Permutációk és kombinációk
Permutációk és kombinációk, ez a cikk azt a koncepciót tárgyalja, amely a közvetlen számításon túlmenően meghatározza egy adott esemény lehetséges kimeneteleinek számát, vagy azon halmazelemek, permutációk és kombinációk számát, amelyek a kombinatorikus elemzés elsődleges számítási módszerei.
Gyakori hibák a permutációk és kombinációk tanulása során
A tanulók között mindig zűrzavar támad permutációk és kombinációk mert mindkettő összefügg a különböző objektumok elrendezésének számával és egy adott esemény lehetséges kimenetelének számával vagy a halmazból egy elem kinyerésének módjaival. A permutáció és példákkal kombinálva és a köztük lévő különbségről indoklással itt lesz szó.
Egy egyszerű és praktikus technika, amellyel megjegyzi a különbséget a permutációk és kombinációk ez: a permutáció a sorrendhez kapcsolódik, azt jelenti, hogy a pozíció fontos a permutációban, míg a kombináció nem kapcsolódik a sorrendhez, azt jelenti, hogy a pozíció nem fontos kombinációban.
A permutációk és kombinációk tárgyalása előtt megkövetelünk néhány előfeltételt, amelyeket gyakran használunk.
Mi az a Factorial
A faktorál az 1-től n-ig terjedő pozitív egész számok szorzata (1-et és n-t számolva), amelyet n-nel jelölünk! és n faktoriálisként olvassa le az alábbiak szerint
n! = 1.2.3.4… (n-2).(n-1.).n = n.(n-1).(n-2)…3.2.1
nPr = n.(n-1).(n-2)…(n-r+1) = n!/(nr)!
Vegye figyelembe, hogy 0!=1
0! = 1
1! = 1
n! = n(nl)!
pl 3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4! = 5.24 = 120
Számlálási módszerek (a szorzás és összeadás elve)
Összeadás elve: Ha nem történhet meg két esemény egyszerre, akkor az egyik esemény megtörténhet
n1 + n2 + n3 +・ ・ ・.módon
A szorzás elve: Tekintettel arra, hogy ha az események egymás után következtek be, akkor minden esemény a következő helyen jelzett sorrendben történhet:
n1.n2.n3...módon
Példa: Ha egy intézet 7 különböző művészeti kurzust, 3 különböző technikai kurzust és 4 különböző fizikai kurzust tart.
Ha egy hallgató minden típusú kurzusból szeretne beiratkozni, akkor a lehetőségek száma a következő
m = 7.3.4 = 84
Ha egy hallgató csak az egyik kurzusra szeretne beiratkozni, akkor a lehetőségek száma a következő
n=7+3+4=14
Mi az a permutáció
Az objektumok eltérő elhelyezését ún Permutációk, ahol az elrendezés sorrendje számít. Egy sor bármely elhelyezése n a különböző objektumokat adott sorrendben a permutáció az objektum.
Vegyünk egy példát a {P,Q,R,S} betűkészletre
A négy ábécé egy pillantásra 4 permutációja a QSRP, SRQP és PRSQ
Ezen objektumok bármely r<=n-jének egy meghatározott sorrendben történő rendezését „r-nek” nevezzük-permutáció"Vagy"a permutációja nemtárgyakat vett r egy időben.
Alapvetően szeretjük az ilyen permutációk számát anélkül, hogy leírnánk őket.
Példa permutációs képletre
Egyszerre r n különböző objektum permutációinak számát a jelzi
nPr = n. (n-1).(n-2)…(nr+1) = n!/(n-r)!
A matematikában ezt különböző módon jelölik, ezek közül néhányat az alábbiakban említünk:
P(n,r), nPr,Pn,r vagy (n)r
PÉLDA: Számítsd ki az m számot! hat objektum permutációja, mondjuk A, B, C, D, E, F, egy pillantásra hármat véve.
Megoldás: Itt n=6, r=3, m=?
nPr = n!/(nr)!
m = 6P3 = 6!/(6-3)! = 6!/3! = 3!.4.5.6/3!= 4.5.6 = 120
Tehát m=120
PÉLDA: Hány szót lehet generálni, ha 2 betűt használunk a „MATHS” szóból?
Megoldás: Itt n=5, r=2, m=?
nPr = n!/(nr)!
m = 5P2 = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 3!.4.5/3! = 4.5 = 20
tehát a szükséges szavak száma 20.
Mit értesz kombináció alatt?
A kombináció mert Egyszerre r vett n különböző elem az r-edik elem bármely olyan kiválasztása, ahol a sorrendet nem veszik figyelembe. Az ilyen kijelölést an r-kombináció. Röviden, a Kombináció olyan kijelölés, amelyben a kiválasztott objektumok sorrendje nem fontos.
A Kombináció megadja, hogy egy adott halmaz hány módon rendezhető el, ahol az elrendezés sorrendje nem számít.
A kombináció helyzetének megértéséhez vegye figyelembe a példát
Húsz ember érkezik egy terembe, és mindenki kezet fog a többiekkel. Hogyan állapíthatjuk meg a kézfogások számát? „A” kézfogás B-vel és B A-val nem lesz két különböző kézfogás. Itt a kézfogás sorrendje nem fontos. A kézfogások száma 20 különböző dolog kombinációja lesz egyszerre kettővel.
Kombinációs képlet egy egyszerű példával
Az ilyen kombinációk számát a jelöli
Néha C(n,r)-vel is jelölik, nCr , Cn, r vagy Crn
Példa: Egy osztályban 10 tanuló van, 6 férfi és 4 nő. Keresse meg a számot n hogyan lehet 4 tagú bizottságot választani a hallgatók közül.
Ez a kombinációkra vonatkozik, nem a permutációkra, mivel a sorrend nem fontos tényező egy bizottságban. Léteznek „10 választ 4” ilyen bizottságok. Azaz:
itt n=10, r=4
tehát 210 módon választhatunk ilyen 4 tagú bizottságot.
Példa: Egy tartályban 6 kék és 8 piros golyó van. Határozza meg, hány módon lehet kihúzni két színű golyót a tartályból.
Itt esetleg „14 választhat 2” módot a 2 golyó közül kettő kiválasztására. És így:
Itt n=14, r=2
tehát 91 módon két tetszőleges színű golyó húzható.
A permutáció és a kombináció közötti különbség
Itt röviden bemutatjuk a permutáció és a kombináció közötti különbséget
Permutáció | Kombináció |
A sorrend fontos | A sorrend nem fontos |
A rendelés számít | A rendelés nem számít |
Olyan intézkedésekre használják, mint például az elnök, az alelnök és a pénztáros megválasztása | Kiválasztáshoz használják, például csapatok és bizottságok kiválasztásához pozíciók nélkül |
Első, második és harmadik konkrét pozíció megválasztásához | Bármely három véletlenszerű kiválasztásához |
A kártyák vagy labdák helyzet és szín szerinti elrendezéséhez | Bármilyen szín és pozíció kiválasztásához |
Hol kell alkalmazni a permutációkat és kombinációkat
Ez az a fontos lépés, amit szem előtt kell tartanunk, hogy amikor a helyzet az elrendezésről, a rendezésről és az egyediségről szól, használnunk kell Permutáció és amikor a helyzet a kiválasztásra, a választásra, a komissiózásra és a kombinációra vonatkozik, a rendelés gondja nélkül, használnunk kell Kombináció. Ha ezeket az alapokat szem előtt tartva nem lesz zűrzavar, hogy „mit használjunk és mit ne”, amikor kérdés merül fel.
Permutációk és kombinációk használata a való életben példákkal
A való életben a permutációt és a kombinációt szinte mindenhol alkalmazzák, mert tudjuk, hogy a való életben lenne olyan helyzet, amikor a rend fontos, valahol pedig nem a rend, ezekben a helyzetekben a megfelelő módszert kell használnunk.
Például
Keresse meg a számot N 11 fős csapatok, adott kapitánnyal, amely 26 játékos közül választható.
Gyakran Ismételt Kérdések - GYIK
Mi az a faktoriális?
Az 1-től n-ig terjedő pozitív egész számok szorzata (beleértve az 1-et és az n-t is)
n! = 1.2.3… (n-2.). (n-1.). n
Mi az a permutáció?
Az objektumok eltérő sorrendjét ún permutációk
Mi az a kombináció?
A Kombináció megadja, hogy egy adott halmaz hányféleképpen állítható be, ahol az elrendezés sorrendje nem számít.
Permutációk és kombinációk alkalmazása a gyakorlati életben
A permutációt olyan listák elrendezésére vagy kiválasztására használják, ahol a sorrend fontos, a kombináció pedig olyan kiválasztáshoz vagy választáshoz, ahol a sorrend nem fontos.
Permutációs képlet
nPr = n!/(nr)!
Kombinációs képlet
Van-e kapcsolat a permutációk és a kombinációk között?
Igen,
nCr = nPr/r!
Használhatunk permutációkat és kombinációkat a való életben?
Igen,
A szavak, ábécé, számok, pozíciók és színek elrendezésében, ahol fontos a sorrend, permutációt kell használni
A bizottságok, csapatok, menük, témák stb. kiválasztásánál, ahol a sorrend nem fontos, kombinációt kell használni.
A rövid tájékoztatás a permutációk és kombinációk Az alapképletet kétszer vagy háromszor olvassa el, amíg meg nem születik a koncepció, az egymást követő cikkekben részletesen tárgyaljuk a különböző eredményeket és képleteket megfelelő példákkal permutációk és kombinációk. Ha tovább szeretne tanulni, kövesse az alábbi linket:
További matematikai témákért kövesse ezt link.
Referenciák:
1. SCHAUM VÁZLATA A DISZKRÉT MATEMATIKA elméletéről és problémáiról
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
3. https://en.wikipedia.org/wiki/Combination
5. https://www.cs.bgu.ac.il/
DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Elvégeztem a Ph.D. matematikából, és matematikai adjunktusként dolgozik. 12 éves oktatói tapasztalattal. Hatalmas tudás birtokában a tiszta matematikában, pontosan az algebrában. Rendelkezik a problématervezés és -megoldás óriási képességével. Képes motiválni a jelölteket teljesítményük javítására.
Szeretek hozzájárulni a Lambdageeks-hez, hogy a matematikát egyszerűvé, érdekessé és magától értetődővé tegye a kezdők és a szakértők számára.