Inverz gamma eloszlás: 21 fontos tény

Inverz gamma-eloszlás és a gamma-eloszlás nyomatékgeneráló függvénye

      A gamma-eloszlás folytatásaként látni fogjuk az inverz gamma-eloszlás és a nyomatékgeneráló függvény fogalmát, a gamma-eloszlás néhány alapvető tulajdonságát követve a centrális tendenciák középértékét, a gamma-eloszlás módját és mediánját.

gamma eloszlás tulajdonságai

Néhány a gamma-eloszlás fontos tulajdonságai az alábbiak szerint vannak besorozva

A gamma-eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye a

or

hol van a gammafüggvény

2.A gamma-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye a

ahol f(x) a valószínűségi sűrűségfüggvény a fent megadottak szerint, különösen cdf

és a

illetőleg ill

E[X]=α*β

és a

  • A gamma-eloszlás M(t) nyomatékgeneráló függvénye

or

  • A pdf és a cdf görbéje a következő
Inverz gamma eloszlás
  • Az inverz gamma eloszlás definiálható a gamma eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvényének reciproka alapján
  • A független gamma eloszlás összege ismét a gamma eloszlás a paraméterek összegével.

inverz gamma eloszlás | normál inverz gamma eloszlás

                Ha a gamma eloszlásban a valószínűségi sűrűségfüggvényben

or

vesszük a reciprok vagy inverz változót, akkor a valószínűségi sűrűségfüggvény lesz

Így az ezzel a valószínűségi sűrűségfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változó az inverz gamma valószínűségi változó vagy inverz gamma eloszlás vagy invertált gamma eloszlás.

A fenti valószínűségi sűrűségfüggvény bármely paraméterben felvehetjük akár lambda, akár théta alakban. A valószínűségi sűrűségfüggvény, amely a gamma-eloszlás reciproka, az inverz gamma-eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye.

Az inverz gamma eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye vagy cdf

                Az inverz gamma-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye az eloszlásfüggvény

amelyben az f(x) az inverz gamma-eloszlás as valószínűségi sűrűségfüggvénye

Az inverz gamma-eloszlás átlaga és szórása

  Az inverz gamma-eloszlás átlaga és szórása a várható elvárás és variancia szokásos definícióját követve a következő lesz

és a

Az inverz gamma-eloszlás bizonyításának átlaga és szórása

        Az inverz gamma-eloszlás átlagának és szórásának meghatározása a valószínűségi sűrűségfüggvény segítségével

és a várakozások definíciója, először megkeressük az elvárást x as tetszőleges hatványára

a fenti integrálban az as sűrűségfüggvényt használtuk

most α egynél nagyobb és n egynél nagyobb értékére

hasonlóképpen n=2 értéke 2-nél nagyobb alfa esetén

ezen elvárások felhasználása megadja a as variancia értékét

Invers gamma eloszlási diagram | Inverz gamma eloszlási grafikon

                Az inverz gamma-eloszlás a gamma-eloszlás reciproka, ezért a gamma-eloszlás megfigyelése során jó megfigyelni az inverz gamma-eloszlás görbéinek a valószínűségi sűrűségfüggvényét, mint pl.

és a kumulatív eloszlásfüggvényt követve

Inverz gamma eloszlás
Inverz gamma eloszlási grafikon

Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és kumulatív eloszlásfüggvényt úgy, hogy α értékét 1-ben rögzítjük és β értékét változtatjuk.

Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és a kumulatív eloszlásfüggvényhez α értékének 2-ben történő rögzítésével és β értékének változtatásával

Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és a kumulatív eloszlásfüggvényhez úgy, hogy α értékét 3-ben rögzítjük és β értékét változtatjuk.

Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és a kumulatív eloszlásfüggvényhez úgy, hogy β értékét 1-ben rögzítjük és α értékét változtatjuk.

Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és a kumulatív eloszlásfüggvényhez β értékének 2-ben történő rögzítésével és α értékének változtatásával

Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és a kumulatív eloszlásfüggvényhez úgy, hogy β értékét 3-ben rögzítjük és α értékét változtatjuk.

gamma-eloszlás momentumgeneráló függvénye

Mielőtt megértenénk a gamma-eloszlás nyomatékgeneráló függvényének fogalmát, emlékezzünk vissza a momentumgeneráló függvény néhány fogalmára

Pillanatok

    A pillanat a véletlen változó az elvárás segítségével határozzuk meg, mint

ezt az X valószínűségi változó r-edik momentumaként ismerjük, ez az eredetre vonatkozó pillanat, és közismerten nyers momentum.

     Ha a valószínűségi változó r-edik momentumát a μ átlagról úgy vesszük

ezt a pillanatot az átlagról nevezzük központi momentumnak, és a várakozás az as valószínűségi változó természetének megfelelően lesz

a központi pillanatban, ha r értékeit adjuk meg, akkor néhány kezdeti momentumot kapunk as

Ha a binomiális bővítést a központi pillanatokban vesszük, akkor könnyen megkaphatjuk a központi és a nyers momentumok közötti kapcsolatot

néhány kezdeti kapcsolat a következő

Pillanatgeneráló funkció

   Azok a pillanatok, amelyeket egy függvény segítségével generálhatunk, amely függvény momentumgeneráló függvényként ismert, és így definiálható

ez a függvény az exponenciális függvény kiterjesztésével generálja a momentumokat bármelyik formában

Taylors forma használatával, mint

ezt a kibővített függvényt a t vonatkozásában megkülönböztetve a különböző mozzanatokat as

on más módon, ha a származékot közvetlenül mint

hiszen mindkettőnél diszkrét

és folyamatos van

tehát t=0-ra kapjuk

hasonlóképpen

as

és általában

a pillanatgeneráló függvényeknek két fontos összefüggése van

gamma-eloszlás nyomatékgeneráló függvénye | mgf gamma eloszlás | momentumgeneráló függvény gamma eloszláshoz

Most pedig a gamma eloszlása ​​a pillanatgeneráló függvény M(t) a pdf-hez

is

és a pdf-hez

a pillanatgeneráló függvény az

gamma eloszlási nyomaték generáló függvény bizonyítása | mgf gamma eloszlás bizonyítása

    Most először vegye fel a valószínűségi sűrűségfüggvény formáját mint

és az M(t) nyomatékgeneráló függvény definícióját felhasználva megkapjuk

nyomatékgeneráló függvény segítségével megtalálhatjuk a gamma eloszlás átlagát és szórását, mint t-hez képest ennek a függvénynek a kétszeresét differenciálva kapjuk

ha t=0-t teszünk, akkor az első érték lesz

és a

Most tegyük bele ezeknek az elvárásoknak az értékét

felváltva az űrlap pdf-jéhez

a pillanatgeneráló függvény lesz

és a t=0 megkülönböztetése és elhelyezése az alábbiak szerint adja meg az átlagot és a szórást

A gamma-eloszlás 2. pillanata

   A gamma eloszlás második momentumát úgy kapjuk meg, hogy a momentumgeneráló függvényt kétszer differenciáljuk, és a t=0 értékét a függvény második deriváltjába helyezzük.

a gamma eloszlás harmadik mozzanata

                A gamma-eloszlás harmadik momentumát úgy találhatjuk meg, hogy a momentumgeneráló függvényt háromszor differenciáljuk, és a t=0 értékét az mgf harmadik deriváltjába helyezzük.

vagy közvetlenül as integrálásával

 szigma a gamma eloszláshoz

   típusú gamma-eloszlás szigmáját vagy szórását a gamma-eloszlás szórásának négyzetgyökével kaphatjuk meg.

or

az alfa, béta és lambda bármely meghatározott értékére.

gamma-eloszlás jellemző függvénye | gamma eloszlás karakterisztikus függvénye

      Ha a t változó a pillanatgeneráló függvényben pusztán egy képzeletbeli szám, mint t=iω, akkor a függvényt a gamma-eloszlás karakterisztikus függvényeként ismerjük, amelyet úgy jelölünk és fejezünk ki.

mint minden valószínűségi változó esetében, a karakterisztikus függvény a következő lesz

Így a gamma-eloszlásra a gamma-eloszlás pdf-jét követve a karakterisztikus függvény az

következő

Ennek a jellemzőfüggvénynek van egy másik formája is, ha

akkor

gamma-eloszlások összege | exponenciális eloszlású gamma összege

  A gamma eloszlás összegének eredményének megismeréséhez először is meg kell értenünk a folytonos valószínűségi változó független valószínűségi változójának összegét, ehhez legyen az X és Y folytonos valószínűségi változókra valószínűségi sűrűségfüggvények, majd az összeg kumulatív eloszlásfüggvénye. valószínűségi változókból lesz

Az integrál ezen konvolúciójának megkülönböztetése X és Y valószínűségi sűrűségfüggvényeihez a valószínűségi sűrűségfüggvényt kapja a valószínűségi változók összegére

Most bizonyítsuk be, ha X és Y a gamma valószínűségi változók a megfelelő sűrűségfüggvénnyel, akkor az összeg is lesz gamma eloszlás ugyanazon paraméterek összegével

figyelembe véve a forma valószínűségi sűrűségfüggvényét

az X valószínűségi változóhoz az alfát s-nek, Y valószínűségi változóhoz pedig az alfát t-nek, tehát a valószínűségi sűrűséget használva a valószínűségi változók összegére

itt C független a -tól, most az érték lesz

amelyek X és Y összegének valószínűségi sűrűségfüggvényét reprezentálják, és amely a gamma-eloszlású, ezért a gamma-eloszlás összege egyben a gamma-eloszlást is reprezentálja a megfelelő paraméterek összegével.

gamma eloszlás módja

    A gamma-eloszlás módozatának megtalálásához tekintsük az as valószínűségi sűrűségfüggvényt

most megkülönböztetjük ezt a pdf-et x-hez képest, akkor a as differenciálást kapjuk

ez nulla lesz x=0 vagy x=(α -1)/λ esetén

szóval ezek csak kritikus pontok ahol az első deriváltunk nulla lesz, ha az alfa nagyobb vagy egyenlő nullával, akkor x=0 nem lesz mód, mert ez nullává teszi a pdf-et, így a módusz (α -1)/λ

és egynél szigorúan kisebb alfa esetén a derivált a végtelenről nullára csökken, amikor x nulláról a végtelenbe nő, így ez nem lehetséges, ezért a gamma eloszlás módja

gamma-eloszlás mediánja

A gamma-eloszlás mediánját az inverz gamma-eloszlás as segítségével találhatjuk meg

or

feltéve,

ami ad

gamma eloszlás alakja

     A gamma-eloszlás az alakparamétertől függően eltérő alakot ölt, ha az alakparaméter egy gamma-eloszlás egyenlő az exponenciális eloszlással, de ha változtatjuk az alakparamétert, a gamma-eloszlás görbéjének ferdesége az alakparaméter növekedésével csökken, más szóval a gamma-eloszlás görbéjének alakja a szórás szerint változik.

gamma-eloszlás ferdesége

    bármely eloszlás ferdesége megfigyelhető az adott eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvényének és a ferdeségi együtthatónak a megfigyelésével

a rendelkezésünkre álló gamma-eloszláshoz

so

ez azt mutatja, hogy a ferdeség csak akkor függ az alfa-tól, ha az alfa végtelenbe növekszik a görbe szimmetrikusabb és élesebb lesz, és amikor az alfa nullára megy, a gamma eloszlási sűrűséggörbe pozitívan ferde, ami a sűrűséggrafikonokon megfigyelhető.

általánosított gamma-eloszlás | alak és lépték paraméter a gamma eloszlásban | háromparaméteres gamma eloszlás | többváltozós gamma eloszlás

ahol γ, μ és β az alak, a hely és a skála paraméterei, ezekhez a paraméterekhez konkrét értékeket rendelve megkaphatjuk a két paraméter gamma eloszlását specifikusan, ha μ=0, β=1 értéket adunk, akkor standard gamma eloszlást kapunk, mint pl.

Ezzel a 3 paraméteres gamma-eloszlási valószínűségi sűrűségfüggvénnyel az ottani definíciót követve megtalálhatjuk a várható értéket és a szórást.

Következtetés:

A gamma-eloszlás reciprok fogalma az inverz gamma eloszlás a gamma-eloszlással összehasonlítva, valamint a gamma-eloszlás központi tendenciáinak mérése nyomatékgeneráló függvény segítségével volt ennek a cikknek a középpontjában, ha további olvasásra van szüksége, olvassa el a javasolt könyveket és hivatkozásokat. A matematikával kapcsolatos további bejegyzésekért látogassa meg oldalunkat matematika oldal.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól

Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai

ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba

Lapozzon a lap tetejére