Normál véletlenszerű változó: 3 fontos tény

Normál Véletlenszerű változó és normál eloszlás

      A megszámlálhatatlan értékhalmazú valószínűségi változóról ismert folytonos valószínűségi változó, a valószínűségi sűrűségfüggvény pedig integráció segítségével, mint a görbe alatti terület adja a folytonos eloszlást, most az egyik leggyakrabban használt és leggyakrabban használt folytonos valószínűségi változóra fókuszálunk. azaz normál valószínűségi változó, amelynek másik neve Gauss valószínűségi változó vagy Gauss-eloszlás.

Normál valószínűségi változó

      A normál valószínűségi változó a folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűségfüggvénnyel

amelynek aljas μ és variancia σ² mint statisztikai paraméterek és geometriailag a valószínűségi sűrűségfüggvénynek van egy harang alakú görbéje, amely szimmetrikus a μ átlagra.

Tudjuk, hogy a valószínűségi sűrűségfüggvény teljes valószínűsége egy

úgy, hogy y= (x-μ)/σ

ez a kettős integráció poláris formává alakításával oldható meg

ami a szükséges érték, tehát az I integrálra igazolódik.

• Ha X normális eloszlású μ paraméterrel  és σ² akkor Y=aX+b is normális eloszlású az aμ+b és a paraméterekkel²μ²

Normál Véletlenszerű változó elvárása és varianciája

A normál valószínűségi változó várható értéke és a variancia, amelyet a segítségével kapunk

ahol X normális eloszlású az átlagos paraméterekkel μ és szórás σ.

mivel Z középértéke nulla, így a szórása as

részenkénti integráció használatával

a Z változó grafikus értelmezése a következő

és ennek a Z változónak a görbe alatti területe, amely néven ismert standard normál változó, ez a referenciaértékre kerül kiszámításra (a táblázatban található), mivel a görbe szimmetrikus, így negatív érték esetén a terület megegyezik a pozitív értékekével

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.50000	0.50399	0.50798	0.51197	0.51595	0.51994	0.52392	0.52790	0.53188	0.53586
0.1	0.53983	0.54380	0.54776	0.55172	0.55567	0.55962	0.56356	0.56749	0.57142	0.57535
0.2	0.57926	0.58317	0.58706	0.59095	0.59483	0.59871	0.60257	0.60642	0.61026	0.61409
0.3	0.61791	0.62172	0.62552	0.62930	0.63307	0.63683	0.64058	0.64431	0.64803	0.65173
0.4	0.65542	0.65910	0.66276	0.66640	0.67003	0.67364	0.67724	0.68082	0.68439	0.68793
0.5	0.69146	0.69497	0.69847	0.70194	0.70540	0.70884	0.71226	0.71566	0.71904	0.72240
0.6	0.72575	0.72907	0.73237	0.73565	0.73891	0.74215	0.74537	0.74857	0.75175	0.75490
0.7	0.75804	0.76115	0.76424	0.76730	0.77035	0.77337	0.77637	0.77935	0.78230	0.78524
0.8	0.78814	0.79103	0.79389	0.79673	0.79955	0.80234	0.80511	0.80785	0.81057	0.81327
0.9	0.81594	0.81859	0.82121	0.82381	0.82639	0.82894	0.83147	0.83398	0.83646	0.83891
1.0	0.84134	0.84375	0.84614	0.84849	0.85083	0.85314	0.85543	0.85769	0.85993	0.86214
1.1	0.86433	0.86650	0.86864	0.87076	0.87286	0.87493	0.87698	0.87900	0.88100	0.88298
1.2	0.88493	0.88686	0.88877	0.89065	0.89251	0.89435	0.89617	0.89796	0.89973	0.90147
1.3	0.90320	0.90490	0.90658	0.90824	0.90988	0.91149	0.91308	0.91466	0.91621	0.91774
1.4	0.91924	0.92073	0.92220	0.92364	0.92507	0.92647	0.92785	0.92922	0.93056	0.93189
1.5	0.93319	0.93448	0.93574	0.93699	0.93822	0.93943	0.94062	0.94179	0.94295	0.94408
1.6	0.94520	0.94630	0.94738	0.94845	0.94950	0.95053	0.95154	0.95254	0.95352	0.95449
1.7	0.95543	0.95637	0.95728	0.95818	0.95907	0.95994	0.96080	0.96164	0.96246	0.96327
1.8	0.96407	0.96485	0.96562	0.96638	0.96712	0.96784	0.96856	0.96926	0.96995	0.97062
1.9	0.97128	0.97193	0.97257	0.97320	0.97381	0.97441	0.97500	0.97558	0.97615	0.97670
2.0	0.97725	0.97778	0.97831	0.97882	0.97932	0.97982	0.98030	0.98077	0.98124	0.98169
2.1	0.98214	0.98257	0.98300	0.98341	0.98382	0.98422	0.98461	0.98500	0.98537	0.98574
2.2	0.98610	0.98645	0.98679	0.98713	0.98745	0.98778	0.98809	0.98840	0.98870	0.98899
2.3	0.98928	0.98956	0.98983	0.99010	0.99036	0.99061	0.99086	0.99111	0.99134	0.99158
2.4	0.99180	0.99202	0.99224	0.99245	0.99266	0.99286	0.99305	0.99324	0.99343	0.99361
2.5	0.99379	0.99396	0.99413	0.99430	0.99446	0.99461	0.99477	0.99492	0.99506	0.99520
2.6	0.99534	0.99547	0.99560	0.99573	0.99585	0.99598	0.99609	0.99621	0.99632	0.99643
2.7	0.99653	0.99664	0.99674	0.99683	0.99693	0.99702	0.99711	0.99720	0.99728	0.99736
2.8	0.99744	0.99752	0.99760	0.99767	0.99774	0.99781	0.99788	0.99795	0.99801	0.99807
2.9	0.99813	0.99819	0.99825	0.99831	0.99836	0.99841	0.99846	0.99851	0.99856	0.99861
3.0	0.99865	0.99869	0.99874	0.99878	0.99882	0.99886	0.99889	0.99893	0.99896	0.99900
3.1	0.99903	0.99906	0.99910	0.99913	0.99916	0.99918	0.99921	0.99924	0.99926	0.99929
3.2	0.99931	0.99934	0.99936	0.99938	0.99940	0.99942	0.99944	0.99946	0.99948	0.99950
3.3	0.99952	0.99953	0.99955	0.99957	0.99958	0.99960	0.99961	0.99962	0.99964	0.99965
3.4	0.99966	0.99968	0.99969	0.99970	0.99971	0.99972	0.99973	0.99974	0.99975	0.99976
3.5	0.99977	0.99978	0.99978	0.99979	0.99980	0.99981	0.99981	0.99982	0.99983	0.99983

mióta a helyettesítést alkalmaztuk

Itt ne feledje, hogy a Z szabványos normál változó, ahol as Az X folytonos valószínűségi változó normális eloszlású normál valószínűségi változó μ átlaggal és σ szórással.

Tehát a valószínűségi változó eloszlásfüggvényének megtalálásához a szabványos normálváltozóra való átalakítást fogjuk használni

a tetszőleges értékére.

Példa: A standard normálgörbén keresse meg a 0 és 1.2 pontok közötti területet.

Ha követjük a táblázatot, akkor a 1.2 oszlop alatti 0 értéke 0.88493 és a 0 értéke 0.5000,

Példa: keresse meg a standard normálgörbe területét -0.46 és 2.21 között.

Az árnyékolt tartományból ezt a tartományt kettéoszthatjuk -0.46-tól 0-ig és 0-tól 2.21-ig, mivel a normálgörbe szimmetrikus az y tengelyre, így a -0.46 és 0 közötti terület megegyezik a 0 és 0.46 közötti tartományokkal, tehát a táblázatból.

és a

így írhatjuk úgy

Teljes terület =(z = -0.46 és z=0 közötti terület) + (z =0 és z=2.21 közötti terület)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

Példa: Ha X normális valószínűségi változó, átlag 3 és variancia 9, akkor keresse meg a következő valószínűségeket

P2

P{X>0}

P|X-3|>6

Megoldás: mióta van

így a -1/3-tól 0-ig és a 0-tól a 2/3-ig terjedő intervallumokra kettéosztva a táblázatos értékekből kapjuk a megoldást

or

=0.74537 -1 + 0.62930 =0.37467

és a

Példa: Egy megfigyelő apasági ügyben azt állítja, hogy az emberi növekedés hossza (napokban).

általában 270-es átlaggal és 100-as varianciával oszlik el. Ebben az esetben a gyermek apjaként gyanúsított igazolta, hogy a gyermek születése előtt 290 nappal kezdődött és 240 nappal korábban végződő időszakban tartózkodott az országon kívül. a születés. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az anyának a tanú által jelzett nagyon hosszú vagy nagyon rövid terhessége lehetett?

Jelölje X a terhesség normális eloszlású valószínűségi változóját, és tekintse a gyanúsítottnak a gyermek apját. Ebben az esetben nagy a valószínűsége annak, hogy a gyermek a megadott időn belül megszületett

A normál valószínűségi változó és a binomiális valószínűségi változó közötti kapcsolat

      Binomiális eloszlás esetén az átlag np, a variancia pedig npq, tehát ha olyan binomiális valószínűségi változót konvertálunk, amelynek átlaga és szórása, amelynek n nagyon nagy és p vagy q nagyon kicsi a nullához közeledve, akkor a normál Z normál változót ezeknek az átlagoknak és eltéréseknek a segítsége az

itt a tekintetben Bernouli-próbák X az n próba sikereinek számát veszi figyelembe. Ahogy n növekszik és közelebb megy a végtelenhez, ez a normálváltozó ugyanúgy megy át, hogy standard normálváltozóvá váljon.

A binomiális és a standard normálváltozó kapcsolatát a következő tétel segítségével találhatjuk meg.

DeMoivre Laplace határérték tétel

If S_n jelöli azoknak a sikereknek a számát, amelyek akkor következnek be, ha n  független kísérletek, amelyek mindegyike p valószínűséggel sikeres , végre kell hajtani, akkor bármely a < b ,

Példa: A binomiális valószínűségi változó normál közelítésével határozza meg a 20-szoros farok előfordulásának valószínűségét, ha egy tisztességes érme 40-szer dob fel.

Megoldás: Tegyük fel, hogy az X valószínűségi változó a farok előfordulását jelenti, mivel a binomiális valószínűségi változó diszkrét valószínűségi változó, a normál valószínűségi változó pedig folytonos valószínűségi változó, így a diszkrét folytonossá alakításához a következőképpen írjuk fel

és ha az adott példát binomiális eloszlás segítségével oldjuk meg, akkor így kapjuk meg

Példa: Egy meghatározott táplálkozás hatékonyságának eldöntésére a vérkeringésben lévő koleszterin mennyiségének csökkentésében 100 főt helyeznek a táplálékra. A koleszterinszintet a táplálás után meghatározott ideig megfigyeltük. Ha a minta 65 százalékának alacsony a koleszterinszintje, akkor a táplálékot jóváhagyják. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a táplálkozási szakember jóváhagyja az új táplálékot, ha annak valójában nincs hatása a koleszterinszintre?

megoldás:  Hagyja, hogy a valószínűségi változó kifejezze a koleszterinszintet, ha a táplálékkal csökken, így az ilyen valószínűségi változó valószínűsége személyenként ½ lesz, ha X az alacsony szintű emberek számát jelöli, akkor annak valószínűsége, hogy az eredményt akkor is jóváhagyják, ha a táplálkozásnak nincs hatása csökkenti a koleszterinszintet

Következtetés:

   Ebben a cikkben a folytonos valószínűségi változó, nevezetesen a normál fogalma véletlen változó és annak valószínűségi sűrűségfüggvénnyel való eloszlását tárgyaltuk, és megadtuk a statisztikai paraméter átlagát, a normál valószínűségi változóra vonatkozó varanciát. A normális eloszlású valószínűségi változó átalakítása az új standard normálváltozóra és a görbe alatti területre az ilyen standard normálváltozóhoz táblázatos formában az egyik A diszkrét valószínűségi változóval való kapcsolat is szerepel példával , ha szeretnél még olvasni, akkor menj végig:

Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

További matematikai témákért nézze meg ez az oldal.