezéseket nevezzük, amelyek az elemeket úgy kapcsolják össze, hogy az A halmazban minden elemnek pontosan egy képe van a B halmazban. Néha úgy írják, hogy f : A–> B . Ezt úgy kell értelmezni, hogy „f egy függvény A-tól B-ig”.

Az A halmazt a DOMAIN függvényének és a B halmazt a CO-DOMAIN a funkciótól. Ha f olyan, hogy az A halmaz egyik a elemének képe a B halmaz b eleme, akkor f(a) = b-t írunk le, így olvassuk, hogy 'a f egyenlő b-vel', vagy 'b az érték f az a'-ban, vagy 'b az a képe f alatt'.

A FUNKCIÓK TÍPUSAI

A függvények besorolhatók aszerint, hogy hogyan viszonyulnak a két halmazhoz.

Egy – egy vagy injektív funkció

Image1 A függvények típusai
függvényelmélet: Egy az egyhez vagy injektív függvény

Az ábra mindent elmond. Amikor egy függvény egy halmaz minden elemét egy másik halmaz egyedi eleméhez kapcsolja, ez egy az egyhez vagy injektív függvény.

Sok – egy funkció

függvényelmélet
függvényelmélet: Sok az egy függvény

Az ábra ismét eléggé magától értetődő. Nyilvánvalóan egy adott képhez több előkép tartozik. Ezért a leképezés sok az egyhez. Vegye figyelembe, hogy ez nem sérti a függvény definícióját, mivel az A halmaz egyetlen eleme sem tartalmaz egynél több képet a B halmazban.

ONTO funkció vagy SUJECTIVE funkció

Image3 A funkciókról 1
Funkcióelmélet: ONTO függvény vagy SUJECTIVE függvény

Ha a B halmaz összes elemének van legalább egy előképe, akkor a függvényt Onto vagy szürjektív módon hívjuk. A leképezés lehet egy az egyhez vagy több az egyhez. A fent ábrázolt nyilvánvalóan sok az egyhez a leképezéshez. Vegye figyelembe, hogy a korábban egy-egy leképezés ábrázolására használt kép is a leképezésre vonatkozik. Ez a fajta egy az egyhez leképezés más néven BIJEKTÍV feltérképezése.

A funkcióba

Kép4 a funkcióra2
Funkcióelmélet: INTO függvény

Ha van legalább egy kép előkép nélkül, az INTO függvény. Az Into függvény lehet egy az egyhez vagy több az egyhez. A fent ábrázolt nyilvánvalóan egytől egyig.

EGY FUNKCIÓ GRAFIKUSA

Ahogy korábban mondtuk, hogy egy függvény valós számokat rendel bizonyos valós számokhoz, nagyon lehetséges és kényelmes a számpár XY derékszögű síkon történő ábrázolása. A pontok összekapcsolásával kapott nyom a függvény grafikonja.

Tekintsünk egy f(x) = x + 3 függvényt. Ekkor kiértékelhetjük f(x)-et x=1,2,3-nál, hogy megkapjuk az x és f(x) három párját mint (1,4) , ( 3,6) és (5,8). Ezeket a pontokat ábrázolva és összekapcsolva látható, hogy a függvény az xy síkban egy egyenest követ. Ez a vonal a függvény grafikonja.

Kép5 egy függvény grafikonja1
Függvényelmélet: Egy függvény grafikonja_1

Nyilvánvaló, hogy a nyomkövetés jellege a függvény kifejezésétől függően változik. Így egy sor gráfot kapunk különböző típusú kifejezésekhez. Néhányat megadnak.

Az f(x) = sin x, f(x) = x grafikonjai2 és f(x) = ex balról jobbra

6. kép a függvény2 grafikonja
Függvényelmélet: Egy függvény grafikonja_2

Ezen a ponton látható, hogy egy függvény kifejezése valójában úgy néz ki, mint egy egyenlet kifejezése. És ez igaz, például y = x + 3 valóban egyenlet és függvénydefiníció is. Ez felveti a kérdést, hogy minden egyenlet függvény? Ha nem akkor

Hogyan állapítható meg, hogy egy egyenlet függvény?

A korábban a grafikonokon ábrázolt egyenletek valójában függvények, mivel mindegyikre pontosan egy f(x) vagy y értéke van az x valamely értékéhez. Ez azt jelenti, hogy az f(x) kifejezésnek csak egy értéket kell adnia, ha x bármely értékére kiértékeli. Ez minden lineáris egyenletre igaz. De ha figyelembe vesszük az y egyenletet2 = 1-x2, azt találjuk, hogy mindig két megoldás van minden x-re 0-tól 1-ig, más szóval két kép van hozzárendelve minden x értékhez a tartományán belül. Ez sérti a függvény definícióját, ezért nem nevezhető függvénynek.

Ez a grafikonon jobban látszik, hogy minden x-nek pontosan két képe van, mivel az x tengely bármely pontján húzott függőleges vonal pontosan két pontban vágja el a grafikont.

7. kép a függvény3 grafikonja
Függvényelmélet: Egy függvény grafikonja_3

Tehát ez egy fontos következtetéshez vezet bennünket nem minden egyenlet függvény. És hogy egy egyenlet függvény-e, ellenőrizhető a függőleges vonal teszt, ami egyszerűen elképzel egy változó függőleges vonalat az x tengely minden pontjában, és megnézi, hogy az egyetlen pontban találkozik-e a grafikonnal.

Ez egy másik fontos kérdésre is választ ad: Hogyan állapítható meg, hogy egy függvény egy az egyhez? Bizonyára ez a válasz is benne van a grafikonon, és a függőleges vonal teszttel ellenőrizhető.

Most feltehetnénk a kérdést, hogy meg lehet-e mondani ugyanezt a gráf beszerzése nélkül, vagy algebrai úton is elmondható-e, mivel nem mindig könnyű függvénygráfokat rajzolni. Nos, a válasz igen, ez egyszerűen megtehető az f(a)=f(b) tesztelésével, ami azt jelenti, hogy a=b. Ez azt jelenti, hogy még ha f(x) ugyanazt az értéket veszi fel x két értékére, akkor x két értéke nem különbözhet egymástól. Vegyünk egy példát a függvényre

y=(x-1)/(x-2)

Mint észrevehető, ennek a függvénynek a grafikonját nehéz megrajzolni, mivel nem lineáris jellegű, és nem illeszkedik egyetlen ismert görbe leírásához sem, ráadásul nincs is definiálva x=2-nél. Tehát ez a probléma határozottan más megközelítést igényel, mint a függőleges vonal teszt.

Tehát kezdjük az engedéssel 

f(a)=f(b)

=> (a-1)/(a-2)=(b-1)/(b-2)

=>(a-1)(b-2)=(b-1)(a-2)

=>ab-2a-b+2=ab-2b-a+2

=> 2a+b=2b+a

=>2(ab)=(ab)             

Ez csak ab=0 vagy a=b esetén lehetséges

Tehát a függvény valóban egy az egyhez, és grafikus ábrázolás nélkül is bebizonyítottuk.

Most azt szeretnénk látni, hogy egy függvény mikor bukik meg ebben a tesztben. Lehet, hogy szeretnénk tesztelni a korábban tesztelt kör egyenletét. Kezdjük az írással

f(a)=f(b)

f (x) = x2

=> a2=b2

a2 =b2

=> a=b vagy a=-b

Ez egyszerűen azt jelenti, hogy az a=b-n kívül vannak más megoldások is, ezért f(x) nem függvény.

ANNYIRA NEHÉZ MEGKÖZELÍTENI y=(x-1)/(x-2) ?

A következő cikkekben egy függvény grafikus ábrázolását sokkal részletesebben fogjuk tárgyalni, de itt meg kell ismerkednünk a grafikonozás alapjaival, mivel ez rendkívül sokat segít a problémamegoldásban. A számítási probléma vizuális értelmezése gyakran nagyon egyszerűvé teszi a problémát, és a függvény grafikus ábrázolásának ismerete a jó vizuális értelmezés kulcsa.

Tehát az (x-1)/(x-2) grafikonjának ábrázolásához, néhány kritikus észrevétellel kezdjük, mint pl

1. A függvény 0 lesz x=1-nél.

2. A függvény definiálatlanná válik x=2 esetén.

3. A függvény 1 kivételével mindenhol pozitív

Mivel ebben az intervallumban (x-1) pozitív és (x-2) negatív, ez az arányuk negatív.

4. Amint x a -∞-ra megy, a függvény az alsó oldalról közelíti az egységet, ami azt jelenti, hogy közel megy 1-hez, de mindig kisebb, mint 1.

Mert x<0 esetén (x-1)/(x-2) =(|x|+1)/(|x|+2)<1 mint |x|+2>|x|+1

5. Mivel x a +∞-hez megy, a függvény a felső oldalról közelít egységhez, ami azt jelenti, hogy közel megy 1-hez, de mindig nagyobb, mint 1.

6. Ahogy az x bal oldalról 2-re megy, a függvény a -∞-ra megy.

7. Ahogy az x jobb oldalról 2-re megy, a függvény +∞-re megy.

8. A függvény x>2 esetén mindig csökken.

BIZONYÍTÉK:

Vegyünk x két közeli értékét (a, b)-nek úgy, hogy (a, b) >2 és b>a

most, f(b) – f(a)

=(b-1)/(b-2)-(a-1)/(a-2)

={(b-1)(a-2)-(a-1)(b-2)}/(a-2)(b-2)

=(ab)/{(a-2)(b-2)}

<0 mint (ab)<0 b>a esetén

és (a-2) (b-2)> 0, mint (a, b)> 2

Ez azt jelenti, hogy f(b) 2, más szóval f(x) szigorúan csökken x>2 esetén

  • 9. A függvény x<2 esetén mindig csökken
  • BIZONYÍTÉK: ugyanaz, mint korábban. Meghagyjuk, hogy próbálja ki.

Ezeknek a megfigyeléseknek a kombinálása meglehetősen egyszerűvé teszi a grafikus ábrázolást. 4,9, 6 és 2 kombinálásával azt mondhatjuk, hogy amikor x -∞-ről 0-re megy, a nyom az egységből indul ki, és fokozatosan esik 1-ig x=2-nél, majd tovább esik -∞-ig x=7,5-nél. A 8, 2 és XNUMX ismételt kombinálásával könnyen belátható, hogy amikor x XNUMX-ről +∞-ra megy, a nyom a +∞-ről kezd esni, és folyamatosan közeledik az egységhez, és soha nem érinti meg.

Így néz ki a teljes grafikon

A 8. függvény 4. ábrája 1
Függvényelmélet: Egy függvény grafikonja_4

Most nyilvánvalóvá válik, hogy a függvény valóban egy az egyhez.

KÖVETKEZTETÉS

Eddig a függvényelmélet alapjait tárgyaltuk. Tisztáznunk kell a függvények definícióit és típusait. Volt egy kis elképzelésünk a függvények grafikus értelmezéséről is. A következő cikk sokkal részletesebben foglalkozik az olyan fogalmakkal, mint a tartomány és a tartomány, az inverz függvények, a különféle függvények és grafikonjaik, valamint sok kidolgozott probléma. Ha mélyebben szeretne belemenni a tanulmányba, olvassa el

Michael Spivak kalkulusa.

Michael Artin algebra.

További matematikai cikkekért kérjük kattints ide.

Írj hozzászólást