Tartalom
- Közös eloszlású valószínűségi változók
- Közös elosztási funkció | Együttes kumulatív valószínűségi eloszlási függvény | közös valószínűségi tömegfüggvény | ízületi valószínűségi sűrűségfüggvény
- Példák a közös elosztásra
- Független valószínűségi változók és közös eloszlás
- Példa független közös elosztásra
- FÜGGETLEN VÉLETLENSZERŰ VÁLTOZÓK ÖSSZEGE KÖZÖS FORGALMAZÁSSAL
- független exponenciális valószínűségi változók összege
- független gamma valószínűségi változók összege
- független exponenciális valószínűségi változók összege
- Független normál valószínűségi változó összege | független Normál eloszlás összege
- Független Poisson valószínűségi változók összegei
- Független binomiális valószínűségi változók összegei
Közös eloszlású valószínűségi változók
Az együttes eloszlású valószínűségi változók azok a valószínűségi változók, amelyek valószínűsége több, ezekre a valószínűségi változókra közösen oszlik el, vagyis olyan kísérletekben, ahol a közös valószínűségű eltérő eredményt közösen elosztott valószínűségi változónak vagy közös eloszlásnak nevezik, ilyen típusú helyzet fordul elő. gyakran az esélyek problémáinak kezelése közben.
Közös elosztási funkció | Együttes kumulatív valószínűségi eloszlási függvény | közös valószínűségi tömegfüggvény | ízületi valószínűségi sűrűségfüggvény
Az X és Y valószínűségi változók eloszlásfüggvénye vagy együttes kumulatív eloszlásfüggvénye a
ahol az együttes valószínűség természete az X és Y valószínűségi változók diszkrét vagy folytonos természetétől függ, és az X és Y egyedi eloszlásfüggvényei ennek a közös kumulatív eloszlásfüggvénynek a használatával kaphatók meg.
hasonlóan Y-hez mint
X és Y ezen egyedi eloszlásfüggvényeit határeloszlási függvényeknek nevezzük, amikor közös eloszlásról van szó. Ezek az eloszlások nagyon hasznosak a hasonló valószínűségek meghatározásában
és ezen kívül az X és Y valószínűségi változók együttes valószínűségi tömegfüggvényét a következőképpen definiáljuk
az egyedi valószínűségi tömeg- vagy sűrűségfüggvények X-re és Y-re olyan együttes valószínűségi tömeg- vagy sűrűségfüggvény segítségével kaphatók meg, mint pl. diszkrét valószínűségi változók as
és a tekintetben folytonos valószínűségi változó az együttes valószínűségi sűrűségfüggvény lesz
ahol C bármely kétdimenziós sík, és a folytonos valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvénye a következő lesz
ebből az eloszlásfüggvényből a valószínűségi sűrűségfüggvényt differenciálással kaphatjuk meg
és a határvalószínűség az együttes valószínűségi sűrűségfüggvényből
as
és a
az X és Y valószínűségi változók tekintetében
Példák a közös elosztásra
- Az X és Y valószínűségi változók együttes valószínűségei, amelyek a matematikai és statisztikai könyvek számát jelentik egy olyan könyvkészletből, amely 3 matematikai, 4 statisztikai és 5 fizikakönyvet tartalmaz, ha 3 könyvet véletlenszerűen veszünk
- Találja meg az ízületet valószínűségi tömegfüggvény a 15% gyermektelen, 20% 1 gyermekes, 35% 2 gyermekes és 30% 3 gyermekes családok mintájára, ha ebből a mintából véletlenszerűen választjuk gyermeknek a családot fiúnak vagy lánynak?
Az együttes valószínűséget az as definíció használatával fogjuk megtalálni
és ezt táblázatos formában a következőképpen szemléltethetjük
- Számítsa ki a valószínűségeket
ha az X és Y valószínűségi változókra az együttes valószínűségi sűrűségfüggvényt adjuk meg
folytonos valószínűségi változó együttes valószínűségének meghatározásával
és az adott ízületi sűrűségfüggvény az első valószínűség az adott tartományra lesz
hasonló módon a valószínűség
és végül
- Határozzuk meg az X és Y valószínűségi változók X/Y hányadosának együttes sűrűségfüggvényét, ha az együttes valószínűségi sűrűségfüggvényük
Az X/Y függvény valószínűségi sűrűségfüggvényének meghatározásához először keressük meg az együttes eloszlásfüggvényt, majd a kapott eredményt differenciáljuk,
így az együttes eloszlásfüggvény és adott valószínűségi sűrűségfüggvény definíciója alapján van
így ezt az eloszlásfüggvényt a-hoz képest differenciálva a as sűrűségfüggvényt kapjuk
ahol a nulla és végtelen között van.
Független valószínűségi változók és közös eloszlás
A közös elosztás két X és Y valószínűségi változó függetlennek mondható, ha
ahol A és B a valós halmazok. Ahogy már az események kapcsán is tudjuk, hogy a független valószínűségi változók azok a valószínűségi változók, amelyek eseményei függetlenek.
Így a és b bármely értékére
és az X és Y független valószínűségi változók együttes eloszlási vagy kumulatív eloszlásfüggvénye lesz
ha figyelembe vesszük az X és Y diszkrét valószínűségi változókat, akkor
óta
hasonlóan a folytonos valószínűségi változóhoz is
Példa független közös elosztásra
- Ha egy adott napra a kórházban a bevitt betegek mérgező eloszlásúak λ paraméterrel, a férfi beteg valószínűsége p és a nőbeteg valószínűsége (1-p), akkor mutassa meg, hogy a kórházba bevitt férfi betegek és nőbetegek száma független Poisson valószínűségi változók λp és λ(1-p) paraméterekkel?
Tekintsük a férfi és nőbetegek számát X és Y valószínűségi változóval akkor
mivel X+Y a kórházba bevitt betegek teljes száma, amely így van elosztva
mivel a férfi beteg valószínűsége p, a nőbeteg pedig (1-p), így a teljes fix számból pontosan a férfi vagy a nő binomiális valószínűséget mutat
e két érték felhasználásával a fenti együttes valószínűséget kapjuk, mint
így a férfi és női betegek valószínűsége az lesz
és a
ami azt mutatja, hogy mindkettő Poisson valószínűségi változó λp és λ(1-p) paraméterekkel.
2. határozza meg annak valószínűségét, hogy egy személynek több mint tíz percet kell várnia a megbeszélésen egy ügyfélre, mintha minden ügyfél és az adott személy 12 és 1 óra között érkezne meg egységes elosztással.
Tekintsük az X és Y valószínűségi változókat az adott személy és ügyfél számára 12 és 1 közötti idő jelölésére, így X és Y valószínűsége együtt lesz
számít
ahol X,Y és Z egyenletes valószínűségi változó a (0,1) intervallumban.
itt lesz a valószínűség
az egyenletes eloszláshoz a sűrűségfüggvényt
az adott tartományhoz úgy
FÜGGETLEN VÉLETLENSZERŰ VÁLTOZÓK ÖSSZEGE KÖZÖS FORGALMAZÁSSAL
Az X és Y független változók összege a valószínűségi sűrűségfüggvényekkel, mint folytonos valószínűségi változókkal, a kumulatív eloszlásfüggvény
differenciálva ezt a kumulatív eloszlásfüggvényt ezeknek a független összegeknek a valószínűségi sűrűségfüggvényére
e két eredményt követve néhány folytonos valószínűségi változót és azok összegét független változóként fogjuk látni
független egyenletes valószínűségi változók összege
az Véletlen változók X és Y egyenletesen elosztva a (0,1) intervallumban mindkét független változó valószínűségi sűrűségfüggvénye
tehát a rendelkezésünkre álló X+Y összegre
bármely érték esetén a nulla és egy között van
ha korlátozzuk az a-t egy és kettő közé, akkor az lesz
ez adja a háromszög alakú sűrűségfüggvényt
ha általánosítjuk az n független egyenletes valószínűségi változót 1-től n-ig, akkor azok eloszlásfüggvényét
matematikai indukcióval lesz
független gamma valószínűségi változók összege
Ha van két független gamma valószínűségi változónk a szokásos sűrűségfüggvénnyel
majd követve a sűrűséget a független gamma valószínűségi változók összegére
ez mutatja a sűrűségfüggvényt a független gamma valószínűségi változók összegére
független exponenciális valószínűségi változók összege
A gamma valószínűségi változóhoz hasonlóan a független exponenciális valószínűségi változók összegeként a sűrűségfüggvényt és az eloszlásfüggvényt is megkaphatjuk a gamma valószínűségi változók értékeinek specifikus hozzárendelésével.
Független normál valószínűségi változó összege | független Normál eloszlás összege
Ha n számú független normál valószínűségi változónk van Xi , akkor i=1,2,3,4….n μi ill. szórások σ2i akkor azok összege szintén normális valószínűségi változó, amelynek átlaga Σμi és varianciái Σσ2i
Először megmutatjuk a normális eloszlású független összeget két normál X valószínűségi változóhoz 0 és σ paraméterekkel.2 és Y a 0 és 1 paraméterekkel, keressük meg az X+Y összeg valószínűségi sűrűségfüggvényét
az együttes eloszlási sűrűségfüggvényben
normál eloszlású sűrűségfüggvény definíciója segítségével
így a sűrűségfüggvény az lesz
ami nem más, mint a sűrűségfüggvénye normális eloszlás 0 átlaggal és szórással (1+σ2) ugyanazt az érvet követve elmondhatjuk
szokásos átlaggal és eltérésekkel. Ha vesszük a bővítést, és megfigyeljük, hogy az összeg normálisan eloszlik úgy, hogy az átlag a megfelelő átlagok összege, a szórása pedig a szórások összege,
így ugyanígy az n-edik összeg lesz a normális eloszlású valószínűségi változó, amelynek átlaga Σμi és eltérések Σσ2i
Független Poisson valószínűségi változók összegei
Ha két független Poisson valószínűségi változónk van X és Y λ paraméterekkel1 és λ2 akkor az X+Y összegük is Poisson valószínűségi változó vagy Poisson-eloszlás
mivel X és Y Poisson eloszlású és összegüket felírhatjuk diszjunkt események uniójaként úgy
független valószínűségi változók valószínűségének felhasználásával
így megkapjuk az X+Y összeget is Poisson eloszlása λ átlaggal1 + λ2
Független binomiális valószínűségi változók összegei
Ha van két független X és Y binomiális valószínűségi változónk (n,p) és (m,p) paraméterekkel, akkor azok X+Y összege is binomiális valószínűségi változó vagy binomiális eloszlású (n+m, p) paraméterrel.
használjuk az összeg valószínűségét a binomiális as definíciójával
ami ad
így az X+Y összeg is binomiális eloszlású az (n+m, p) paraméterrel.
Következtetés:
A közös eloszlású valószínűségi változók fogalma, amely az adott helyzetben egynél több változóra összehasonlítva adja meg az eloszlást, ezen kívül a független valószínűségi változó alapfogalmát közös eloszlás segítségével és a független változók összegét néhány eloszlási példával megadjuk. paramétereiket, ha további olvasásra van szüksége, olvassa el az említett könyveket. A matematikával kapcsolatos további bejegyzésekért kérjük kattintson ide.
Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól
Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai
ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba
DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Elvégeztem a Ph.D. matematikából, és matematikai adjunktusként dolgozik. 12 éves oktatói tapasztalattal. Hatalmas tudás birtokában a tiszta matematikában, pontosan az algebrában. Rendelkezik a problématervezés és -megoldás óriási képességével. Képes motiválni a jelölteket teljesítményük javítására.
Szeretek hozzájárulni a Lambdageeks-hez, hogy a matematikát egyszerűvé, érdekessé és magától értetődővé tegye a kezdők és a szakértők számára.