2D koordináta geometria: 11 fontos tény

Helyszín a 2D koordináta-geometriában

A locus latin szó. A „Hely” vagy „Hely” szóból származik. A locus többes száma a Loci.

A lókusz meghatározása:

A geometriában a „hely” olyan pontok halmaza, amelyek egy vagy több meghatározott feltételt kielégítenek egy alakzatra vagy alakzatra vonatkozóan. A modern matematikában azt a helyet vagy útvonalat, amelyen egy pont az adott geometriai feltételeknek megfelelő síkon mozog, pont helyének nevezzük.

A lókuszt a vonalhoz, a szakaszhoz és a szabályos vagy szabálytalan ívelt alakzatokhoz definiálják, kivéve azokat az alakzatokat, amelyekben csúcs vagy szögek találhatók a geometriában. https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

Példák a Locusról:

vonalak, körök, ellipszisek, parabolák, hiperbolák stb. mindezeket a geometriai alakzatokat a pontok helye határozza meg.

A lokusz egyenlete:

A geometriai tulajdonságok vagy feltételek algebrai formáját, amelyeket a lókusz összes pontjának koordinátái teljesítenek, e pontok helyének egyenleteként ismerjük.

A lokuszegyenlet megszerzésének módja:

Egy síkban lévő mozgó pont helyének egyenletének megtalálásához kövesse az alábbiakban leírt eljárást

(i) Először tegyük fel, hogy egy síkon egy mozgó pont koordinátái (h,k) legyenek.

(ii) Másodszor, a megadott geometriai feltételekből vagy tulajdonságokból származtassanak egy algebrai egyenletet h-val és k-vel.

(iii) Harmadszor, a fenti egyenletben cserélje ki h-t és k-t x-re, illetve y-ra. Most ezt az egyenletet a sík mozgópontja helyének egyenletének nevezzük. (x,y) a mozgó pont aktuális koordinátái, és a lókusz egyenletét mindig x és y, azaz aktuális koordináták formájában kell levezetni.

Íme néhány példa, hogy egyértelművé tegyük a lókuszról alkotott elképzelést.

4+ különböző típusú megoldott probléma a Locuson:

1 probléma: If P lehet bármely pont az XY-síkon, amely egyenlő távolságra van két adott ponttól A (3,2) és a B(2,-1) ugyanazon a síkon, majd keresse meg a P pont lokuszát és egyenletét a gráf segítségével.

Megoldás: 

locus
Grafikus ábrázolás

Tegyük fel, hogy a helyén lévő bármely pont koordinátái P az XY-síkon vannak (h, k).

Mivel P egyenlő távolságra van A-tól és B-től, írhatunk

P távolsága A-tól = P távolsága B-től

Vagy |PA|=|PB|

Vagy, (h2 -6h+9+k2 -4k+4) = (h2 -4h+4+k2 +2k+1)——– négyzetet véve mindkét oldalra.

Vagy h2 -6h+13+k2 -4k -h2+4h-5-k2 -2k = 0

Vagy -2h -6k+8 = 0

Vagy h+3k-4 = 0

Vagy h+3k = 4 ——– (1)

Ez a h és k elsőfokú egyenlete.

Ha h és k helyére x és y lép, akkor az (1) egyenlet az x és y elsőfokú egyenlete lesz x + 3y = 4 alakban, amely egy egyenest jelöl.

Ezért a P(h, k) pont helye az XY-síkon egy egyenes, és a hely egyenlete x + 3y = 4 . (Válasz.)


2 probléma: Ha egy pont R úgy mozog az XY-síkon, hogy RA: RB = 3:2 ahol a pontok koordinátái A és a B faliórái (-5,3) és a (2,4) rendre ugyanazon a síkon, majd keressük meg az R pont helyét.

Milyen típusú görbét jelez az R helyének egyenlete?

Megoldás: Tegyük fel, hogy az adott pont helyén lévő bármely pont koordinátái R az XY-síkon legyen (m, n).

Asper adott állapotban RA: RB = 3:2,

nekünk van,

(R távolsága A-tól) / (R távolsága B-től) = 3/2

Vagy, (m2 +10m+34+n2 -6n) / (m2 -4m+n2 -8n+20) =9/4 ———– négyzetet véve mindkét oldalra.

Vagy 4 (m2 +10m+34+n2 -6n) = 9(m2 -4m+n2 -8n+20)

Vagy 4 m2 +40m+136+4n2 -24n = 9m2 -36m+9n2 -72n+180)

Vagy 4 m2 +40m+136+4n2 -24n – 9m2 +36m-9n2 +72n-180 = 0

Vagy -5 m2 +76m-5n2+48n-44 = 0

Vagy 5 (m2+n2)-76m+48n+44 = 0 ———-(1)

Ez m és n másodfokú egyenlete.

Most, ha m és n helyére x és y, az (1) egyenlet lesz x és y másodfokú egyenlete 5(x) alakban2+y2)-76x+48y+44 = 0 ahol x együtthatói2 és y2 azonosak és xy együtthatója nulla. Ez az egyenlet egy kört ábrázol.

Ezért az R(m, n) pont helye az XY-síkon egy kör, és a hely egyenlete:

5(x2+y2)-76x+48y+44 = 0 (Válasz.)


3 probléma: A (θ,aCosθ,bSinθ) összes értékének egy P pont koordinátája, amely az XY síkon mozog. Határozzuk meg a P lókusz egyenletét!

Megoldás: Legyen (h, k) bármely pont koordinátája, amely a P helyén fekszik az XY-síkon.

Akkor a kérdés szerint, mondhatjuk

h= a Cosθ

Vagy h/a = Cosθ —————(1)

És k = b Sinθ

Vagy k/b = Sinθ —————(2)

Most az (1) és (2) egyenlet négyzetét véve, majd összeadva megkapjuk az egyenletet

h2/a2 +k2/b2 = Cos2θ + Sin2θ

Vagy h2/a2 +k2/b2 = 1 (mióta Cos2θ + Sin2θ =1 a trigonometriában)

Ezért a P pont helyegyenlete x2/a2 + és2/b2 = 1. (Válasz.)


Probléma 4: Határozzuk meg az XY-síkon mozgó Q pont helyének egyenletét, ha Q koordinátái

ahol u a változó paramétere.

megoldás: Legyenek az adott Q pont lokuszának bármely pontjának koordinátái az XY-síkon haladva (h, k).

Ekkor h = és k =

azaz h(3u+2) = 7u-2 és k(u-1) = 4u+5

azaz (3h-7)u = -2h-2 és (k-4)u = 5+k

azaz u = —————(1)

és u = —————(2)

Most az (1) és (2) egyenletet egyenlővé téve azt kapjuk,

Vagy (-2h-2)(k-4) = (3h-7)(5+k)

Vagy -2hk+8h-2k+8 = 15h+3hk-35-7k

Vagy -2hk+8h-2k-15h-3hk+7k = -35-8

Vagy -5hk-7h+5k = -43

Vagy 5h+7h-5k = 43

Ezért a Q lokusz egyenlete 5xy+7x-5y = 43.


További példák a Locus-on saját válaszokkal a gyakorlathoz:

5. problémák: Ha θ egy változó és u egy állandó, akkor keressük meg a két egyenes metszéspontjának lokuszegyenletét x Cosθ + y Sinθ = u és x Sinθ- y Cosθ = u. (Ans. x2+y2 =2u2 )

6. problémák: Határozzuk meg a tengelyek közötti x Sinθ + y Cosθ = t egyenes szakasz középpontjának lokuszegyenletét! ( Ans. 1/x2+ 1 /y2 =4/t2 )

7. problémák: Ha egy P pont úgy mozog az XY-síkon, hogy a két (2,-1) és (3,4) pont által alkotott háromszög területe. ( Válasz 5x-y=11)


Alapvető példák a „háromszög középpontja” képletekre  a 2D koordináta geometriában

Központ: A háromszög három mediánja mindig egy pontban metszi egymást, amely a háromszög belső területén található, és a mediánt 2:1 arányban osztja el bármely csúcstól a szemközti oldal felezőpontjáig. Ezt a pontot a háromszög súlypontjának nevezzük.   

1. feladat: Határozzuk meg a (-1,0), (0,4) és (5,0) csúcsú háromszög súlypontját!

Megoldás:  Már tudjuk,

                                             If  Fejsze1,y1) B(x2,y2) és a C(x3,y3) legyenek egy háromszög csúcsai és G(x, y) legyen a centrum a háromszög, majd a koordinátái G faliórái

és a

Ezzel a képlettel azt kapjuk, 

(x1,y1) ≌(-1,0) azaz x1= -1, y1=0;

(x2,y2) ≌(0,4) azaz   x2= 0, y2=4 és

(x3,y3) ≌(5,0) azaz   x3= 5, y3=0

(Lásd a képletek táblázatát)

Grafikus ábrázolás

Tehát a G súlypont x-koordinátája,   

azaz

azaz x=4/3

                  és a 

a G súlypont y-koordinátája,  

azaz

azaz y=4/3

Ezért az adott háromszög súlypontjának koordinátái az . (Ans)

A további megválaszolt problémákat az alábbiakban adjuk meg a további gyakorláshoz a fenti 1. feladatban leírt eljárással: -

2. problémák: Határozzuk meg a (-3,-1), (-1,3)) és (1,1) pontokban lévő háromszög súlypontjának koordinátáit!

Válasz. (-1,1)

3. problémák: Mi az (5,2), (10,4) és (6,-1) csúcsú háromszög súlypontjának x-koordinátája?

Válasz.

4. problémák: A háromszög három csúcsa (5,9), (2,15) és (11,12). Keresse meg ennek a háromszögnek a súlypontját.

Válasz. (6,12)


Eredetváltás / Tengelyek fordítása – 2D koordináta geometria

Az Origin eltolása az Origin eltolását jelenti egy új pontra úgy, hogy a tengelyek tájolása változatlan marad, azaz az új tengelyek párhuzamosak maradnak az eredeti tengelyekkel ugyanabban a síkban. Ezzel a tengelyfordítással vagy az origó eltolási eljárással a geometriai alakzat algebrai egyenletével kapcsolatos számos probléma leegyszerűsödik és könnyen megoldható.

Az "Eredeti eltolás" vagy a "Tengelyek fordítása" képlete az alábbiakban található grafikus ábrázolással.

képlet:

Ha O az origó, P(x,y) az XY sík tetszőleges pontja, és O egy másik O′(a,b) pontba van eltolva, amelyhez képest a P pont koordinátái (x) lesznek1,y1) ugyanabban a síkban új X tengelyekkel1Y1  ,Akkor P új koordinátái vannak

x1 = x- a

y1 = y- b

Grafikus ábrázolás a pontosítás kedvéért: Kövesse a grafikonokat

Kevesen oldották meg Problémák az 'Sifting of Origin' képletével kapcsolatban:

Probléma-1: Ha két pont (3,1) és (5,4) van ugyanabban a síkban, és az origót a (3,1) pontba toljuk, miközben az új tengelyek párhuzamosak maradnak az eredeti tengelyekkel, akkor keressük meg a koordinátákat az (5,4) pontot az új origó és tengelyek tekintetében.

Megoldás: Összehasonlítva a fent leírt 'Origin eltolás' képletével, új Origin-t kapunk, O'(a, b) ≌ (3,1) azaz a=3 , b=1 és a szükséges P, (x, y) pontot. ≌ (5,4) azaz x=5, y=4

Ha most (x1,y1) legyen a P(5,4) pont új koordinátái, majd az x képlet szerint1 = xa és y1 =yb,

kapunk, x1 = 5-3 és y1 = 4-1

azaz x1 = 2 és y1 =3

Ezért az (5,4) pont szükséges új koordinátái (2,3) . (Válasz.)

Probléma-2: Az Origin eltolása után egy ugyanazon síkban lévő pontra, és a tengelyek egymással párhuzamosak maradnak, egy pont (5,-4) koordinátái (4,-5) lesznek. Keresse meg az új Origin koordinátáit.

Megoldás: Itt az 'Origin eltolása' vagy 'Tengelyek fordítása' képlet segítségével azt mondhatjuk, hogy a P pont koordinátái a régi és az új origóhoz, illetve tengelyekhez képest (x, y) ≌ (5,-4) azaz x=5, y=-4 és (x1,y1) ≌ (4,-5) azaz  x1= 4, y1= -5

Most meg kell találnunk az új Origin koordinátáit O'(a, b) azaz a=?, b=?

Asper formula,

x1 = x- a

y1 = y- b

azaz a=xx1 és a b=yy1

Vagy a=5-4 és b= -4-(-5)

Vagy a=1 és b= -4+5

Vagy a=1 és b= 1

Ezért O'(1,1) az új Origin, azaz az új Origin koordinátái (1,1). (Válasz.)

Alapvető példák a „pontok kollinearitása (három pont)” képletekre a 2D koordináta-geometriában

1. problémák:  Ellenőrizze, hogy az (1,0), (0,0) és (-1,0) pontok egy vonalban vannak-e vagy sem.

Megoldás:  Már tudjuk,

                                            If  Fejsze1,y1) B(x2,y2) és a C(x3,y3) lehet bármely három kollineáris pont, akkor az általuk alkotott háromszög területe nulla, azaz a háromszög területe az ½[x1 (y2– y3) + x2 (y3– y1) + x3 (y1-y2)] =0

(Lásd a képletek táblázatát)

Ezzel a képlettel azt kapjuk,

(x1,y1) ≌(-1,0) azaz   x1= -1, y1= 0;

(x2,y2) ≌(0,0) azaz   x2= 0, y2= 0;

(x3,y3) ≌(1,0) azaz    x3= 1, y3= 0

Grafikus ábrázolás

Tehát a háromszög területe = |½[x1 (y2-  y3) + x2 (y3-  y1) + x3 (y1-y2)]| azaz.

(LHS) = |½[-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)]|

= |½[(-1)x0 + 0x0 + 1×0]|

= |½[0 + 0 + 0]|

= |½ x 0|

= 0 (RHS)

Ezért az adott pontok által alkotott háromszög területe nulla lesz, ami azt jelenti, hogy ugyanazon az egyenesen fekszenek.

Ezért az adott pontok kollineáris pontok. (Ans)

Az alábbiakban további megválaszolt problémákat adunk meg a további gyakorláshoz a fent leírt eljárással 1. probléma:-

2. problémák: Ellenőrizze, hogy a (-1,-1), (0,0) és (1,1) pontok egy vonalban vannak-e vagy sem.

Válasz. Igen

3. problémák: Lehetséges egy vonalat húzni három ponton (-3,2), (5,-3) és (2,2) keresztül?

Válasz.Nem

4. problémák: Ellenőrizze, hogy az (1,2), (3,2) és (-5,2) vonallal összekapcsolt pontok alkothatnak-e háromszöget a koordinátasíkban.

Válasz. Nem

______________________________

Alapvető példák a „háromszög közepe” képletekre a 2D koordináta geometriában

Incent:Ez a háromszög legnagyobb belső körének középpontja, amely a háromszög belsejébe illeszkedik. Ez egyben a háromszög belső szögeinek három felezőjének a metszéspontja is.

1. problémák: Az oldalakkal rendelkező háromszög csúcsai rendre (-2,0), (0,5) és (6,0). Keresse meg a háromszög középpontját.

Megoldás: Már tudjuk,

If  Fejsze1,y1) B(x2,y2) és a C(x3,y3) legyenek a csúcsok, BC=a, CA=b és AB=c , G'(x,y) legyen a háromszög középpontja,

A koordinátái G′ faliórái

és a         

(Lásd a képletek táblázatát)

A rendelkezésünkre álló képlet szerint,

(x1,y1) ≌(-4,0) azaz  x1= -4, y1=0;

(x2,y2) ≌(0,3) azaz  x2= 0, y2=3;

(x3,y3) ≌(0,0) azaz   x3= 0, y3=0

Nekünk most van,

a= √ [(x2-x1)2+(y2-y1)2 ]

Vagy a= √ [(0+4)2+(3-0)2 ]

Vagy a= √ [(4)2+ (3)2 ]

Vagy a= √ (16+9)

Vagy a= √25

Vagy a = 5 ——————(1)

b=√ [(x1-x3)2+(y1-y3)2 ]

Vagy b= √ [(-4-0)2+(0-0)2 ]

Vagy b= √ [(-4)2+ (0)2 ]

Vagy b= √ (16+0)

Vagy b= √16

Vagy b= 4 ——————–(2)

c= √ [(x3-x2)2+(y3-y2)2 ]

Vagy c= √ [(0-0)2+(0-3)2 ]

Vagy c= √ [(0)2+(-3)2 ]

Vagy c= √ (0+9)

Vagy c= √9

Vagy c= 3 ——————–(3)

és ax1+ bx2 + cx3 = (5 X (-4)) + (4 X 0) + (3 X 6)

= -20+0+18

Vagy ax1+ bx2 + cx3 = -2 ——————-(4)

ay1+ by2+ cy3 = (5 x 0) + (4 x 3) + (3 x 0)

= 0+12+0

Vagy ay1+ által2+ cy3 = 12 ——————–(5)

a+b+c = 5+4+3

Vagy a+b+c = 12 ——————(6)

A fenti egyenletek felhasználásával (1), (2), (3), (4), (5) és a (6) értékét tudjuk kiszámítani x és a y ból ből

Vagy x = -2/12

Vagy x = -1/6

és a

Vagy y = 12/12

Vagy y = 1

Ezért az adott háromszög középpontjának szükséges koordinátái: (-1/6 , 1). (Válasz.)

A további megválaszolt problémákat az alábbiakban adjuk meg a további gyakorláshoz a fenti 1. feladatban leírt eljárással: -

2. problémák: Határozzuk meg a (-3,-1), (-1,3)) és (1,1) pontokban lévő háromszög középpontjának koordinátáit!

3. problémák: Mekkora a (0,2), (0,0) és (0,-1) csúcsú háromszög középpontjának x-koordinátája?

4. problémák: A háromszög három csúcsa (1,1), (2,2) és (3,3). Keresse meg ennek a háromszögnek a középpontját.


Lapozzon a lap tetejére