Diszkrét véletlenszerű változó és matematikai elvárás-II
Ahogy már ismerjük a diszkrét valószínűségi változó, ez az a valószínűségi változó, amely megszámlálható számú lehetséges értéket vesz fel egy sorozatban. A diszkrét valószínűségi változókhoz kapcsolódó két fontos fogalom a diszkrét valószínűségi változó valószínűsége és az eloszlásfüggvény. A nevet olyan valószínűségi és eloszlási függvényre korlátozzuk, mint pl.
Valószínűségi tömegfüggvény (pmf)
A Valószínűségi tömegfüggvény a diszkrét valószínűségi változó valószínűsége, tehát bármely diszkrét valószínűségi változók x1, x2, x3, x4,……, xk a megfelelő valószínűségek P(x1), P(x2), P(x3), P(x4)……, P(xk) a megfelelő valószínűségi tömegfüggvények.
Pontosabban X=a esetén P(a)=P(X=a) a pmf
Innentől kezdve használjuk valószínűségi tömegfüggvény diszkrét valószínűségi változókhoz valószínűség. A valószínűség minden valószínűségi jellemzője nyilvánvalóan alkalmazható a valószínűségi tömegfüggvényre, például a pozitivitás és az összes pmf összegzése egy lesz stb.
Kumulatív elosztási függvény (cdf)/elosztási függvény
A következőképpen definiált eloszlási függvény
F(x)=P(X<=x)
a valószínűségi tömegfüggvénnyel rendelkező diszkrét valószínűségi változó esetében a valószínűségi változó kumulatív eloszlásfüggvénye (cdf).
és a matematikai elvárás ilyen valószínűségi változóra volt
most látjuk a matematikai várakozások néhány eredményét
- Ha x1, x2, x3, x4,….. a diszkrét valószínűségi változók megfelelő valószínűséggel P(x1), P(x2), P(x3), P(x4) … a valós értékű g függvényre vonatkozó elvárás ez lesz
Példa: a következő valószínűségi tömegfüggvényekhez keresse meg az E(X3)
Itt a g(X)=X3
Szóval,
E (X3) = (-1)3 <em>0.2 + (0)3</em> 0.5 + (1)3 * 0.3
E (X3) = 0.1
Hasonló módon bármelyik n-edik sorrendre írhatunk
Amit n-edik pillanatként ismerünk.
2. Ha a és b állandók, akkor
E[aX + b]=aE[X] + b
Ezt könnyen megérthetjük így
=aE[X] + b
Variancia az Elvárás tekintetében.
A μ-vel jelölt átlag esetén a var(X)-vel vagy σ-vel jelölt diszkrét X valószínűségi változó várható szórása
Var(X) =E[(X- μ)2]
és ezt tovább egyszerűsíthetjük, mint
Var(X) =E[(X- μ)2]
= E [X2] – 2μ2 + μ2
= E [X2] – μ2
ez azt jelenti, hogy a varianciát felírhatjuk a valószínűségi változó négyzetének és a valószínűségi változó várható négyzetének különbségeként.
azaz Var (X)= E[X2] – (E[X])2
Példa: kockadobáskor számítsuk ki a szórást.
Megoldás: itt tudjuk, hogy mikor dobják a kockakockát, az egyes arcok valószínűségei lesznek
p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6
így a variancia számításához megtaláljuk a valószínűségi változó elvárását és négyzetét as
E[X]=1.(1/6)+2.(1/6)+3.(1/6)+4.(1/6)+5.(1/6)+6.(1/6)=(7/2)
VOLT2] =12.(1/6)+22.(1/6)+32.(1/6)+42.(1/6)+52.(1/6)+62.(1/6) =(1/6)(91)
és éppen az as szórást kaptuk
Var (X) =E[X2] – (E[X])2
so
Var (X)=(91/6) -(7/2)2 = 35/12
Az egyik fontos azonosság a variancia szempontjából is
- Az a és b tetszőleges konstansokra van
Var(aX + b) =a2 Var(X)
Ezt könnyen meg tudjuk mutatni
Var(aX + b) =E[(aX+ b -aμ-b)2 ]
=E[a2(X – μ)2]
=a2 E[(X-μ)2]
=a2 Var(X)
Bernoulli Véletlenszerű változó
James Bernoulli svájci matematikus határozza meg a Bernoulli valószínűségi változó olyan valószínűségi változóként, amelynek sikere vagy kudarca csak két eredménye a véletlenszerű kísérletnek.
azaz Ha az eredmény sikeres X=1
Ha az eredmény hiba X=0
Tehát a Bernoulli valószínűségi változó valószínűségi tömegfüggvénye az
p(0) = P{X=0}=1-p
p(1) =P{X=1}=p
ahol p a siker valószínűsége, 1-p pedig a sikertelenség valószínűsége.
Itt vehetjük az 1-p=q-t is, ahol q a meghibásodás valószínűsége.
Mivel ez a fajta valószínűségi változó nyilvánvalóan diszkrét, ezért ez az egyik diszkrét valószínűségi változó.
Példa: Érme feldobása.
Binomiális véletlenszerű változó
Ha egy véletlenszerű kísérlethez, amelynek csak sikere vagy kudarca van, n kísérletet végzünk, így minden alkalommal vagy sikert, vagy kudarcot kapunk, akkor az ilyen n próba véletlenszerű kísérlet kimenetelét reprezentáló X valószínűségi változót a következőképpen ismerjük: Binomiális valószínűségi változó.
Más szóval, ha p az egyetlen Bernoulli-próba sikerének valószínűségi tömegfüggvénye, és q=1-p a sikertelenség valószínűsége, akkor az 'x vagy i' esemény bekövetkezésének valószínűsége n kísérletben
or
Példa: Ha hatszor feldobunk két érmét, és a fej megszerzése siker, a fennmaradó esetek pedig kudarcok, akkor annak valószínűsége
hasonló módon kiszámíthatjuk bármely olyan kísérletre.
A Binomiális valószínűségi változó rendelkezik a névvel binomiális mert ez a kiterjesztését jelenti
Ha n=1 helyére tesszük, akkor ez a Bernoulli-féle valószínűségi változó lesz.
Példa: Ha öt érmét dobnánk fel, és a végeredményt függetlenül vesszük, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy a fejek száma megtörténik.
Itt, ha az X valószínűségi változót vesszük a fejek számának, akkor az n=5 binomiális valószínűségi változóhoz fordul, és a siker valószínűsége ½
Tehát a binomiális valószínűségi változó valószínűségi tömegfüggvényét követve megkapjuk
Példa:
Egy bizonyos cégnél a gyártásból 0.01 a hibásodás valószínűsége. A cég a terméket 10 db-os kiszerelésben gyártja és értékesíti, vásárlóinak pénz-visszafizetési garanciát vállal arra, hogy a 1 termékből legfeljebb 10 hibás, tehát az eladott termékcsomag hány százalékát kell a cégnek kicserélnie.
Ha X a hibás termékeket reprezentáló valószínűségi változó, akkor binomiális típusú, n=10 és p=0.01, akkor a csomag visszatérésének valószínűsége
Példa: (szerencsekerék/ szerencsekerék) Egy adott szerencsejátékban a szállodában a játékos az 1-től 6-ig terjedő számok bármelyikére fogad, három kockát dob, és ha a szám megjelenik, a játékos egyszer, kétszer vagy háromszor fogad. a játékos annyi egységet jelent, ha egyszer megjelenik, akkor 1 egységet, ha két kockán, akkor 2 egységet, ha három kockán, akkor 3 egységet, ellenőrizze a valószínűség segítségével, hogy a játék fair-e a játékos számára vagy sem.
Ha feltételezzük, hogy nem lesz tisztességtelen eszköz a kocka és a csalás technikákkal, akkor a kocka kimenetelét függetlenül feltételezve minden kocka sikerének valószínűsége 1/6, és a kudarc
1-1/6, így ez lesz a binomiális valószínűségi változó példája, ahol n=3
így először kiszámoljuk a nyerési valószínűségeket úgy, hogy x-et rendelünk hozzá a játékosok nyeréséhez
Most, hogy kiszámítsuk a játékot, igazságos-e a játékos számára, vagy sem, kiszámítjuk a valószínűségi változó elvárásait
E[X] = -125+75+30+3/216
= -17/216
Ez azt jelenti, hogy 216 a valószínűsége annak, hogy a játékos elveszíti a játékot, ha 17-szor játszik.
Következtetés:
Ebben a cikkben a diszkrét valószínűségi változók, a valószínűségi tömegfüggvény és a variancia néhány alapvető tulajdonságát tárgyaltuk. Ezen kívül láttunk néhány diszkrét valószínűségi változót is. A folytonos valószínűségi változó megkezdése előtt igyekszünk lefedni a diszkrét valószínűségi változó összes típusát és tulajdonságait, ha további olvasást szeretne, akkor menjen végig:
Schaum valószínűségi és statisztikai körvonalai
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability
További matematikai témákért kérjük, kövesse ez a kapcsolat
