Közösen elosztott véletlen változók: 11 fontos tény

Tartalom

Közös eloszlású valószínűségi változók

     Az együttes eloszlású valószínűségi változók azok a valószínűségi változók, amelyek valószínűsége több, ezekre a valószínűségi változókra közösen oszlik el, vagyis olyan kísérletekben, ahol a közös valószínűségű eltérő eredményt közösen elosztott valószínűségi változónak vagy közös eloszlásnak nevezik, ilyen típusú helyzet fordul elő. gyakran az esélyek problémáinak kezelése közben.

Közös elosztási funkció | Együttes kumulatív valószínűségi eloszlási függvény | közös valószínűségi tömegfüggvény | ízületi valószínűségi sűrűségfüggvény

    Az X és Y valószínűségi változók eloszlásfüggvénye vagy együttes kumulatív eloszlásfüggvénye a

gif

ahol az együttes valószínűség természete az X és Y valószínűségi változók diszkrét vagy folytonos természetétől függ, és az X és Y egyedi eloszlásfüggvényei ennek a közös kumulatív eloszlásfüggvénynek a használatával kaphatók meg.

gif

hasonlóan Y-hez mint

gif

X és Y ezen egyedi eloszlásfüggvényeit határeloszlási függvényeknek nevezzük, amikor közös eloszlásról van szó. Ezek az eloszlások nagyon hasznosak a hasonló valószínűségek meghatározásában

és ezen kívül az X és Y valószínűségi változók együttes valószínűségi tömegfüggvényét a következőképpen definiáljuk

gif

az egyedi valószínűségi tömeg- vagy sűrűségfüggvények X-re és Y-re olyan együttes valószínűségi tömeg- vagy sűrűségfüggvény segítségével kaphatók meg, mint pl. diszkrét valószínűségi változók as

gif

és a tekintetben folytonos valószínűségi változó az együttes valószínűségi sűrűségfüggvény lesz

gif

ahol C bármely kétdimenziós sík, és a folytonos valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvénye a következő lesz

image 60

ebből az eloszlásfüggvényből a valószínűségi sűrűségfüggvényt differenciálással kaphatjuk meg

gif

és a határvalószínűség az együttes valószínűségi sűrűségfüggvényből

gif

as

gif

és a

gif

az X és Y valószínűségi változók tekintetében

Példák a közös elosztásra

  1. Az X és Y valószínűségi változók együttes valószínűségei, amelyek a matematikai és statisztikai könyvek számát jelentik egy olyan könyvkészletből, amely 3 matematikai, 4 statisztikai és 5 fizikakönyvet tartalmaz, ha 3 könyvet véletlenszerűen veszünk
%5Cbinom%7B12%7D%7B3%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B220%7D
  • Találja meg az ízületet valószínűségi tömegfüggvény a 15% gyermektelen, 20% 1 gyermekes, 35% 2 gyermekes és 30% 3 gyermekes családok mintájára, ha ebből a mintából véletlenszerűen választjuk gyermeknek a családot fiúnak vagy lánynak?

Az együttes valószínűséget az as definíció használatával fogjuk megtalálni

Közös eloszlású valószínűségi változók
Közös eloszlású valószínűségi változók : Példa

és ezt táblázatos formában a következőképpen szemléltethetjük

Közös eloszlású valószínűségi változók
Közös eloszlású valószínűségi változók : Példa közös eloszlásra
  • Számítsa ki a valószínűségeket
gif

ha az X és Y valószínűségi változókra az együttes valószínűségi sűrűségfüggvényt adjuk meg

gif

folytonos valószínűségi változó együttes valószínűségének meghatározásával

gif

és az adott ízületi sűrűségfüggvény az első valószínűség az adott tartományra lesz

gif
gif
gif
gif

hasonló módon a valószínűség

gif
gif
gif
gif

és végül

gif
gif
gif
  • Határozzuk meg az X és Y valószínűségi változók X/Y hányadosának együttes sűrűségfüggvényét, ha az együttes valószínűségi sűrűségfüggvényük
gif

Az X/Y függvény valószínűségi sűrűségfüggvényének meghatározásához először keressük meg az együttes eloszlásfüggvényt, majd a kapott eredményt differenciáljuk,

így az együttes eloszlásfüggvény és adott valószínűségi sűrűségfüggvény definíciója alapján van

%7BY%7D%28a%29%3DP%20%7B%20%5Cfrac%7BX%7D%7BY%7D%5Cleq%20a%20%7D
gif
gif
gif
gif

így ezt az eloszlásfüggvényt a-hoz képest differenciálva a as sűrűségfüggvényt kapjuk

gif

ahol a nulla és végtelen között van.

Független valószínűségi változók és közös eloszlás

     Ban,-ben közös elosztás két X és Y valószínűségi változó függetlennek mondható, ha

gif

ahol A és B a valós halmazok. Ahogy már az események kapcsán is tudjuk, hogy a független valószínűségi változók azok a valószínűségi változók, amelyek eseményei függetlenek.

Így a és b bármely értékére

gif

és az X és Y független valószínűségi változók együttes eloszlási vagy kumulatív eloszlásfüggvénye lesz

gif

ha figyelembe vesszük az X és Y diszkrét valószínűségi változókat, akkor

gif

óta

gif
gif
gif
gif

hasonlóan a folytonos valószínűségi változóhoz is

gif

Példa független közös elosztásra

  1. Ha egy adott napra a kórházban a bevitt betegek mérgező eloszlásúak λ paraméterrel, a férfi beteg valószínűsége p és a nőbeteg valószínűsége (1-p), akkor mutassa meg, hogy a kórházba bevitt férfi betegek és nőbetegek száma független Poisson valószínűségi változók λp és λ(1-p) paraméterekkel?

Tekintsük a férfi és nőbetegek számát X és Y valószínűségi változóval akkor

gif
gif

mivel X+Y a kórházba bevitt betegek teljes száma, amely így van elosztva

gif

mivel a férfi beteg valószínűsége p, a nőbeteg pedig (1-p), így a teljes fix számból pontosan a férfi vagy a nő binomiális valószínűséget mutat

gif

e két érték felhasználásával a fenti együttes valószínűséget kapjuk, mint

gif
gif
gif

így a férfi és női betegek valószínűsége az lesz

gif
gif

és a

gif

ami azt mutatja, hogy mindkettő Poisson valószínűségi változó λp és λ(1-p) paraméterekkel.

2. határozza meg annak valószínűségét, hogy egy személynek több mint tíz percet kell várnia a megbeszélésen egy ügyfélre, mintha minden ügyfél és az adott személy 12 és 1 óra között érkezne meg egységes elosztással.

Tekintsük az X és Y valószínűségi változókat az adott személy és ügyfél számára 12 és 1 közötti idő jelölésére, így X és Y valószínűsége együtt lesz

image 61
gif
gif
gif
gif

számít

gif

ahol X,Y és Z egyenletes valószínűségi változó a (0,1) intervallumban.

itt lesz a valószínűség

gif

az egyenletes eloszláshoz a sűrűségfüggvényt

gif

az adott tartományhoz úgy

gif
gif
gif
gif

FÜGGETLEN VÉLETLENSZERŰ VÁLTOZÓK ÖSSZEGE KÖZÖS FORGALMAZÁSSAL

  Az X és Y független változók összege a valószínűségi sűrűségfüggvényekkel, mint folytonos valószínűségi változókkal, a kumulatív eloszlásfüggvény

gif
gif
gif
gif

differenciálva ezt a kumulatív eloszlásfüggvényt ezeknek a független összegeknek a valószínűségi sűrűségfüggvényére

latex%5Dfty%7D%20F %7BX%7D%20%28a y%29%20f %7BY%7D%28y%29dy
gif
gif

e két eredményt követve néhány folytonos valószínűségi változót és azok összegét független változóként fogjuk látni

független egyenletes valószínűségi változók összege

   az Véletlen változók X és Y egyenletesen elosztva a (0,1) intervallumban mindkét független változó valószínűségi sűrűségfüggvénye

gif

tehát a rendelkezésünkre álló X+Y összegre

gif

bármely érték esetén a nulla és egy között van

gif

ha korlátozzuk az a-t egy és kettő közé, akkor az lesz

gif

ez adja a háromszög alakú sűrűségfüggvényt

gif

ha általánosítjuk az n független egyenletes valószínűségi változót 1-től n-ig, akkor azok eloszlásfüggvényét

matematikai indukcióval lesz

gif

független gamma valószínűségi változók összege

    Ha van két független gamma valószínűségi változónk a szokásos sűrűségfüggvénnyel

gif

majd követve a sűrűséget a független gamma valószínűségi változók összegére

gif
gif
gif
gif
gif

ez mutatja a sűrűségfüggvényt a független gamma valószínűségi változók összegére

független exponenciális valószínűségi változók összege

    A gamma valószínűségi változóhoz hasonlóan a független exponenciális valószínűségi változók összegeként a sűrűségfüggvényt és az eloszlásfüggvényt is megkaphatjuk a gamma valószínűségi változók értékeinek specifikus hozzárendelésével.

Független normál valószínűségi változó összege | független Normál eloszlás összege

                Ha n számú független normál valószínűségi változónk van Xi , akkor i=1,2,3,4….n μi ill. szórások σ2i akkor azok összege szintén normális valószínűségi változó, amelynek átlaga Σμi és varianciái Σσ2i

    Először megmutatjuk a normális eloszlású független összeget két normál X valószínűségi változóhoz 0 és σ paraméterekkel.2 és Y a 0 és 1 paraméterekkel, keressük meg az X+Y összeg valószínűségi sűrűségfüggvényét

gif

az együttes eloszlási sűrűségfüggvényben

gif

normál eloszlású sűrűségfüggvény definíciója segítségével

gif
gif

így a sűrűségfüggvény az lesz

gif
gif
gif

ami nem más, mint a sűrűségfüggvénye normális eloszlás 0 átlaggal és szórással (1+σ2) ugyanazt az érvet követve elmondhatjuk

em%3E%7B2%7D

szokásos átlaggal és eltérésekkel. Ha vesszük a bővítést, és megfigyeljük, hogy az összeg normálisan eloszlik úgy, hogy az átlag a megfelelő átlagok összege, a szórása pedig a szórások összege,

így ugyanígy az n-edik összeg lesz a normális eloszlású valószínűségi változó, amelynek átlaga Σμi  és eltérések Σσ2i

Független Poisson valószínűségi változók összegei

Ha két független Poisson valószínűségi változónk van X és Y λ paraméterekkel1 és λ2 akkor az X+Y összegük is Poisson valószínűségi változó vagy Poisson-eloszlás

mivel X és Y Poisson eloszlású és összegüket felírhatjuk diszjunkt események uniójaként úgy

gif
gif
em%3E%7B2%7D%5E%7Bn k%7D%7D%7B%28n k%29%21%7D

független valószínűségi változók valószínűségének felhasználásával

em%3E%7B2%7D%5E%7Bn k%7D%7D%7Bk%21%28n k%29%21%7D
em%3E%7B2%7D%5E%7Bn k%7D
em%3E%7B2%7D%29%5E%7Bn%7D

így megkapjuk az X+Y összeget is Poisson eloszlása ​​λ átlaggal1 + λ2

Független binomiális valószínűségi változók összegei

                Ha van két független X és Y binomiális valószínűségi változónk (n,p) és (m,p) paraméterekkel, akkor azok X+Y összege is binomiális valószínűségi változó vagy binomiális eloszlású (n+m, p) paraméterrel.

használjuk az összeg valószínűségét a binomiális as definíciójával

gif
gif
gif
gif
gif

ami ad

gif

így az X+Y összeg is binomiális eloszlású az (n+m, p) paraméterrel.

Következtetés:

A közös eloszlású valószínűségi változók fogalma, amely az adott helyzetben egynél több változóra összehasonlítva adja meg az eloszlást, ezen kívül a független valószínűségi változó alapfogalmát közös eloszlás segítségével és a független változók összegét néhány eloszlási példával megadjuk. paramétereiket, ha további olvasásra van szüksége, olvassa el az említett könyveket. A matematikával kapcsolatos további bejegyzésekért kérjük kattintson ide.

https://en.wikipedia.org

Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól

Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai

ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba