Tartalom
ferdeség
A görbe, amely az ábrázolt megfigyelések, az adott halmaz ferdeségét mutatja, ha a görbe alakja nem szimmetrikus. Vagyis a szimmetria hiánya az adott információ gráfjában az adott halmaz ferdeségét jelzi. A jobb vagy bal oldali faroktól függően a ferdeség pozitív vagy negatív ferdeségként ismert. Az ettől a ferdeségtől függő eloszlást pozitívan ferde eloszlásnak vagy negatívan ferde eloszlásnak nevezzük
Az átlag, módus és medián az eloszlás természetét mutatja, tehát ha a görbe természete vagy alakja szimmetrikus, akkor a centrális tendenciák ezen mértéke egyenlő, és a ferde eloszlások esetében a centrális tendenciák mértéke átlag>medián>módus vagy átlag szerint változik.
Variancia és ferdeség
| Variancia | ferdeség |
| A variabilitás mértéke a variancia segítségével határozható meg | A változékonyság iránya a ferdeség segítségével határozható meg |
| A variációs mérték alkalmazása az üzleti életben és a közgazdaságtanban történik | A ferdeség mértékének alkalmazása az orvostudományban és az élettudományokban történik |
A ferdeség mértéke
A gyakorisági eloszlás mértékének és irányának meghatározásához, akár pozitív, akár negatív, a ferdeség mértéke nagyon hasznos még a grafikon segítségével is, ismerjük a ferdeség pozitív vagy negatív természetét, de a nagysága nem lesz pontos grafikonon, ezért ezek a statisztikai mérőszámok megadják a szimmetria hiányának nagyságát.
A pontosság érdekében a ferdeség mértékének rendelkeznie kell
- Egységmentes, hogy a különböző eloszlások összehasonlíthatók legyenek, ha az egységek azonosak vagy eltérőek.
- A szimmetrikus eloszlás mértéke nulla, pozitív vagy negatív pozitív vagy negatív eloszlás esetén ennek megfelelően.
- A mérték értékének változnia kell, ha a negatív ferdeségtől a pozitív ferdeség felé haladunk.
A ferdeség mértékének két típusa van
- A ferdeség abszolút mértéke
- A ferdeség relatív mértéke
abszolútte A ferdeség mértéke
A szimmetrikus eloszlásban az átlag, a módusz és a medián megegyezik, így a ferdeség abszolút mértékében ezeknek a központi tendenciáknak a különbsége adja meg az eloszlás szimmetriájának mértékét és a pozitív vagy negatív ferde eloszlás jellegét, de a különböző egységek abszolút mértéke nem hasznos lehet két információhalmaz összehasonlításakor.
Az abszolút ferdeség a használatával érhető el
- Ferdeség (Sk)=Átlag-Medián
- Ferdeség (Sk)=Átlagos mód
- Ferdeség (Sk)=(Q3-Q2)-(Q2-Q1)
A ferdeség relatív mértéke
A relatív ferdeségi mértéket a ferdeség két vagy több eloszlásbeli ferdeségének összehasonlítására használják a variáció hatásának kiküszöbölésével, a ferdeség relatív mértékét ferdeségi együtthatónak nevezik, a következők a ferdeség fontos relatív mértékei.
- Karl Pearson ferdeségi együtthatója
Ezt a módszert leggyakrabban a ferdeség kiszámítására használják
[latex]S_k=\frac{Átlagos mód}{\sigma}[/latex]
ez a ferdeségi együttható pozitív eloszlás esetén pozitív, negatív eloszlás esetén negatív és szimmetrikus eloszlás esetén nulla. Ez a Karl Pearson-féle együttható általában +1 és -1 között van. Ha a mód nincs definiálva, akkor a Karl Pearson-együttható kiszámításához a következő képletet használjuk
[latex]S_k=\frac{3(Átlagos mód)}{\sigma}[/latex]
Ha ezt az összefüggést használjuk, akkor Karl Pearson együtthatója +3 és -3 közé esik.
2. Bowleys ferdeségi együttható | A ferdeség kvartilis mértéke
A Bowley-féle ferdeségi együtthatóban a kvartilis eltéréseket használták a ferdeség meghatározásához, így ezt a ferdeség kvartilis mértékének is nevezik.
[latex]S_k=\frac{(Q_3-Q_2)-(Q_2-Q_1)}{(Q_3-Q_1)}
\\=\frac{(Q_3-2Q_2+Q_1)}{(Q_3-Q_1)}[/latex]
vagy úgy is írhatjuk
[latex]S_k=\frac{(Q_3-M)-(M-Q_1)}{(Q_3-Q_1)}
\\=\frac{(Q_3-2M+Q_1)}{(Q_3-Q_1)}[/latex]
ez az együttható értéke nulla, ha az eloszlás szimmetrikus, és az értéke pozitív eloszlásnál pozitív, negatív eloszlásnál negatív. S értékek -1 és +1 között van.
3. Kelly-féle ferdeségi együttható
Ennél a ferdeségmérésnél a százalékos és decilisek a ferdeség számítására szolgálnak, az együttható
[latex]S_k=\frac{(P_{90}-P_{50})-(P_{50}-P_{10})}{(P_{90}-P_{10})}
\\=\frac{(P_{90}-2P_{50}+P_{10})}{(P_{90}-P_{10})}[/latex]
ahol ezek a ferdeségek a 90, 50 és 10 percentiliseket érintik, és decilisek használatával felírhatjuk úgy
[latex]S_k=\frac{(D_9-D_5)-(D_5-D_1)}{(D_9-D_1)}
\\=\frac{(D_9-2D_5+D_1)}{(D_9-D_1)}[/latex]
amelyben 9,5 és 1 decilit használtak.
4. β és γ ferdeségi együttható| A ferdeség mérése pillanatok alapján.
A centrális nyomatékok felhasználásával a ferdeség mértéke a β ferdeségi együttható így definiálható
[latex]\beta_1=\frac{{\mu_3}^2}{{\mu_2}^3}[/latex]
ez a ferdeségi együttható nulla értéket ad a szimmetrikus eloszlásnak, de ez az együttható nem mondja meg kifejezetten az irányt sem pozitív, sem negatív, így ez a hátrány kiküszöbölhető a béta négyzetgyökével.
[latex]\gamma_1=\pm \sqrt{\beta_1}=\frac{\mu_3}{{\mu_2}^{3/2}}=\frac{\mu_3}{\sigma^3}[/latex]
ez az érték adja meg a pozitív és a negatív eloszlás pozitív és negatív értékét.
Példák a ferdeségre
- A következő információk felhasználásával keresse meg a ferdeségi együtthatót
| munkabér | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 |
| Emberek száma | 12 | 18 | 35 | 42 | 50 | 45 | 20 | 8 |
Megoldás: A ferdeségi együttható meghatározásához Karl Pearson-féle együtthatót használunk
| frekvencia | középérték (x) | fx | fx2 | |
| 0-10 | 12 | 5 | 60 | 300 |
| 10-20 | 18 | 15 | 270 | 4050 |
| 20-30 | 35 | 25 | 875 | 21875 |
| 30-40 | 42 | 35 | 1470 | 51450 |
| 40-50 | 50 | 45 | 2250 | 101250 |
| 50-60 | 45 | 55 | 2475 | 136125 |
| 60-70 | 20 | 65 | 1300 | 84500 |
| 70-80 | 8 | 75 | 600 | 45000 |
| 230 | 9300 | 444550 |
a karl pearson ferdeségi együttható az
[latex]\begin{array}{l}
\text { Karl személy ferdeségi együtthatója }=J=\frac{\text { Mean }-\text { Mode }}{S . D .}\\
\begin{array}{l}
\text { Mean, } \quad \bar{x}=\frac{1}{N} \sum_{i} f_{i} x_{i}, \quad \text { Mode }=l+\frac{c\ left(f_{1}-f_{0}\right)}{\left(f_{1}-f_{0}\right)+\left(f_{1}-f_{2}\right)} \\
\text { Szórás }=\sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i} f_{i} x_{i}^{2}-\bar{x}^{2}}
\end{tömb}
\end{tömb}[/latex]
[latex]\begin{array}{c}
\text { Átlag }=\frac{9300}{230}=40.43 \\
\text { SD }=\sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i} f_{i} x_{i}^{2}-\bar{x}^{2}}=\sqrt{\ frac{1}{230}(444550)-\left[\frac{9300}{230}\jobbra]^{2}}=17.27 .
\end{tömb}[/latex]
a modális osztály a maximum gyakori osztály 40-50 és a megfelelő frekvenciák
[latex]f_{0}=42, f_{1}=50,f_{2}=45[/latex]
így
[latex]\text { Hence, Mode }=40+\frac{10(50-42)}{(50-42)+(50-45)}=46.15[/latex]
tehát a ferdeségi együttható az lesz
[latex]=\frac{40.43-46.15}{17.27}=-0.3312[/latex]
ami a negatív ferdeséget mutatja.
2. Határozza meg 150 hallgató frekvenciaeloszlási jegyeinek ferdeségi együtthatóját bizonyos vizsgákon
| jelek | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 |
| frekvencia | 10 | 40 | 20 | 0 | 10 | 40 | 16 | 14 |
Megoldás: A ferdeségi együttható kiszámításához szükségünk van az adott információhoz az átlagra, móduszra, mediánra és szórásra, így ezek kiszámításához a következő táblázatot alkotjuk
| osztály intervallum | f | középérték x | vö | d'=(x-35)/10 | f*d' | f*d'2 |
| 0-10 | 10 | 5 | 10 | -3 | -30 | 90 |
| 10-20 | 40 | 15 | 50 | -2 | -80 | 160 |
| 20-30 | 20 | 25 | 70 | -1 | -20 | 20 |
| 30-40 | 0 | 35 | 70 | 0 | 0 | 0 |
| 40-50 | 10 | 45 | 80 | 1 | 10 | 10 |
| 50-60 | 40 | 55 | 120 | 2 | 80 | 160 |
| 60-70 | 16 | 65 | 136 | 3 | 48 | 144 |
| 70-80 | 14 | 75 | 150 | 4 | 56 | 244 |
| összesen=64 | összesen=828 |
most az intézkedések lesznek
[latex]\begin{array}{l}
Medián =\mathrm{L}+\frac{\left(\frac{\mathrm{N}}{2}-\mathrm{C}\right)}{\mathrm{f}} \times \mathrm{h} =40+\frac{75-70}{10} \times 10=45
\\Mean (\overline{\mathrm{x}})=\mathrm{A}+\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{k}} \mathrm{fd}^{ \prime}}{\mathrm{N}} \times \mathrm{h}=35+\frac{64}{150} \times 10=39.27
\end{tömb}[/latex]
és a
[latex]\begin{aligned}
Szórás }(\sigma) &=\mathrm{h} \times \sqrt{\frac{\sum \mathrm{fd}^{\prime 2}}{\mathrm{~N}}-\left(\frac {\sum \mathrm{fd}}{\mathrm{N}}\right)^{2}} \\ &=10 \times \sqrt{\frac{828}{150}-\left(\frac{64 }{150}\jobbra)^{2}}
\\&=10 \times \sqrt{5.33}=23.1 \end{igazított}[/latex]
ezért az eloszlás ferdeségi együtthatója az
[latex]S_k=\frac{3(átlag-medián)}{\sigma}
\\=\frac{3(39.27-45}{23.1}=-0.744[/latex]
3. Határozzuk meg az eloszlás átlagát, szórását és ferdeségi együtthatóját, amelyeknek az 5 körüli első négy momentuma 2,20,40 és 50!
Megoldás: mivel az első négy pillanat úgy adott
[latex]\begin{array}{c}
\mu_{1}^{\prime}(5)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} f_{i}\left(x_{i}-5\right)= 2; \mu_{2}^{\prime}(5)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} f_{i}\left(x_{i}-5\right)^ {2}=20 ; \\
\mu_{3}^{\prime}(5)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} f_{i}\left(x_{i}-5\right)^ {3}=40 \quad \text { és } \quad \mu_{4}^{\prime}(5)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} f_{i }\left(x_{i}-5\right)^{4}=50 . \\
\mu_{1}^{\prime}(5)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} f_{i} x_{i}-5=2 \\
\Jobbra \bar{x}=2+5=7
\end{tömb}[/latex]
hogy megírhassuk
[latex]\begin{array}{l}
\mu_{r}=\mu_{r}^{\prime}(A)-{ }^{r} C_{1} \mu_{r-1}^{\prime}(A) \mu_{1} ^{\prime}(A)+{ }^{r} C_{2} \mu_{r-2}^{\prime}(A)\left[\dot{\mu}_{1}^{\ prím}(A)\jobb]^{2}-\lpontok .+(-1)^{r}\left[\mu_{1}^{\prím}(A)\jobb]^{r} \\
\text { Ennélfogva } \mu_{2}=\mu_{2}^{\prime}(5)-\left[\mu_{1}^{\prime}(5)\right]^{2}=20 -4=16 \\
\mu_{3}=\mu_{3}^{\prime}(5)-3 \mu_{2}^{\prime}(5) \mu_{1}^{\prime}(5)+2\left[\mu_{1}^{\prime}(5)\right]^{3} \\
40-3 \szer 20 \szer 2+2 \szer 2^{3}=-64
\end{tömb}[/latex]
tehát a ferdeségi együttható az
[latex]\beta_{1}=\frac{\mu_{3}^{2}}{\mu_{2}^{3}}=\frac{(-64)^{2}}{(16)^{3}}=-1[/latex]
Ppozitívan ferde eloszlásdefiníció|Jobbra ferde eloszlás jelentése
Minden olyan eloszlás, amelyben a centrális tendenciák mérőszáma, azaz az átlag, a módusz és a medián pozitív értékekkel rendelkezik, és az eloszlásban lévő információ hiányzik a szimmetriából.
Más szóval a pozitívan torzított eloszlás az az eloszlás, amelyben a központi tendenciák mértéke így következik be átlag>medián>mód az eloszlás görbéjének jobb oldalán.
Ha felvázoljuk az eloszlás információit, a görbe jobboldali lesz, ami miatt a pozitívan ferde eloszlást más néven ismerjük. jobbra ferde eloszlás.
A fenti görbéből jól látható, hogy a módusz a legkisebb mértéke pozitívan vagy jobbra torzított eloszlásban, az átlag pedig a központi tendenciák legnagyobb mérőszáma.
pozitívan ferde eloszlás példa|példa jobbra ferde eloszlásra
- Pozitívan ferde vagy jobbra ferde eloszlás esetén, ha a ferdeségi együttható 0.64, keresse meg az eloszlás módusát és mediánját, ha az átlag és a szórás 59.2, illetve 13.
Megoldás: A megadott értékek átlag=59.2, sk= 0.64 és σ=13 tehát a relációt használva
[latex]S_k=\frac{mean-mode}{\sigma}
\\0.64=\frac{59.2-\text { Mode }}{13}
\\Mód =59.20-8.32=50.88
\\Mode =3 Medián -2 Átlag
\\50.88=3 Medián -2(59.2)
\\Median =\frac{50.88+118.4}{3}=\frac{169.28}{3}=56.42[/latex]
2. Határozza meg annak a pozitívan ferde eloszlásnak a szórását, amelynek ferdeségi együtthatója 1.28, átlag 164 és módus 100?
Megoldás: Ugyanígy a megadott információ és a pozitívan ferde eloszlás együttható képletének felhasználásával
[latex]S_k=\frac{mean-mode}{\sigma}
\\1.28=\frac{164-100}{\sigma}
\\\sigma=\frac{64}{1.28}=50
[/latex]
tehát a szórás 50 lesz.
3. A negyedéves eltérésekben, ha az első és harmadik negyedévek összeadása 200, mediánja 76, keresse meg a gyakorisági eloszlás harmadik kvartilisének értékét, amely pozitívan ferde 1.2-es ferdeségi együtthatóval?
Solúció: A harmadik kvartilis megtalálásához a ferdeségi együttható és a negyedéves összefüggést kell használnunk, mivel az adott információ
[latex]S_k=1.2
\\Q_1+Q_3=200
\\Q_2=76[
\\S_{k}=\frac{\left(Q_{3}+Q_{1}-2 Q_{2}\right)}{\left(Q_{3}-Q_{1}\right)}
\\1.2=\frac{(200-2 \times 76)}{\left(Q_{3}-Q_{1}\right)}
\\Q_{3}-Q_{1}=\frac{48}{1.2}=40
\\Q_{3}-Q_{1}=40
[/latex]
az adott kapcsolatunkból
[latex]Q_1+Q_3=200
\\Q_1=200-Q_3[/latex]
ebből a két egyenletből felírhatjuk
[latex]Q_{3}-Q_{1}=40
\\ Q_{3}-(200-Q_3)=40
\\2Q_3=240
\\Q_3=120[/latex]
így a harmadik kvartilis értéke 120.
4. Keresse meg a ferdeségi együtthatót a következő információkhoz!
| x | 93-97 | 98-102 | 103-107 | 108-112 | 113-117 | 118-122 | 123-127 | 128-132 |
| f | 2 | 5 | 12 | 17 | 14 | 6 | 3 | 1 |
Megoldás: itt a Bowley-féle ferdeségi mértéket fogjuk használni kvartilisek használatával
| osztály | frekvencia | kumulatív gyakoriság |
| 92.5-97.5 | 2 | 2 |
| 97.5-102.5 | 5 | 7 |
| 102.5-107.5 | 12 | 19 |
| 107.5-112.5 | 17 | 36 |
| 112.5-117.5 | 14 | 50 |
| 117.5-122.5 | 6 | 56 |
| 122.5-127.5 | 3 | 59 |
| 127.5-132.5 | 1 | 60 |
| N = 60 |
Ahogy Nth/4=15th osztály megfigyelése az 102.5-107.5 , Nth/2=30th osztály megfigyelése az 107.5-112.5 és 3Nth/4=45th osztály megfigyelése az 112.5-117.5 so
[latex]Q_{1}=l_{1}+\frac{\left(\frac{N}{4}-m_{1}\right) c_{1}}{f_{1}}=102.5+\frac{\left(\frac{60}{4}-7\right) 5}{12}=105.83[/latex]
és a
[latex]Q_{3}=l_{3}+\frac{\left(\frac{3 N}{4}-m_{3}\right) c_{3}}{f_{3}}=112.5+\frac{\left(\frac{3 \times 60}{4}-36\right) 5}{14}=115.714[/latex]
a medián pedig az
[latex]Q_{2}=l_{2}+\frac{\left(\frac{N}{2}-m_{2}\right) c_{2}}{f_{2}}=107.5+\frac{\left(\frac{60}{2}-19\right) 5}{17}=110.735[/latex]
így
[latex]Q=\frac{Q_{3}+Q_{1}-2 M}{Q_{3}-Q_{1}}=\frac{115.714+105.83-2 \times 110.735}{115.714-105.83}=0.0075[/latex]
ami pozitívan ferde eloszlás.
hol az átlag pozitívan ferde eloszlásban
Tudjuk, hogy a pozitívan ferde eloszlás jobbra ferde eloszlás, így a görbe jobbra farkú, ennek jelentése a legtöbb információ közelebb lesz a farokhoz, így a pozitívan ferde eloszlásban az átlag közelebb van a farokhoz, és mivel pozitívan vagy jobbra ferde eloszlási átlag>medián>mód, így az átlag a medián után lesz.
Jobbra ferde eloszlási átlagmódus|kapcsolat az átlagos medián és a módusz között pozitívan ferde eloszlásban
Pozitívan ferde vagy jobbra ferde eloszlásban a központi tendenciák mértéke átlag, medián és módus sorrendben van átlag>medián>mód, mivel a módus a legkisebb, majd a medián, a legnagyobb központi tendencia pedig az az átlag, amely a jobb oldali görbe esetében közelebb van az információs görbe végéhez.
így az átlagos medián és a módusz közötti kapcsolat pozitívan ferde eloszlásban növekvő sorrendben van, és e két központi tendencia különbségének segítségével kiszámítható a ferdeségi együttható, így az átlag, a medián és a módusz is megadja a ferdeség jellegét.
pozitívan ferde eloszlási grafikon|pozitívan ferde eloszlási görbe
A grafikon akár sima görbe, akár hisztogram formájában a diszkrét információhoz, a természet jobboldali, mivel az információ középértéke a görbe farka körül gyűlik össze, mivel az eloszlás ferdesége az eloszlás alakját tárgyalja. Mivel a nagy mennyiségű adat a görbétől balra van, a jobb oldali görbe vége pedig hosszabb.
néhány pozitív eloszlású információ grafikonja a következő
a fenti grafikonokból jól látható, hogy a görbéből minden szempontból hiányzik a szimmetria.
pozitívan ferde pontszámeloszlás
Bármilyen eloszlásban, ha a pontszámok pozitívan torzulnak, az a pozitívan torzított eloszlást követő pontszám átlag>medián> módusban, és az eloszlási pontszám görbéje, amelynek jobboldali görbéje van, amelyben a pontszámot a nagy érték befolyásolja.
Ezt az eloszlástípust pozitívan ferde pontszámeloszlásnak nevezik. Ennek az eloszlásnak minden tulajdonsága és szabálya megegyezik a pozitívan ferde vagy jobbra ferde eloszlással.
pozitív ferde frekvencia eloszlás
Pozitívan ferde frekvenciaeloszlásban az információ gyakorisága átlagosan kisebb az eloszláshoz képest, így a pozitív ferde frekvencia eloszlás nem más, mint a pozitívan ferde vagy jobbra ferde eloszlás, ahol a görbe jobbra ferde görbe.
pozitív kontra negatív ferde eloszlás|pozitívan ferde eloszlás vs negatívan ferde eloszlás
| pozitív ferde eloszlás | negatív ferde eloszlás |
| A pozitívan torzított eloszlásban az információ úgy oszlik el, hogy az átlag a legnagyobb, a módus pedig a legkisebb | A negatívan torzított eloszlásban az információ úgy oszlik el, hogy az átlag a legkisebb, a módusz pedig a legnagyobb |
| a görbe jobb farkú | a görbe balra farkú |
| átlag>medián>mód | átlagos |
GYIK
Honnan tudhatod, hogy egy eloszlás pozitívan vagy negatívan ferde?
A ferdeség pozitív, ha átlag>medián>mód, és negatív, ha átlagos
Az eloszlási görbéből azt is meg tudjuk ítélni, hogy a görbe jobboldali-e pozitív, és ha a görbe balra, akkor negatív
Hogyan határozható meg a pozitív ferdeség
Kiszámítjuk a ferdeségi együttható mértékét, ha pozitív, akkor a ferdeség pozitív, vagy az eloszlási görbét ábrázolva, ha jobboldali, akkor pozitív, vagy az átlag>medián>mód ellenőrzésével
Mit jelent a pozitív ferdeség
A pozitív ferdeség azt jelenti, hogy az eloszlás pontszáma közelebb van a nagy értékekhez, és a görbe jobbra nyúlik, és az átlag a legnagyobb mérték.
Hogyan kell értelmezni a jobbra ferde hisztogramot
ha a hisztogram jobbra ferde, akkor az eloszlás pozitívan ferde eloszlás ahol átlag>medián>mód
A jobbra ferde eloszlásokban mi a kapcsolat az átlag medián és a módus között
A kapcsolat átlag>medián>módú
Következtetés:
A ferdeség a statisztika fontos fogalma, amely megadja a valószínűség eloszlásában jelenlévő aszimmetriát vagy szimmetria hiányát a pozitív vagy negatív értéktől függően pozitívan ferde eloszlásnak vagy negatívan ferde eloszlásnak minősül, a fenti cikkben a rövid fogalom példákkal. , ha további olvasásra van szüksége, olvassa el
https://en.wikipedia.org/wiki/skewness
A matematikával kapcsolatos további bejegyzésekért kérjük, kövesse az oldalunkat Matematika oldal
