Közösen elosztott véletlen változók: 11 fontos tény

Tartalom

Közös eloszlású valószínűségi változók

     Az együttes eloszlású valószínűségi változók azok a valószínűségi változók, amelyek valószínűsége több, ezekre a valószínűségi változókra közösen oszlik el, vagyis olyan kísérletekben, ahol a közös valószínűségű eltérő eredményt közösen elosztott valószínűségi változónak vagy közös eloszlásnak nevezik, ilyen típusú helyzet fordul elő. gyakran az esélyek problémáinak kezelése közben.

Közös elosztási funkció | Együttes kumulatív valószínűségi eloszlási függvény | közös valószínűségi tömegfüggvény | ízületi valószínűségi sűrűségfüggvény

    Az X és Y valószínűségi változók eloszlásfüggvénye vagy együttes kumulatív eloszlásfüggvénye a

ahol az együttes valószínűség természete az X és Y valószínűségi változók diszkrét vagy folytonos természetétől függ, és az X és Y egyedi eloszlásfüggvényei ennek a közös kumulatív eloszlásfüggvénynek a használatával kaphatók meg.

hasonlóan Y-hez mint

X és Y ezen egyedi eloszlásfüggvényeit határeloszlási függvényeknek nevezzük, amikor közös eloszlásról van szó. Ezek az eloszlások nagyon hasznosak a hasonló valószínűségek meghatározásában

és ezen kívül az X és Y valószínűségi változók együttes valószínűségi tömegfüggvényét a következőképpen definiáljuk

az egyedi valószínűségi tömeg- vagy sűrűségfüggvények X-re és Y-re olyan együttes valószínűségi tömeg- vagy sűrűségfüggvény segítségével kaphatók meg, mint pl. diszkrét valószínűségi változók as

folytonos valószínűségi változó szempontjából pedig az együttes valószínűségi sűrűségfüggvény lesz

ahol C bármely kétdimenziós sík, és a folytonos valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvénye a következő lesz

ebből az eloszlásfüggvényből a valószínűségi sűrűségfüggvényt differenciálással kaphatjuk meg

és a határvalószínűség az együttes valószínűségi sűrűségfüggvényből

as

és a

az X és Y valószínűségi változók tekintetében

Példák a közös elosztásra

  1. Az X és Y valószínűségi változók együttes valószínűségei, amelyek a matematikai és statisztikai könyvek számát jelentik egy olyan könyvkészletből, amely 3 matematikai, 4 statisztikai és 5 fizikakönyvet tartalmaz, ha 3 könyvet véletlenszerűen veszünk
  • Találja meg az ízületet valószínűségi tömegfüggvény a 15% gyermektelen, 20% 1 gyermekes, 35% 2 gyermekes és 30% 3 gyermekes családok mintájára, ha ebből a mintából véletlenszerűen választjuk gyermeknek a családot fiúnak vagy lánynak?

Az együttes valószínűséget az as definíció használatával fogjuk megtalálni

Közös eloszlású valószínűségi változók
Közös eloszlású valószínűségi változók : Példa

és ezt táblázatos formában a következőképpen szemléltethetjük

Közös eloszlású valószínűségi változók
Közös eloszlású valószínűségi változók : Példa közös eloszlásra
  • Számítsa ki a valószínűségeket

ha az X és Y valószínűségi változókra az együttes valószínűségi sűrűségfüggvényt adjuk meg

folytonos valószínűségi változó együttes valószínűségének meghatározásával

és az adott ízületi sűrűségfüggvény az első valószínűség az adott tartományra lesz

hasonló módon a valószínűség

és végül

  • Határozzuk meg az X és Y valószínűségi változók X/Y hányadosának együttes sűrűségfüggvényét, ha az együttes valószínűségi sűrűségfüggvényük

Az X/Y függvény valószínűségi sűrűségfüggvényének meghatározásához először keressük meg az együttes eloszlásfüggvényt, majd a kapott eredményt differenciáljuk,

így az együttes eloszlásfüggvény és adott valószínűségi sűrűségfüggvény definíciója alapján van

így ezt az eloszlásfüggvényt a-hoz képest differenciálva a as sűrűségfüggvényt kapjuk

ahol a nulla és végtelen között van.

Független valószínűségi változók és közös eloszlás

     Ban,-ben közös elosztás két X és Y valószínűségi változó függetlennek mondható, ha

ahol A és B a valós halmazok. Ahogy már az események kapcsán is tudjuk, hogy a független valószínűségi változók azok a valószínűségi változók, amelyek eseményei függetlenek.

Így a és b bármely értékére

és az X és Y független valószínűségi változók együttes eloszlási vagy kumulatív eloszlásfüggvénye lesz

ha figyelembe vesszük az X és Y diszkrét valószínűségi változókat, akkor

óta

hasonlóan a folytonos valószínűségi változóhoz is

Példa független közös elosztásra

  1. Ha egy adott napra a kórházban a bevitt betegek mérgező eloszlásúak λ paraméterrel, a férfi beteg valószínűsége p és a nőbeteg valószínűsége (1-p), akkor mutassa meg, hogy a kórházba bevitt férfi betegek és nőbetegek száma független Poisson valószínűségi változók λp és λ(1-p) paraméterekkel?

Tekintsük a férfi és nőbetegek számát X és Y valószínűségi változóval akkor

mivel X+Y a kórházba bevitt betegek teljes száma, amely így van elosztva

mivel a férfi beteg valószínűsége p, a nőbeteg pedig (1-p), így a teljes fix számból pontosan a férfi vagy a nő binomiális valószínűséget mutat

e két érték felhasználásával a fenti együttes valószínűséget kapjuk, mint

így a férfi és női betegek valószínűsége az lesz

és a

amely azt mutatja, hogy mindkettő Poisson valószínűségi változó λp és λ(1-p) paraméterekkel.

2. határozza meg annak valószínűségét, hogy egy személynek több mint tíz percet kell várnia a megbeszélésen egy ügyfélre, mintha minden ügyfél és az adott személy 12 és 1 óra között érkezne meg egységes elosztással.

Tekintsük az X és Y valószínűségi változókat az adott személy és ügyfél számára 12 és 1 közötti idő jelölésére, így X és Y valószínűsége együtt lesz

számít

ahol X,Y és Z egyenletes valószínűségi változó a (0,1) intervallumban.

itt lesz a valószínűség

az egyenletes eloszláshoz a sűrűségfüggvényt

az adott tartományhoz úgy

FÜGGETLEN VÉLETLENSZERŰ VÁLTOZÓK ÖSSZEGE KÖZÖS FORGALMAZÁSSAL

  Az X és Y független változók összege a valószínűségi sűrűségfüggvényekkel, mint folytonos valószínűségi változókkal, a kumulatív eloszlásfüggvény

differenciálva ezt a kumulatív eloszlásfüggvényt ezeknek a független összegeknek a valószínűségi sűrűségfüggvényére

e két eredményt követve néhány folytonos valószínűségi változót és azok összegét független változóként fogjuk látni

független egyenletes valószínűségi változók összege

   az Véletlen változók X és Y egyenletesen elosztva a (0,1) intervallumban mindkét független változó valószínűségi sűrűségfüggvénye

tehát a rendelkezésünkre álló X+Y összegre

bármely érték esetén a nulla és egy között van

ha korlátozzuk az a-t egy és kettő közé, akkor az lesz

ez adja a háromszög alakú sűrűségfüggvényt

ha általánosítjuk az n független egyenletes valószínűségi változót 1-től n-ig, akkor azok eloszlásfüggvényét

matematikai indukcióval lesz

független gamma valószínűségi változók összege

    Ha van két független gamma valószínűségi változónk a szokásos sűrűségfüggvénnyel

majd követve a sűrűséget a független gamma valószínűségi változók összegére

ez mutatja a sűrűségfüggvényt a független gamma valószínűségi változók összegére

független exponenciális valószínűségi változók összege

    A gamma valószínűségi változóhoz hasonlóan a független exponenciális valószínűségi változók összegeként a sűrűségfüggvényt és az eloszlásfüggvényt is megkaphatjuk a gamma valószínűségi változók értékeinek specifikus hozzárendelésével.

Független normál valószínűségi változó összege | független Normál eloszlás összege

                Ha n számú független normál valószínűségi változónk van Xi , akkor i=1,2,3,4….n μi ill. szórások σ2i akkor azok összege szintén normális valószínűségi változó, amelynek átlaga Σμi és varianciái Σσ2i

    Először megmutatjuk a normális eloszlású független összeget két normál X valószínűségi változóhoz 0 és σ paraméterekkel.2 és Y a 0 és 1 paraméterekkel, keressük meg az X+Y összeg valószínűségi sűrűségfüggvényét

az együttes eloszlási sűrűségfüggvényben

normál eloszlású sűrűségfüggvény definíciója segítségével

így a sűrűségfüggvény az lesz

ami nem más, mint a sűrűségfüggvénye normális eloszlás 0 átlaggal és szórással (1+σ2) ugyanazt az érvet követve elmondhatjuk

szokásos átlaggal és eltérésekkel. Ha vesszük a bővítést, és megfigyeljük, hogy az összeg normálisan eloszlik úgy, hogy az átlag a megfelelő átlagok összege, a szórása pedig a szórások összege,

így ugyanígy az n-edik összeg lesz a normális eloszlású valószínűségi változó, amelynek átlaga Σμi  és eltérések Σσ2i

Független Poisson valószínűségi változók összegei

Ha két független Poisson valószínűségi változónk van X és Y λ paraméterekkel1 és λ2 akkor az X+Y összegük is Poisson valószínűségi változó vagy Poisson-eloszlás

mivel X és Y Poisson eloszlású és összegüket felírhatjuk diszjunkt események uniójaként úgy

független valószínűségi változók valószínűségének felhasználásával

így megkapjuk az X+Y összeget is Poisson eloszlása ​​λ átlaggal1 + λ2

Független binomiális valószínűségi változók összegei

                Ha van két független X és Y binomiális valószínűségi változónk (n,p) és (m,p) paraméterekkel, akkor azok X+Y összege is binomiális valószínűségi változó vagy binomiális eloszlású (n+m, p) paraméterrel.

használjuk az összeg valószínűségét a binomiális as definíciójával

ami ad

így az X+Y összeg is binomiális eloszlású az (n+m, p) paraméterrel.

Következtetés:

A közös eloszlású valószínűségi változók fogalma, amely az adott helyzetben egynél több változóra összehasonlítva adja meg az eloszlást, ezen kívül a független valószínűségi változó alapfogalmát közös eloszlás segítségével és a független változók összegét néhány eloszlási példával megadjuk. paramétereiket, ha további olvasásra van szüksége, olvassa el az említett könyveket. A matematikával kapcsolatos további bejegyzésekért kérjük kattintson ide.

https://en.wikipedia.org

Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól

Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai

ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba

Lapozzon a lap tetejére