Pillanatgeneráló funkció
A momentumgeneráló függvény egy nagyon fontos függvény, amely a valószínűségi változó azon momentumait generálja, amelyek magukban foglalják az átlagot, a szórást és a szórást stb., így csak a momentumgeneráló függvény segítségével találhatunk alapmomentumokat és magasabb momentumokat is. momentumgeneráló függvényeket fog látni a különböző diszkrét és folytonos valószínűségi változókhoz. mivel a pillanatgeneráló függvényt (MGF) az M(t)-vel jelölt matematikai elvárás segítségével határozzuk meg.
és definícióját használva a diszkrét és folytonos valószínűségi változóra vonatkozó elvárás ez a funkció lesz
amely t értékét nullára cserélve megfelelő momentumokat generál. Ezeket a momentumokat úgy kell összegyűjtenünk, hogy megkülönböztetjük ezt a momentumgeneráló függvényt, például az első pillanatban, vagy azt jelenti, amit egyszeri megkülönböztetéssel kaphatunk
Ez arra utal, hogy a differenciálás az elvárás alatt felcserélhető, és így is írhatjuk
és a
ha t=0 a fenti momentumok lesznek
és a
Általánosságban elmondhatjuk
ennélfogva
Binomiális eloszlás momentumgeneráló függvénye||Binomiális eloszlás momentumgeneráló függvénye||Binomiális eloszlás MGF-je||Binomiális eloszlás középértéke és varianciája nyomatékgeneráló függvény segítségével
A binomiális eloszlású X valószínűségi változó pillanatgeneráló függvénye követi a binomiális eloszlás valószínűségi függvényét n és p paraméterekkel, mint
ami a binomiális tétel eredménye, most differenciálva és feltéve t=0 értékét
ami a binomiális eloszlás átlaga vagy első momentuma, hasonlóan a második momentum is az lesz
tehát a binomiális eloszlás szórása az lesz
amely a binomiális eloszlás standard középértéke és szórása, hasonlóan a magasabb momentumokat is megtalálhatjuk ezzel a momentumgeneráló függvénnyel.
Moment generáló függvénye hal forgalmazás||hal eloszlási momentumot generáló függvény||MGF of hal eloszlás||A Poisson-eloszlás átlaga és varianciája nyomatékgeneráló függvény segítségével
Ha rendelkezünk az X valószínűségi változóval, amely Poisson-eloszlás a Lambda paraméterrel, akkor ennek az eloszlásnak a pillanatgeneráló függvénye
most ennek megkülönböztetése ad
ez ad
ami a Poisson-eloszlás átlagát és szórását adja, ami igaz
Exponenciális eloszlás momentumgeneráló függvénye||Exponenciális eloszlási momentumot generáló függvény||MGF of Exponenciális eloszlás||Átlaga és szórása Exponenciális eloszlás nyomatékgeneráló függvény segítségével
Az X exponenciális valószínűségi változó pillanatgeneráló függvénye a definíciót követve az
itt a t értéke kisebb, mint a lambda paraméter, ezt most differenciálva kapjuk
amely biztosítja a pillanatokat
világosan
Melyek az exponenciális eloszlás átlaga és szórása.
Normál eloszlás momentumgeneráló függvénye||Szabályl eloszlási momentumot generáló függvény||MGF of Szabályl eloszlás||Átlaga és szórása Normál eloszlás nyomatékgeneráló függvény segítségével
A folytonos eloszlások nyomatékgeneráló függvénye is megegyezik a diszkréttel, tehát a normál eloszlás momentumgeneráló függvénye standard valószínűségi sűrűségfüggvénnyel
ezt az integrációt as beállítással tudjuk megoldani
mivel az integráció értéke 1. Így a standard normálváltozóra vonatkozó momentumgeneráló függvény az lesz
ebből bármely általános normális valószínűségi változóhoz megtalálhatjuk a pillanatgeneráló függvényt a reláció segítségével
így
így a különbségtétel ad nekünk
így
tehát a szórás az lesz
Valószínűségi változók összegének momentumgeneráló függvénye
A Pillanatgeneráló funkció a valószínűségi változók összegének fontos tulajdonsága, hogy megegyezik a megfelelő független valószínűségi változók pillanatgeneráló függvényének szorzatával, amely X és Y független valószínűségi változókra vonatkozik, akkor az X+Y valószínűségi változó összegének momentumgeneráló függvénye
itt minden X és Y momentumgeneráló függvényei függetlenek a a matematikai elvárás tulajdonsága. Az egymásutánban különböző eloszlások nyomatékgeneráló függvényeinek összegét találjuk.
Binomiális valószínűségi változók összege
Ha az X és Y valószínűségi változókat binomiális eloszlásban osztjuk el az (n,p) és (m,p) paraméterekkel, akkor az X+Y összegük pillanatgeneráló függvénye
ahol az összeg paraméterei (n+m,p).
Poisson valószínűségi változók összege
A független X és Y valószínűségi változók összegének eloszlását Poisson-eloszlással elosztott átlagokkal a következőképpen kaphatjuk meg:
Hol
az X+Y Poisson valószínűségi változó átlaga.
Normál valószínűségi változók összege
Tekintsük a függetlent normál valószínűségi változók X és Y a paraméterekkel
majd X+Y valószínűségi változók összegére paraméterekkel
tehát a pillanatgeneráló függvény lesz
amely egy momentumgeneráló függvény additív átlaggal és szórással.
Valószínűségi változók véletlenszámának összege
A véletlenszámú valószínűségi változók összegének pillanatgeneráló függvényének megtalálásához tegyük fel a valószínűségi változót
ahol a valószínűségi változók X1,X2, … tetszőleges típusú valószínűségi változók sorozata, amelyek függetlenek és azonos eloszlásúak, akkor a pillanatgeneráló függvény
Ami megadja Y momentumgeneráló függvényét a as differenciálásra
ennélfogva
hasonló módon a kétszeri differenciálás is megadja
amelyek adnak
így a szórás az lesz
Példa a Khi-négyzet valószínűségi változóra
Számítsa ki az n-es szabadságfokú Khi-négyzet valószínűségi változó pillanatgeneráló függvényét!
Megoldás: tekintsük a Khi-négyzet valószínűségi változót az n-es szabadságfokkal
a standard normálváltozók sorozata akkor a pillanatgeneráló függvény lesz
tehát ad
a normálsűrűség 0 átlaggal és σ varianciával2 integrálódik az 1-be
amely n szabadságfok szükséges momentumgeneráló függvénye.
Példa az egységes valószínűségi változóra
Határozzuk meg az n és p paraméterekkel binomiális eloszlású X valószínűségi változó pillanatgeneráló függvényét feltételes valószínűségi változó Y=p a (0,1) intervallumon
Megoldás: Megtalálni az X valószínűségi változó pillanatgeneráló függvényét Y adott esetben
a binomiális eloszlást használva sin Y a (0,1) intervallum egységes valószínűségi változója
Közös nyomaték generáló funkció
A Joint momentum generáló függvény n számú X valószínűségi változóra1,X2,…,Xn
ahol t1,t2,……tn a valós számok, az együttes momentumgeneráló függvényből megtalálhatjuk az egyedi momentumgeneráló függvényt as
Tétel: Az X valószínűségi változók1,X2,…,Xn akkor és csak akkor függetlenek, ha a közös mement generáló függvény
Bizonyítás: Tegyük fel, hogy az adott valószínűségi változók X1,X2,…,Xn akkor függetlenek
Most tegyük fel, hogy az együttes nyomatékot generáló függvény kielégíti az egyenletet
- az X valószínűségi változók bizonyítására1,X2,…,Xn függetlenek, azt az eredményt kapjuk, hogy a közös nyomatékot generáló függvény egyedileg adja meg a közös eloszlást (ez egy másik fontos eredmény, amely bizonyítást igényel), tehát olyan közös eloszlással kell rendelkeznünk, amely azt mutatja, hogy a valószínűségi változók függetlenek, tehát a szükséges és elégséges feltétel igazolt.
Példa a Joint Moment generáló függvényre
1.Számítsa ki az X+Y és XY valószínűségi változó együttes momentumgeneráló függvényét!
Megoldás: Mivel az X+Y valószínűségi változók összege és az XY valószínűségi változók kivonása függetlenek, mint az X és Y független valószínűségi változók esetében, így ezek együttes momentumgeneráló függvénye
mivel ez a momentumgeneráló függvény határozza meg a közös eloszlást, így ebből azt mondhatjuk, hogy X+Y és XY független valószínűségi változók.
2. Tekintsük a kísérlethez a megszámlált és meg nem számlált események számát Poisson-eloszlás szerint eloszolva p valószínűséggel és λ átlaggal, mutassuk meg, hogy a számolt és meg nem számolt események száma független λp és λ(1-p) átlagokkal.
Megoldás: X-et az események számának tekintjük és X-etc a megszámlált események száma tehát a meg nem számolt események száma XXc, az együttes momentumgeneráló funkció nyomatékot generál
és a binomiális eloszlás momentumgeneráló függvénye
és ezektől az elvárások levétele megadja
Következtetés:
A momentumgeneráló függvény standard definíciójával megvitattuk a különböző eloszlások (binomiális, Poisson, normál stb.) momentumait, és ezeknek a valószínűségi változóknak a diszkrét vagy folytonos, a momentumgeneráló függvény és a közös momentumgeneráló függvény összegét kaptuk. megfelelő példák, ha további olvasásra van szüksége, olvassa el az alábbi könyveket.
A matematikával kapcsolatos további cikkekért tekintse meg oldalunkat Matematika oldal.
Az első valószínűségszámítási tanfolyam Sheldon Rosstól
Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai
ROHATGI és SALEH bevezetése a valószínűségszámításba és a statisztikákba
