Matematikai elvárás és valószínűségi változó
A matematikai elvárás nagyon fontos szerepet játszik a valószínűségszámításban, a matematikai elvárás alapvető definícióját és alapvető tulajdonságait már az előző cikkekben tárgyaltuk, most a különböző eloszlások és eloszlástípusok tárgyalása után a következő cikkben megismerkedünk még néhány dologgal. a matematikai elvárás fejlett tulajdonságai.
A valószínűségi változók összegének elvárása | Valószínűségi változók függvényének elvárása | Együttes valószínűségi eloszlás elvárása
Tudjuk, hogy a diszkrét természetű valószínűségi változó matematikai elvárása az
a folyamatosnak pedig az
most az X és Y valószínűségi változóra, ha diszkrét, akkor az illesztéssel valószínűségi tömegfüggvény p(x,y)
az X és Y valószínűségi változó függvényének elvárása lesz
és ha folytonos, akkor az f(x, y) együttes valószínűségi sűrűségfüggvénnyel az X és Y valószínűségi változó függvényének elvárása
ha g e két valószínűségi változó összeadása folytonos formában a
és ha az X és Y valószínűségi változókra van
X>Y
akkor az elvárás is
Példa
Egy Covid-19 kórház egyenletesen oszlik el az L hosszúságú úton egy X pontban, a betegek számára oxigént szállító jármű az Y helyen, amely szintén egyenletesen oszlik el az úton, Keresse meg a Covid-19 kórház közötti várható távolságot és oxigénszállító jármű, ha függetlenek.
Megoldás:
Az X és Y közötti várható távolság meghatározásához ki kell számítanunk E { | XY | }
Most X és Y együttes sűrűségfüggvénye lesz
óta
ennek követésével megvan
most az integrál értéke lesz
Így a két pont közötti várható távolság a következő lesz
A minta átlagának elvárása
Az X valószínűségi változók sorozatának mintaátlagaként1, X2, ………, Xn F eloszlásfüggvénnyel és mindegyik várható értékével μ
tehát ennek a mintaátlagnak az elvárása az lesz
ami a mintaátlag várható értékét mutatja szintén μ.
Boole-féle egyenlőtlenség
Boole-é egyenlőtlenség a tulajdonságok segítségével érhető el elvárások, tegyük fel, hogy az X valószínűségi változó definiálva:
ahol
itt egyi 's a véletlenszerű események, ez azt jelenti, hogy az X valószínűségi változó az A események számának előfordulását jelentii és egy másik valószínűségi változó Y as
világosan
X>=Y
E[X] >= E[Y]
és így van
ha vesszük az X és Y valószínűségi változó értékét, akkor ez a várakozás az lesz
és a
ezeket a várakozásokat a fenti egyenlőtlenségbe behelyettesítve megkapjuk a Boole-féle egyenlőtlenséget as
Binomiális valószínűségi változó elvárása | Binomiális valószínűségi változó átlaga
Tudjuk, hogy a binomiális valószínűségi változó az a valószínűségi változó, amely a sikeresek számát mutatja n független kísérletben, ahol a siker valószínűsége p, a sikertelenség pedig q=1-p, tehát ha
X=X1 + X2+ …….+ Xn
Hol
itt ezek az Xi azok a Bernoulli és az elvárás az lesz
tehát az X elvárása az lesz
Negatív binomiális valószínűségi változó elvárása | Negatív binomiális valószínűségi változó átlaga
Legyen egy X valószínűségi változó, amely az r siker összegyűjtéséhez szükséges kísérletek számát reprezentálja, akkor egy ilyen valószínűségi változót negatív binomiális valószínűségi változónak nevezünk, és így fejezhető ki.
itt minden Xi jelölje az (i-1). siker után szükséges kísérletek számát az i sikerek összességének eléréséhez.
Mivel ezek mindegyike Xi reprezentálják a geometriai valószínűségi változót, és tudjuk, hogy a geometriai valószínűségi változóra vonatkozó elvárás az
so
ami az várakozás negatív binomiális valószínűségi változóból.
Hipergeometrikus valószínűségi változó elvárása | A hipergeometrikus valószínűségi változó átlaga
A hipergeometriai valószínűségi változó várható értékét vagy átlagát egy egyszerű, valós életből származó példa segítségével kapjuk meg, ha egy N könyvet tartalmazó polcról véletlenszerűen választunk ki n darab könyvet, amelyből m matematikai, akkor meg kell keresni a várható számot. matematika könyvek esetén X jelölje a kiválasztott matematikakönyvek számát, akkor X-et írhatjuk úgy
ahol
so
=n/N
ami ad
ami egy olyan hipergeometrikus valószínűségi változó átlaga.
A mérkőzések várható száma
Ez egy nagyon népszerű probléma az elvárással kapcsolatban, tegyük fel, hogy egy szobában N számú ember van, aki a szoba közepére dobja a kalapját, és az összes kalapot összekeverik, majd mindenki véletlenszerűen választ egy kalapot, majd a várható létszámot akik kiválasztják saját kalapjukat, úgy kaphatjuk meg, hogy X-et adjuk az egyezések számának úgy
Hol
mivel mindenkinek egyenlő lehetősége van kiválasztani bármelyik kalapot N kalap közül akkor
so
ami azt jelenti, hogy átlagosan pontosan egy ember választja saját kalapját.
Az események egyesülésének valószínűsége
Kapjuk meg az események egyesülésének valószínűségét a várakozás segítségével, tehát az A eseményekrei
ezzel vesszük
tehát az elvárás ez lesz
és az elvárás tulajdonság használatával bővülő
mióta van
és a
so
ez magában foglalja az as egyesülés valószínűségét
Határok a várakozástól valószínűségi módszerrel
Tegyük fel, hogy S egy véges halmaz, és f az S és elemeinek függvénye
itt megkaphatjuk ennek az m-nek az alsó korlátját az f(s) elvárásából, ahol „s” az S bármely véletlenszerű eleme, amelynek várakozását így kiszámíthatjuk
itt az elvárást kapjuk a maximális érték alsó határaként
Maximum-Minimum azonosság
Maximum Minimum identitás a számok halmazának maximuma e számok részhalmazainak minimumaiig, amely bármely x számra vonatkoziki
Ennek bemutatásához korlátozzuk az x-eti a [0,1] intervallumon belül tegyük fel, hogy a (0,1) intervallumon egy egységes U valószínűségi változó és az A eseményeki mivel az U egyenletes változó kisebb, mint xi tehát
mivel a fenti események legalább egyike akkor következik be, amikor U kisebb, mint az x értékének eggyeli
és a
Nyilván tudjuk
és minden esemény bekövetkezik, ha U kisebb, mint az összes és változó
a valószínűség megadja
megvan az egyesülés valószínűségének eredménye, mint
követve ezt a valószínűségi kizárási képletet
figyelembe
ez ad
óta
ami azt jelenti
- ezért így írhatjuk
a várakozást figyelembe véve a maximális és a részleges minimumok várható értékeit találhatjuk as
Következtetés:
Az elvárás a különféle eloszlás és az elvárás korrelációja szempontjából néhány Valószínűségi elmélet a fogalmak voltak a középpontban ebben a cikkben, amely bemutatja az elvárás használatát, mint eszközt különféle valószínűségi változók várható értékeinek megszerzésére, ha további olvasásra van szüksége, olvassa el az alábbi könyveket.
A matematikával kapcsolatos további cikkekért tekintse meg oldalunkat Matematika oldal.
https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation
Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól
Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai
ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba
