A definíciók és alapfogalmak megbeszélése után sorra vesszük az összes eredményt és összefüggést permutáció és kombináció, ezektől függően különféle példák megoldásával ismerkedünk meg jobban a permutáció és a kombináció fogalmával.
Emlékezendő pontok (permutáció)
- A rendelési módok száma = nPr={n(n-1)(n-2)…..(n-r+1)((nr)!)}/(nr)!= n!/{(nr)!}
- Egyszerre n különböző objektum elrendezésének száma = nPn =n!
- nP0 =n!/n!=1
- P=n. n 1 XNUMXPr-1
- 0!=1
- 1/(-r)!=0 , (-r)!=∞ (r∈ N)
- Az r hely kitöltési módjainak száma, ahol minden hely kitölthető n objektum bármelyikével, A permutációk száma = Az r hely kitöltésének módjai =(n)r
Példa: Hány 999 és 10000 közötti szám generálható a 0, 2, 3,6,7,8 számok segítségével, ahol a számjegyeket nem szabad megkettőzni?
Megoldás: A 999 és 10000 közötti számok mindegyike négyjegyű.
A 0, 2, 3,6,7,8, XNUMX, XNUMX, XNUMX számjegyekből összeállított négyjegyű számok
De itt azok a számok is érintettek, amelyek 0-val kezdődnek. Tehát vehetjük azokat a számokat, amelyek három számjegyből állnak.
A kezdeti 0 számjegyet figyelembe véve a függőben lévő 3 hely elrendezésének módjai az öt számjegyből 2, 3,6,7,8, XNUMX, XNUMX, XNUMX 5P3 =5!/(5-3)!=2!*3*4*5/2!= 60
Tehát a szükséges számok = 360-60 = 300.
Példa: Hány könyvet lehet úgy kirakni egy sorban, hogy a két említett könyv ne legyen együtt?
Megoldás: n különböző könyv rendeléseinek száma =n!.
Ha két említett könyv mindig együtt van, akkor a módok száma =(n-1)!x2
Példa: Hányféleképpen osztják el 10 labdát két fiú között, az egyik kettőt, a másik nyolcat kap.
Megoldás: A 2-t kap, B
gets 8; 10!/2!8!=45
A 8-t kap, B
2-t kap; 10!/(8!2!)=45
ez azt jelenti, hogy 45+45=90 módon osztják el a labdát.
Példa: Keresse meg a „CALCUTTA” szó ábécéinek elrendezési számát.
Megoldás: Kötelező utak száma =8!/(2!2!2!)=5040
Példa: Húsz embert hívtak meg a bulira. Hányféleképpen ülhetnek ők és a házigazda egy kerek asztalhoz, ha a két embernek az őr két oldalán kell ülnie.
Megoldás: Összesen 20 + 1 = 21 fő lesz.
A két megadott személyt és a vendéglátót egy egységnek kell tekinteni, így marad 21 – 3 + 1 = 19 fő 18-ba rendezendő! módokon.
De a két adott személy a fogadó mindkét oldalán maga is elrendezhető 2-be! módokon.
Ezért van 2! *18! módokon.
Példa : Hányféleképpen készíthető füzér pontosan 10 virágból.
Megoldás: n virágfüzér (n-1) készíthető! módokon.
10 virágból 9!/2 különböző módon készíthető a füzér.
Példa: Keresse meg azt a négyjegyű számot, amelyet 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 alkothat, hogy minden szám 1 legyen.
Megoldás: A 1 helyből 4 első pozíció megszerzése után 3 hely tölthető be7P3 =7!/(7-3)!=5*6*7=210 ways.
De vannak olyan számok, amelyek negyedik számjegye nulla, így az ilyen típusú módok =6P2=6!/(6-2)!=20.
Összes mód = 7P3 - 6P2 \u210d 20-180 \uXNUMXd XNUMX
Tartsa szem előtt ezeket a pontokat a kombinációnál
- A kombinációk száma n tárgyak, amelyek közül p azonosak, vettek r egy időben van
npCr+npCr-1+npCr-2+……..+npC0 , ha r<=p és npCr+npCr-1+npCr-2+…..+npCrp , ha r>p
- n válasszon 0-t vagy n válassza n értéke 1, nC0 = nCn = 1, nC1 =n.
- nCr + nCr-1 = n + 1Cr
- Cx = nCy <=> x=y vagy x+y=n
- n. n 1 XNUMXCr-1 =(n-r+1) nCr-1
- nC0+nC2+nC4+….=nC1+nC3+nC5…..=2n 1 XNUMX
- 2n + 1C0+2n + 1C1+2n + 1C2+……+2n + 1Cn=22n
- nCn+n + 1Cn+n + 2Cn+n + 3Cn+………..+2n-1Cn=2nCn + 1
- A kombinációk száma n különböző dolgokat egyszerre véve. nCn=n!/{n!(nn)!}=1/(0)!=1
A folytatásban néhány példát fogunk megoldani
Példa: If 15Cr=15Cr+5 , akkor mi az r értéke?
Megoldás: Itt a fentieket fogjuk használni
nCr=nCnr az egyenlet bal oldalán
15Cr=15Cr+5 => 15C15-R =15Cr+5
=> 15-r=r+5 => 2r=10 => r=10/2=5
tehát az r értéke 5, ez magába foglalja a 15 VÁLASZTÁS 5-öt.
Példa: If 2nC3 : nC2 =44:3 keresse meg r értékét, hogy az értéke nCr 15 lesz.
Megoldás: Itt a megadott tag a 2n select 3 és n select 2 as aránya
a kombináció meghatározása szerint
(2n)!/{(2n-3)!x3!} X {2!x(n-2)!}/n!=44/3
=> (2n)(2n-1)(2n-2)/{3n(n-1)}=44/3
=> 4(2n-1)=44 =>2n=12 => n=6
Most 6Cr=15 => 6Cr=6C2 or 6C4 => r = 2, 4
így kiderül, hogy a probléma 6 válasszon 2-t vagy 6 válasszon 4-et
Példa: If nCr-1= 36 nCr=84 és nCr+1=126, akkor mi lenne r értéke?
megoldás: Itt nCr-1 / nCr =36/84 és nCr /nCr+1 =84/126 .
(n)!/{(n-r+1)!x(r-1)!} X {(r)!x(nr)!}/(n)!=36/84
r/(n-r+1)=3/7 => 7r=3n-3r+3
=> 3n-10r=-3, és hasonlóan a második adagból kapjuk
4n-10r=6
Megoldáskor azt kapjuk, hogy n=9, r=3
így a probléma az lett, hogy 9 válasszon 3-at, 9 válasszon 2-t és 9 válasszon 4-et.
Példa: A teremben mindenki kezet fog mindenkivel. A kézfogások száma összesen 66. Keresse meg a szobában tartózkodók számát.
nC2 =66 => n!/{2!(n-2)!}=66 => n(n-1)=132 => n=12
Megoldás: tehát n értéke 12 azt jelenti, hogy a helyiségben összesen 12 ember tartózkodik, a feladat pedig 12, válassz 2-t.
Példa: Egy futballtornán 153 mérkőzést játszottak le. Minden csapat egy meccset játszott. keresse meg a versenyen részt vevő csoportok számát.
Megoldás:
itt nC2 =153 => n!/{2!(n-2)} = 153 => n(n-1)/2=153 => n=18
így a tornán összesen 18 csapat vett részt és a kombináció 18 válasszon 2-t.
Példa A Deepawali szertartás alatt minden klubtag üdvözlőlapokat küld másoknak. Ha a klubnak 20 tagja van, hány módon váltanak üdvözlőkártyákat a tagok.
Megoldás: Mivel két tag kétféleképpen cserélhet kártyát egymással, így van 20, válassza ki a 2-t kétszer
2 x 20C2 =2 x (20!)/{2!(20-2)!}=2*190=380, az üdvözlőlapok cseréjének 380 módja lenne.
Példa: Hat plusz '+' és négy mínusz '-' szimbólumot olyan egyenes vonalba kell elhelyezni, hogy ne találkozzon két '-' szimbólum, keresse meg az összes módot .
Megoldás: A rendelés -+-+-+-+-+-+- formában történhet, a (-) táblák 7 szabad (hegyes) helyre tehetők.
Ezért szükséges számú mód = 7C4 = 35.
Példa: If nC21 =nC6 , akkor keresse meg nC15 =?
Megoldás: Adott nC21 =nC6
21+6=n => n=27
Ennélfogva 27C15 =27!/{15!(27-15)!} =17383860
melyik a 27 válassza a 15.
Következtetés
Néhány példát az összefüggésektől és az eredményektől függően veszünk, mivel számos példát vehetünk fel az egyes eredményekre, de a fontos dolog, amit itt szeretnék megmutatni, az volt, hogy hogyan használhatunk bármilyen eredményt a helyzettől függően, ha további olvasásra van szüksége, nézze meg a tartalmat, vagy ha bármilyen személyes segítség, akkor nyugodtan felveheti velünk a kapcsolatot a kapcsolódó tartalmak közül, amelyeket itt találhat:
A matematikával kapcsolatos további témákért kérjük, nézze meg ezt link.
SCHAUM VÁZLATA A DISZKRÉT MATEMATIKA elméletéről és problémáiról
