Permutációk és kombinációk: 11 tény, amit tudnod kell

Permutációk és kombinációk

 Permutációk és kombinációk, ez a cikk azt a koncepciót tárgyalja, amely a közvetlen számításon túlmenően meghatározza egy adott esemény lehetséges kimeneteleinek számát, vagy azon halmazelemek, permutációk és kombinációk számát, amelyek a kombinatorikus elemzés elsődleges számítási módszerei.

Gyakori hibák a permutációk és kombinációk tanulása során

A tanulók között mindig zűrzavar támad permutációk és kombinációk mert mindkettő összefügg a különböző objektumok elrendezésének számával és egy adott esemény lehetséges kimenetelének számával vagy a halmazból egy elem kinyerésének módjaival. A permutáció és példákkal kombinálva és a köztük lévő különbségről indoklással itt lesz szó.

Egy egyszerű és praktikus technika, amellyel megjegyzi a különbséget a permutációk és kombinációk ez: a permutáció a sorrendhez kapcsolódik, azt jelenti, hogy a pozíció fontos a permutációban, míg a kombináció nem kapcsolódik a sorrendhez, azt jelenti, hogy a pozíció nem fontos kombinációban.

A permutációk és kombinációk tárgyalása előtt megkövetelünk néhány előfeltételt, amelyeket gyakran használunk.

 Mi az a Factorial

          A faktorál az 1-től n-ig terjedő pozitív egész számok szorzata (1-et és n-t számolva), amelyet n-nel jelölünk! és n faktoriálisként olvassa le az alábbiak szerint

n! = 1.2.3.4… (n-2).(n-1.).n = n.(n-1).(n-2)…3.2.1

nPr = n.(n-1).(n-2)…(n-r+1) = n!/(nr)!

Vegye figyelembe, hogy 0!=1 

0! = 1

1! = 1

n! = n(nl)!

pl 3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4! = 5.24 = 120

Számlálási módszerek (a szorzás és összeadás elve)

      Összeadás elve: Ha nem történhet meg két esemény egyszerre, akkor az egyik esemény megtörténhet

n1 + n2 + n3 +・ ・ ・.módon

      A szorzás elve: Tekintettel arra, hogy ha az események egymás után következtek be, akkor minden esemény a következő helyen jelzett sorrendben történhet:

n1.n2.n3...módon

Példa: Ha egy intézet 7 különböző művészeti kurzust, 3 különböző technikai kurzust és 4 különböző fizikai kurzust tart.

Ha egy hallgató minden típusú kurzusból szeretne beiratkozni, akkor a lehetőségek száma a következő

m = 7.3.4 = 84

Ha egy hallgató csak az egyik kurzusra szeretne beiratkozni, akkor a lehetőségek száma a következő

n=7+3+4=14

Mi az a permutáció

Az objektumok eltérő elhelyezését ún Permutációk, ahol az elrendezés sorrendje számít. Egy sor bármely elhelyezése n a különböző objektumokat adott sorrendben a permutáció az objektum.

        Vegyünk egy példát a {P,Q,R,S} betűkészletre

  A négy ábécé egy pillantásra 4 permutációja a QSRP, SRQP és PRSQ

Ezen objektumok bármely r<=n-jének egy meghatározott sorrendben történő rendezését „r-nek” nevezzük-permutáció"Vagy"a permutációja nemtárgyakat vett r egy időben.

Alapvetően szeretjük az ilyen permutációk számát anélkül, hogy leírnánk őket.

Példa permutációs képletre

Egyszerre r n különböző objektum permutációinak számát a jelzi

nPr = n. (n-1).(n-2)…(nr+1) = n!/(n-r)!

A matematikában ezt különböző módon jelölik, ezek közül néhányat az alábbiakban említünk:

P(n,r), nPr,Pn,r vagy (n)r

PÉLDA: Számítsd ki az m számot! hat objektum permutációja, mondjuk A, B, C, D, E, F, egy pillantásra hármat véve.

Megoldás: Itt n=6, r=3, m=?

nPr = n!/(nr)!

m = 6P3 = 6!/(6-3)! = 6!/3! = 3!.4.5.6/3!= 4.5.6 = 120

Tehát m=120

PÉLDA: Hány szót lehet generálni, ha 2 betűt használunk a „MATHS” szóból?

Megoldás: Itt n=5, r=2, m=?

nPr = n!/(nr)!

m = 5P2 = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 3!.4.5/3! = 4.5 = 20

tehát a szükséges szavak száma 20.

Mit értesz kombináció alatt?

A kombináció mert Egyszerre r vett n különböző elem az r-edik elem bármely olyan kiválasztása, ahol a sorrendet nem veszik figyelembe. Az ilyen kijelölést an r-kombináció. Röviden, a Kombináció olyan kijelölés, amelyben a kiválasztott objektumok sorrendje nem fontos.

      A Kombináció megadja, hogy egy adott halmaz hány módon rendezhető el, ahol az elrendezés sorrendje nem számít.

 A kombináció helyzetének megértéséhez vegye figyelembe a példát

Húsz ember érkezik egy terembe, és mindenki kezet fog a többiekkel. Hogyan állapíthatjuk meg a kézfogások számát? „A” kézfogás B-vel és B A-val nem lesz két különböző kézfogás. Itt a kézfogás sorrendje nem fontos. A kézfogások száma 20 különböző dolog kombinációja lesz egyszerre kettővel.

Kombinációs képlet egy egyszerű példával

       Az ilyen kombinációk számát a jelöli

CodeCogsEqn

Néha C(n,r)-vel is jelölik, nCr , Cn, r vagy Crn

Példa: Egy osztályban 10 tanuló van, 6 férfi és 4 nő. Keresse meg a számot n hogyan lehet 4 tagú bizottságot választani a hallgatók közül.

Ez a kombinációkra vonatkozik, nem a permutációkra, mivel a sorrend nem fontos tényező egy bizottságban. Léteznek „10 választ 4” ilyen bizottságok. Azaz:

gif

itt n=10, r=4

CodeCogsEqn 15

tehát 210 módon választhatunk ilyen 4 tagú bizottságot.

Példa: Egy tartályban 6 kék és 8 piros golyó van. Határozza meg, hány módon lehet kihúzni két színű golyót a tartályból.

Itt esetleg „14 választhat 2” módot a 2 golyó közül kettő kiválasztására. És így:

CodeCogsEqn 16

Itt n=14, r=2

gif.latex?%5E%7B14%7DC %7B2%7D%20%3D%20%5Cbinom%7B14%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B14%21%7D%7B2%21%2814 2%29%21%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B14.13.12.%21%7D%7B2.1

tehát 91 módon két tetszőleges színű golyó húzható.

A permutáció és a kombináció közötti különbség

Itt röviden bemutatjuk a permutáció és a kombináció közötti különbséget

PermutációKombináció
A sorrend fontosA sorrend nem fontos
A rendelés számítA rendelés nem számít
Olyan intézkedésekre használják, mint például az elnök, az alelnök és a pénztáros megválasztásaKiválasztáshoz használják, például csapatok és bizottságok kiválasztásához pozíciók nélkül
Első, második és harmadik konkrét pozíció megválasztásáhozBármely három véletlenszerű kiválasztásához
A kártyák vagy labdák helyzet és szín szerinti elrendezéséhezBármilyen szín és pozíció kiválasztásához
A permutációk és a kombinációk közötti különbség

Hol kell alkalmazni a permutációkat és kombinációkat

  Ez az a fontos lépés, amit szem előtt kell tartanunk, hogy amikor a helyzet az elrendezésről, a rendezésről és az egyediségről szól, használnunk kell Permutáció és amikor a helyzet a kiválasztásra, a választásra, a komissiózásra és a kombinációra vonatkozik, a rendelés gondja nélkül, használnunk kell Kombináció. Ha ezeket az alapokat szem előtt tartva nem lesz zűrzavar, hogy „mit használjunk és mit ne”, amikor kérdés merül fel.

Permutációk és kombinációk használata a való életben példákkal

A való életben a permutációt és a kombinációt szinte mindenhol alkalmazzák, mert tudjuk, hogy a való életben lenne olyan helyzet, amikor a rend fontos, valahol pedig nem a rend, ezekben a helyzetekben a megfelelő módszert kell használnunk.

Például

Keresse meg a számot N 11 fős csapatok, adott kapitánnyal, amely 26 játékos közül választható.

Gyakran Ismételt Kérdések - GYIK

Mi az a faktoriális?

Az 1-től n-ig terjedő pozitív egész számok szorzata (beleértve az 1-et és az n-t is)

n! = 1.2.3… (n-2.). (n-1.). n

Mi az a permutáció?

Az objektumok eltérő sorrendjét ún permutációk

Mi az a kombináció?

     A Kombináció megadja, hogy egy adott halmaz hányféleképpen állítható be, ahol az elrendezés sorrendje nem számít.

Permutációk és kombinációk alkalmazása a gyakorlati életben

A permutációt olyan listák elrendezésére vagy kiválasztására használják, ahol a sorrend fontos, a kombináció pedig olyan kiválasztáshoz vagy választáshoz, ahol a sorrend nem fontos.

Permutációs képlet

nPr = n!/(nr)!

Kombinációs képlet

CodeCogsEqn 16 1

Van-e kapcsolat a permutációk és a kombinációk között?

Igen,

nCr = nPr/r!

Használhatunk permutációkat és kombinációkat a való életben?

Igen,

A szavak, ábécé, számok, pozíciók és színek elrendezésében, ahol fontos a sorrend, permutációt kell használni

A bizottságok, csapatok, menük, témák stb. kiválasztásánál, ahol a sorrend nem fontos, kombinációt kell használni.

   A rövid tájékoztatás a permutációk és kombinációk Az alapképletet kétszer vagy háromszor olvassa el, amíg meg nem születik a koncepció, az egymást követő cikkekben részletesen tárgyaljuk a különböző eredményeket és képleteket megfelelő példákkal permutációk és kombinációk. Ha tovább szeretne tanulni, kövesse az alábbi linket:

További matematikai témákért kövesse ezt link.

Referenciák:

1. SCHAUM VÁZLATA A DISZKRÉT MATEMATIKA elméletéről és problémáiról

2.   https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

3.   https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

4.   https://in.bgu.ac.il/

5. https://www.cs.bgu.ac.il/