A permutációk és kombinációk fogalmának illusztrálása a példákon keresztül
Ebben a cikkben megvitattunk néhány példát, amelyek megerősítik a tanulók alapját Permutációk és kombinációk a koncepció tisztázásához jól tudja, hogy a permutációk és a kombinációk egyaránt a lehetőségek kiszámításának folyamata, a különbség közöttük az, hogy a sorrend számít-e vagy sem, így itt a példák számának végighaladásával megkapjuk tisztázza a zavart, hol melyiket használja.
Azokat a módszereket, amelyek egy időben kis vagy egyenlő számú embert vagy tárgyat csoportosítanak, vagy kiválasztanak egy személycsoportból vagy a kellő megfontolásból a tervezési vagy kiválasztási sorrendben rendezendő tárgyakból ún. permutációk.
Minden egyes csoportot vagy kijelölést, amely az elemek egy részének vagy mindegyikének felvételével hozható létre, függetlenül attól, hogy hogyan vannak elrendezve, az úgynevezett kombináció.
Alap permutáció (nPr képlet) Példák
Itt n különböző objektumból álló csoportot hozunk létre, amelyek r-t választanak ki, és egyenértékűek r hely kitöltésével n dologból.
Az elrendezési módok száma = Az r hely betöltésének módjainak száma.
nPr = n. (n-1). (n-2)…(nr+1) = n/(nr)!
so nPr képlet kell használnunk
nPr = n!/(nr)!
1. példa: Van egy vonat, amelynek 7 ülőhelye üresen van, akkor hány irányba ülhet három utas.
megoldás: Itt n=7, r=3
tehát a szükséges módok száma=
nPr = n!/(nr)!
7P3 = 7!/(7-3)! = 4!.5.6.7/4! = 210
210 módon 3 utas ülhet.
Példa 2) Hányféleképpen választható 4 nőből 10 ember csapatvezetőnek?
megoldás: Itt n=10, r=4
tehát a szükséges módok száma=
nPr = n!/(nr)!
10P4 = 10!/(10-4)! = 6!7.8.9.10/6! = 5040
5040 módon 4 nő választható csapatvezetőnek.
Példa 3) Hány permutáció lehetséges 4 különböző betűből, amelyeket az ábécé huszonhat betűje közül választunk ki?
megoldás: Itt n=26, r=4
tehát a szükséges módok száma=
nPr = n!/(nr)!
26P4 = 26!/(26-4)! = 22!.23.24.25.26/22! = 358800
358800 4 módon XNUMX különböző betűpermutáció érhető el.
Példa 4) Hány különböző háromjegyű permutáció érhető el, tíz számjegyből 0-tól 9-ig kombinálva? (beleértve a 0-t és a 9-et is).
megoldás: Itt n=10, r=3
tehát a szükséges módok száma=
nPr = n!/(nr)!
10P3 = 10!/(10-3)! = 7!.8.9.10/7! = 720
A három számjegyű permutációk 720 módon állnak rendelkezésre.
Példa 5) Nézze meg, hány módon ítélheti oda egy bíró az első, második és harmadik helyet egy 18 versenyző részvételével zajló versenyen.
megoldás: Itt n=18, r=3
tehát a szükséges módok száma=
nPr = n!/(nr)!
18P3 = 18!/(18-3)! = 15!.16.17.18/15! = 4896
A 18 versenyző között 4896-féle módon ítélhet oda egy bíró egy versenyen 1., 2. és 3. helyezést.
Példa
6) Keresse meg a lehetőségek számát, 7 ember szervezheti meg magát egy sorban.
megoldás: Itt n=7, r=7
tehát a szükséges módok száma=
nPr = n!/(nr)!
7P7 = 7!/(7-7)! = 7!/0! = 5040
5040 különböző módon 7 fő szervezheti meg magát egy sorban.
Példák a kombináció alapján (nCr formula/ n válasszon k képletet)
Egyszerre r (0<=r<=n) n különböző objektumból felállítható kombinációk (kijelölések vagy csoportok) száma
Ezt közismerten nCr vagy n válasszon k képletet.
nCk = n!/k!(nk)!
Példák:
1) Ha három különböző színű ruhája van, piros, sárga és fehér, akkor találhat-e más kombinációt, ha bármelyik kettőt választanod kell?
Megoldás: itt n=3, r=2 ez 3 VÁLASSZON 2 probléma
nCr = n!/r!(nr)!
3C2 = 3!/2!(3-2)! = 2!.3/2!.1 = 3
3 különböző kombinációban bármelyik kettőt megkapod.
2) Hány különböző kombinációt lehet összeállítani, ha 4 különböző elemed van, és 2-t kell választanod?
Megoldás: itt n=4, r=2 ez 4 VÁLASSZON 2 probléma
nCr = n!/r!(nr)!
4C2 = 4!/2!(4-2)! = 2!.3.4/2!.2! = 6
6 különböző kombinációban bármelyik kettőt megkapod.
3) Hány különböző kombinációt lehet összeállítani, ha csak 5 karaktered van, és bármelyik 2-t ki kell választanod közülük?
Megoldás: itt n=5, r=2 ez 5 VÁLASSZON 2 probléma
nCr = n!/r!(nr)!
5C2 = 5!/2!(5-2)! = 3!.4.5/2!.3! = 10
10 különböző kombinációban bármelyik kettőt megkapod.
4) Keresse meg a kombinációk számát 6 válasszon 2-t.
Megoldás: itt n=6, r=2 ez 6 VÁLASSZON 2 probléma
nCr = n!/r!(nr)!
6C2 = 6!/2!(6-2)! = 4!.5.6/2!.4! = 15
15 különböző kombinációban bármelyik kettőt megkapod.
5) Keresse meg, hány módon választhat 3 tagot 5 különböző partner közül.
Megoldás: itt n=5, r=3 ez 5 VÁLASSZON 3 probléma
nCr = n!/r!(nr)!
5C3 = 5!/3!(5-3)! = 3!.4.5/3!.2! = 10
10 különböző kombinációban bármelyik hármat megkapod.
6) Doboz zsírkrétával, piros, kék, sárga, narancssárga, zöld és lila színben. Hány eltérő módon tudsz csak három színt rajzolni?
Megoldás: itt n=6, r=3 ez 6 VÁLASSZON 3 probléma
nCr = n!/r!(nr)!
6C3 = 6!/3!(6-3)! = 3!.4.5.6/3!.3.2.1 =20
20 különböző kombinációban bármelyik hármat megkapod.
7) Keresse meg a kombinációk számát 4-hez, válassza ki a 3-at.
Megoldás: itt n=4, r=3 ez 4 VÁLASSZON 3 probléma
nCr = n!/r!(nr)!
4C3 = 4!/3!(4-3)! = 3!.4/ 3!.1! = 4
4 különböző kombinációban bármelyik hármat megkapod.
8) Hány különböző ötfős bizottság választható 10 főből?
Megoldás: itt n=10, r=5 ez 10 VÁLASSZON 5 problémák
nCr = n!/r!(nr)!
10C5 = 10!/5!(10-5)! = 10!/5!.5! = 5!.6.7.8.9.10/5!.5.4.3.2 = 7.4.9 =252
Így 252 főből 5 különböző 10 fős bizottság választható.
9) Összesen 12 röplabda játékos van az egyetemen, amely egy 9 fős csapatból áll. Ha a kapitány következetes marad, hányféleképpen alakítható a csapat.
Megoldás: itt mivel a kapitányt már kiválasztottuk, így most 11 játékos közül 8-at kell kiválasztani n=11, r=8 ez 11 VÁLASSZON 8 probléma
nCr = n!/r!(nr)!
11C8 = 11!/8!(11-8)! = 11!/8!.3! = 8!.9.10.11/8!.3.2.1 = 3.5.11 = 165
Tehát ha a kapitány következetes marad, 165 módon lehet összeállítani a csapatot.
10) Keresse meg a kombinációk számát 10 válasszon 2-t.
Megoldás: itt n=10, r=2 ez 10 VÁLASSZON 2 probléma
nCr = n!/r!(nr)!
10C2 = 10!/2!(10-2)! = 10!/2!.8! = 8!.9.10/2!.8! = 5.9 = 45
45 különböző kombinációban bármelyik kettőt megkapod.
Látnunk kell azt a különbséget, hogy nCr azt a számot jelenti, ahányféleképpen lehet dolgokat kiválasztani r módokon, nPr pedig azt, hogy hány módon lehet a dolgokat rendezni r segítségével. Szem előtt kell tartanunk, hogy minden permutációs forgatókönyv esetén a dolgok elrendezésének módja nagyon fontos. Kombinációban azonban a sorrend nem jelent semmit.
Következtetés
Ebben a cikkben a permutációk és kombinációk példáival részletes leírást adunk néhány valós példával, cikksorozatban részletesen tárgyaljuk a különböző eredményeket és képleteket releváns példákkal, ha érdekli a további tanulmányozás. ez link.
Referencia
- SCHAUM VÁZLATA A DISZKRÉT MATEMATIKA elméletéről és problémáiról
- https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
- https://en.wikipedia.org/wiki/Combination
