Inverz gamma-eloszlás és a gamma-eloszlás nyomatékgeneráló függvénye
A gamma-eloszlás folytatásaként látni fogjuk az inverz gamma-eloszlás és a nyomatékgeneráló függvény fogalmát, a gamma-eloszlás néhány alapvető tulajdonságát követve a centrális tendenciák középértékét, a gamma-eloszlás módját és mediánját.
gamma eloszlás tulajdonságai
Néhány a gamma-eloszlás fontos tulajdonságai az alábbiak szerint vannak besorozva
A gamma-eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye a
or
hol van a gammafüggvény
2.A gamma-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye a
ahol f(x) a valószínűségi sűrűségfüggvény a fent megadottak szerint, különösen cdf
és a
illetőleg ill
E[X]=α*β
és a
- A gamma-eloszlás M(t) nyomatékgeneráló függvénye
or
- A pdf és a cdf görbéje a következő
- Az inverz gamma eloszlás definiálható a gamma eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvényének reciproka alapján
- A független gamma eloszlás összege ismét a gamma eloszlás a paraméterek összegével.
inverz gamma eloszlás | normál inverz gamma eloszlás
Ha a gamma eloszlásban a valószínűségi sűrűségfüggvényben
or
vesszük a reciprok vagy inverz változót, akkor a valószínűségi sűrűségfüggvény lesz
Így az ezzel a valószínűségi sűrűségfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változó az inverz gamma valószínűségi változó vagy inverz gamma eloszlás vagy invertált gamma eloszlás.
A fenti valószínűségi sűrűségfüggvény bármely paraméterben felvehetjük akár lambda, akár théta alakban. A valószínűségi sűrűségfüggvény, amely a gamma-eloszlás reciproka, az inverz gamma-eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye.
Az inverz gamma eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye vagy cdf
Az inverz gamma-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye az eloszlásfüggvény
amelyben az f(x) az inverz gamma-eloszlás as valószínűségi sűrűségfüggvénye
Az inverz gamma-eloszlás átlaga és szórása
Az inverz gamma-eloszlás átlaga és szórása a várható elvárás és variancia szokásos definícióját követve a következő lesz
és a
Az inverz gamma-eloszlás bizonyításának átlaga és szórása
Az inverz gamma-eloszlás átlagának és szórásának meghatározása a valószínűségi sűrűségfüggvény segítségével
és a várakozások definíciója, először megkeressük az elvárást x as tetszőleges hatványára
a fenti integrálban az as sűrűségfüggvényt használtuk
most α egynél nagyobb és n egynél nagyobb értékére
hasonlóképpen n=2 értéke 2-nél nagyobb alfa esetén
ezen elvárások felhasználása megadja a as variancia értékét
Invers gamma eloszlási diagram | Inverz gamma eloszlási grafikon
Az inverz gamma-eloszlás a gamma-eloszlás reciproka, ezért a gamma-eloszlás megfigyelése során jó megfigyelni az inverz gamma-eloszlás görbéinek a valószínűségi sűrűségfüggvényét, mint pl.
és a kumulatív eloszlásfüggvényt követve
Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és kumulatív eloszlásfüggvényt úgy, hogy α értékét 1-ben rögzítjük és β értékét változtatjuk.
Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és a kumulatív eloszlásfüggvényhez α értékének 2-ben történő rögzítésével és β értékének változtatásával
Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és a kumulatív eloszlásfüggvényhez úgy, hogy α értékét 3-ben rögzítjük és β értékét változtatjuk.
Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és a kumulatív eloszlásfüggvényhez úgy, hogy β értékét 1-ben rögzítjük és α értékét változtatjuk.
Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és a kumulatív eloszlásfüggvényhez β értékének 2-ben történő rögzítésével és α értékének változtatásával
Leírás: grafikonok a valószínűségi sűrűségfüggvényhez és a kumulatív eloszlásfüggvényhez úgy, hogy β értékét 3-ben rögzítjük és α értékét változtatjuk.
gamma-eloszlás momentumgeneráló függvénye
Mielőtt megértenénk a gamma-eloszlás nyomatékgeneráló függvényének fogalmát, emlékezzünk vissza a momentumgeneráló függvény néhány fogalmára
Pillanatok
A pillanat a véletlen változó az elvárás segítségével határozzuk meg, mint
ezt az X valószínűségi változó r-edik momentumaként ismerjük, ez az eredetre vonatkozó pillanat, és közismerten nyers momentum.
Ha a valószínűségi változó r-edik momentumát a μ átlagról úgy vesszük
ezt a pillanatot az átlagról nevezzük központi momentumnak, és a várakozás az as valószínűségi változó természetének megfelelően lesz
a központi pillanatban, ha r értékeit adjuk meg, akkor néhány kezdeti momentumot kapunk as
Ha a binomiális bővítést a központi pillanatokban vesszük, akkor könnyen megkaphatjuk a központi és a nyers momentumok közötti kapcsolatot
néhány kezdeti kapcsolat a következő
Pillanatgeneráló funkció
Azok a pillanatok, amelyeket egy függvény segítségével generálhatunk, amely függvény momentumgeneráló függvényként ismert, és így definiálható
ez a függvény az exponenciális függvény kiterjesztésével generálja a momentumokat bármelyik formában
Taylors forma használatával, mint
ezt a kibővített függvényt a t vonatkozásában megkülönböztetve a különböző mozzanatokat as
on más módon, ha a származékot közvetlenül mint
hiszen mindkettőnél diszkrét
és folyamatos van
tehát t=0-ra kapjuk
hasonlóképpen
as
és általában
a pillanatgeneráló függvényeknek két fontos összefüggése van
gamma-eloszlás nyomatékgeneráló függvénye | mgf gamma eloszlás | momentumgeneráló függvény gamma eloszláshoz
Most pedig a gamma eloszlása a pillanatgeneráló függvény M(t) a pdf-hez
is
és a pdf-hez
a pillanatgeneráló függvény az
gamma eloszlási nyomaték generáló függvény bizonyítása | mgf gamma eloszlás bizonyítása
Most először vegye fel a valószínűségi sűrűségfüggvény formáját mint
és az M(t) nyomatékgeneráló függvény definícióját felhasználva megkapjuk
nyomatékgeneráló függvény segítségével megtalálhatjuk a gamma eloszlás átlagát és szórását, mint t-hez képest ennek a függvénynek a kétszeresét differenciálva kapjuk
ha t=0-t teszünk, akkor az első érték lesz
és a
Most tegyük bele ezeknek az elvárásoknak az értékét
felváltva az űrlap pdf-jéhez
a pillanatgeneráló függvény lesz
és a t=0 megkülönböztetése és elhelyezése az alábbiak szerint adja meg az átlagot és a szórást
A gamma-eloszlás 2. pillanata
A gamma eloszlás második momentumát úgy kapjuk meg, hogy a momentumgeneráló függvényt kétszer differenciáljuk, és a t=0 értékét a függvény második deriváltjába helyezzük.
a gamma eloszlás harmadik mozzanata
A gamma-eloszlás harmadik momentumát úgy találhatjuk meg, hogy a momentumgeneráló függvényt háromszor differenciáljuk, és a t=0 értékét az mgf harmadik deriváltjába helyezzük.
vagy közvetlenül as integrálásával
szigma a gamma eloszláshoz
típusú gamma-eloszlás szigmáját vagy szórását a gamma-eloszlás szórásának négyzetgyökével kaphatjuk meg.
or
az alfa, béta és lambda bármely meghatározott értékére.
gamma-eloszlás jellemző függvénye | gamma eloszlás karakterisztikus függvénye
Ha a t változó a pillanatgeneráló függvényben pusztán egy képzeletbeli szám, mint t=iω, akkor a függvényt a gamma-eloszlás karakterisztikus függvényeként ismerjük, amelyet úgy jelölünk és fejezünk ki.
mint minden valószínűségi változó esetében, a karakterisztikus függvény a következő lesz
Így a gamma-eloszlásra a gamma-eloszlás pdf-jét követve a karakterisztikus függvény az
következő
Ennek a jellemzőfüggvénynek van egy másik formája is, ha
akkor
gamma-eloszlások összege | exponenciális eloszlású gamma összege
A gamma eloszlás összegének eredményének megismeréséhez először is meg kell értenünk a folytonos valószínűségi változó független valószínűségi változójának összegét, ehhez legyen az X és Y folytonos valószínűségi változókra valószínűségi sűrűségfüggvények, majd az összeg kumulatív eloszlásfüggvénye. valószínűségi változókból lesz
Az integrál ezen konvolúciójának megkülönböztetése X és Y valószínűségi sűrűségfüggvényeihez a valószínűségi sűrűségfüggvényt kapja a valószínűségi változók összegére
Most bizonyítsuk be, ha X és Y a gamma valószínűségi változók a megfelelő sűrűségfüggvénnyel, akkor az összeg is lesz gamma eloszlás ugyanazon paraméterek összegével
figyelembe véve a forma valószínűségi sűrűségfüggvényét
az X valószínűségi változóhoz az alfát s-nek, Y valószínűségi változóhoz pedig az alfát t-nek, tehát a valószínűségi sűrűséget használva a valószínűségi változók összegére
itt C független a -tól, most az érték lesz
amelyek X és Y összegének valószínűségi sűrűségfüggvényét reprezentálják, és amely a gamma-eloszlású, ezért a gamma-eloszlás összege egyben a gamma-eloszlást is reprezentálja a megfelelő paraméterek összegével.
gamma eloszlás módja
A gamma-eloszlás módozatának megtalálásához tekintsük az as valószínűségi sűrűségfüggvényt
most megkülönböztetjük ezt a pdf-et x-hez képest, akkor a as differenciálást kapjuk
ez nulla lesz x=0 vagy x=(α -1)/λ esetén
szóval ezek csak kritikus pontok ahol az első deriváltunk nulla lesz, ha az alfa nagyobb vagy egyenlő nullával, akkor x=0 nem lesz mód, mert ez nullává teszi a pdf-et, így a módusz (α -1)/λ
és egynél szigorúan kisebb alfa esetén a derivált a végtelenről nullára csökken, amikor x nulláról a végtelenbe nő, így ez nem lehetséges, ezért a gamma eloszlás módja
gamma-eloszlás mediánja
A gamma-eloszlás mediánját az inverz gamma-eloszlás as segítségével találhatjuk meg
or
feltéve,
ami ad
gamma eloszlás alakja
A gamma-eloszlás az alakparamétertől függően eltérő alakot ölt, ha az alakparaméter egy gamma-eloszlás egyenlő az exponenciális eloszlással, de ha változtatjuk az alakparamétert, a gamma-eloszlás görbéjének ferdesége az alakparaméter növekedésével csökken, más szóval a gamma-eloszlás görbéjének alakja a szórás szerint változik.
gamma-eloszlás ferdesége
bármely eloszlás ferdesége megfigyelhető az adott eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvényének és a ferdeségi együtthatónak a megfigyelésével
a rendelkezésünkre álló gamma-eloszláshoz
so
ez azt mutatja, hogy a ferdeség csak akkor függ az alfa-tól, ha az alfa végtelenbe növekszik a görbe szimmetrikusabb és élesebb lesz, és amikor az alfa nullára megy, a gamma eloszlási sűrűséggörbe pozitívan ferde, ami a sűrűséggrafikonokon megfigyelhető.
általánosított gamma-eloszlás | alak és lépték paraméter a gamma eloszlásban | háromparaméteres gamma eloszlás | többváltozós gamma eloszlás
ahol γ, μ és β az alak, a hely és a skála paraméterei, ezekhez a paraméterekhez konkrét értékeket rendelve megkaphatjuk a két paraméter gamma eloszlását specifikusan, ha μ=0, β=1 értéket adunk, akkor standard gamma eloszlást kapunk, mint pl.
Ezzel a 3 paraméteres gamma-eloszlási valószínűségi sűrűségfüggvénnyel az ottani definíciót követve megtalálhatjuk a várható értéket és a szórást.
Következtetés:
A gamma-eloszlás reciprok fogalma az inverz gamma eloszlás a gamma-eloszlással összehasonlítva, valamint a gamma-eloszlás központi tendenciáinak mérése nyomatékgeneráló függvény segítségével volt ennek a cikknek a középpontjában, ha további olvasásra van szüksége, olvassa el a javasolt könyveket és hivatkozásokat. A matematikával kapcsolatos további bejegyzésekért látogassa meg oldalunkat matematika oldal.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól
Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai
ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba
