Permutáció és kombináció: 7 teljes gyors tény

A permutáció és a kombináció tulajdonságai

  Amikor a permutációról és a kombinációról beszélünk, mivel kiválasztással és elrendezéssel foglalkozunk sorrendi megfontolásokkal vagy anélkül, a helyzettől függően különböző típusok és tulajdonságok léteznek. permutáció és kombináció, ezeket a permutációk és kombinációk közötti különbségeket itt indokolt példákkal magyarázzuk meg.

permutációk ismétlés nélkül

  Ez a normál permutáció, amely n objektumot rendez egyszerre r, azaz nPr

n Pr=n!/(nr)!

n különböző objektum rendeléseinek száma egyszerre n Pn =n!

Ezen kívül van

nP0 = n!/n!=1

nPr =n.n 1 XNUMXPr-1

0 = 1

1/(-r)!= 0 vagy (-r)!=∞

permutációk ismétléssel

 Permutációk (elrendezések) száma a különböző elemekhez, egyszerre r-t véve, ahol minden elem egyszer, kétszer, háromszor, …….. r-szer annyi minden elrendezésben = Az r terület kitöltésének módjai, ahol mindegyik tétel az n elem bármelyikével kitölthető.

Image2 R helyszám
Tulajdonságai Permutáció és kombináció: permutációk ismétléssel

A permutációk száma = A kitöltési módok száma r helyek = (n)r

Azon rendelések száma, amelyekből n objektum segítségével rendezhető p egyforma (és egyfajta) q egyforma (és másfajta), r hasonló (és másfajta) és a többi különálló is nPr =n!/(p!q!r!)

Példa:

Hányféleképpen osztható ki 5 alma négy fiú között, ha minden fiú elvihet egy vagy több almát.      

Megoldás: Ez a példa az ismétléssel történő permutációra, ahogyan tudjuk, hogy ilyen esetekre van

A permutációk száma = A kitöltési módok száma r helyek =nr

A szükséges módok száma 45 =10, Mivel minden alma 4 módon osztható el.

Példa: Keresse meg a szavak számát a MATEMATIKA szó betűivel rendezheti átcsoportosítással.

Megoldás: Itt megfigyelhetjük, hogy 2 M, 2 A és 2T van, ez a példa az ismétléssel történő permutációra

=n!/(p!q!r!)

 A szükséges módok száma =11!/(2!2!2!)=4989600

Példa: Hányféleképpen egyenlő a farok száma a fejek számával, ha hat egyforma érme van egymás után elrendezve.

Megoldás: Itt ezt figyelhetjük meg

fejek száma=3

A farok száma =3

És mivel az érmék azonosak, ez a példa a permutációra az =n!/(p!q!r!) ismétléssel.

Kötelező utak száma =6!/(3!3!)= 720/(6X6)=20

Körkörös permutáció:

A körkörös permutációnál a legfontosabb az objektum sorrendje a többiek tiszteletben tartása.

Tehát körkörös permutációval az egyik objektum pozícióját állítjuk be, a többi objektumot pedig minden irányban elrendezzük.

A körkörös permutáció kétféleképpen oszlik meg:

(i) Kör alakú permutáció, ahol az óramutató járásával megegyező és az óramutató járásával ellentétes beállítások javasoltak különböző permutáció, pl. az emberek asztal körüli leültetésének elrendezése.

(ii) Kör alakú permutáció, ahol az óramutató járásával megegyező és az óramutató járásával ellentétes beállítások jelennek meg ugyanaz a permutáció, pl. bizonyos gyöngyök elrendezése nyaklánc létrehozásához.

Az óramutató járásával megegyező és azzal ellentétes elrendezés

Ha az óramutató járásával ellentétes és az óramutató járásával megegyező irányú sorrend és mozgás az nem más pl. gyöngykötés nyakláncban, virágkötészet füzérben stb., akkor a körkörös permutációk száma n a különálló elemek az (n-1)!/2

  1. A körkörös permutációk száma n különböző elemhez, egyszerre r-t véve, amikor az óramutató járásával megegyező és az óramutató járásával ellentétes sorrendet tekintjük különböző by nPr /r
  2. Az óramutató járásával megegyező és az óramutató járásával ellentétes sorrendben az n különböző elem körkörös permutációinak száma, egyszerre r értékkel nem más ból ből nPr /2r
  3. n különböző objektum körpermutációinak száma (n-1)!
  4. A módok száma, amellyel n különböző fiúk ülhetnek egy kör alakú asztal köré (n-1)!
  5. A módok száma, amellyel n különböző drágaköveket lehet beállítani, hogy nyakláncot képezzenek, ez (n-1)!/2

Példa:

Hányféleképpen helyezhető el öt kulcs a gyűrűben

Megoldás:

Mivel az óramutató járásával megegyező és az óramutató járásával ellentétes irányú gyűrű esetén megegyezik.

Ha az óramutató járásával ellentétes és az óramutató járásával megegyező irányú sorrend és mozgás az nem más akkor a körkörös permutációinak száma n különálló tételek

=(n-1)!/2

Kötelező utak száma = (5-1)!/2= 4!/2=12     

Példa:

Mennyi lenne a megállapodások száma, ha egy bizottság tizenegy tagja ülne egy kerekasztalhoz úgy, hogy az elnök és a titkár mindig együtt üljön.

Megoldás:

A körkörös permutáció alapvető tulajdonsága szerint

N különböző dolog körpermutációinak száma (n-1)!

Mivel két pozíció fix, így van

Kötelező számú mód (11-2)!*2=9!*2=725760

Példa: Hányféleképpen étkezhet 6 férfi és 5 nő egy kerek asztalnál, ha két nő nem ülhet együtt?

Megoldás: A körkörös permutáció alapvető tulajdonsága szerint.

N különböző dolog körpermutációinak száma (n-1)!

6 férfi egy kerekasztalhoz való elhelyezésének módjainak száma = (6 – 1)! =5!

A permutáció és a kombináció tulajdonságai
A permutáció és a kombináció tulajdonságai: Példa

Most a nők 6-ba rendezhetők! módok és a módok teljes száma = 6! × 5!

Ismétlés nélküli kombinációk

Ez a szokásos kombináció, amely „A kombinációk (kijelölések vagy csoportok) száma, amelyekből létrehozható n különböző tárgyakat vett r egyszerre is nCr =n!/(nr)!r!

Is    nCr =nCrr

              n Pr /r! =n!/(nr)! =nCr

Példa: Keresse meg a 12 megüresedett állás betöltésének lehetőségét, ha 25 jelölt van, és ebből öt a tervezett kategóriából van, feltéve, hogy 3 üresedés van fenntartva az SC jelöltjei számára, míg a többi mindenki számára nyitva áll.

Megoldás: Mivel 3 üres álláshelyet 5 jelentkezőből töltenek be 5 C3  módon (azaz 5 VÁLASSZON 3-at), és most a fennmaradó jelöltek száma 22, a fennmaradó helyek pedig 9, tehát 22C9 (22 9 KIVÁLASZTÁS) A kijelölés a következőben lehetséges 5 C3  X 22C9 ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}

5 C3  X 22C9 = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22!/(9!X13!)}=4974200

A kiválasztás tehát 4974200 módon történhet. 

Példa: A választáson 10 jelölt és három betöltetlen hely van. egy választó hányféleképpen adhatja le szavazatát?

Megoldás: Mivel 3 jelölt számára csak 10 szabad hely van, ez a probléma a 10 VÁLASSZON 1-et, a 10 a CHOOSE 2-t és a 10 a CHOOSE 3 példát,

A választópolgár szavazhat 10C1+10C2+10C3 = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+120= 175 ways.

 Tehát 175 módon szavazhatnak a választópolgárok.

Példa:Egy 9 fős szobában 4 szék található, amelyek közül az egyik egyszemélyes vendég egy meghatározott székkel. Hányféleképpen ülhetnek?

Megoldás: Mivel 3 szék választható 8C3 és akkor 3 személy 3-ban elhelyezhető! módokon.

3 széken 8 fő ülhet le 8C3 (azaz 8 KIVÁLASZT 3) elrendezést

=8C3 X3! = {8! /3!(8-3)!} X3!

=56X6=336

336 módon tudnak ülni.

Példa: Öt férfi és 4 nő számára 6 fős csoportot alakítanak ki. Hányféleképpen lehet ezt megtenni, hogy több férfi legyen a csoportban.

Megoldás: Itt a probléma különböző kombinációkat tartalmaz tetszik 5 VÁLASSZ 5, 5 VÁLASSZ 4, 5 VÁLASSZ 3-at férfiaknak, nőknek pedig 4 VÁLASSZON 1-et, 4 VÁLASSZON 2-T és 4 VÁLASSZON 3-at az alábbiak szerint

1 nő és 5 férfi =4C1 X 5C5 ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)!}=4

           2 nő és 4 férfi =4C2 X 5C4 = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5-4)!}=30

           3 nő és 3 férfi =4C3 X 5C3 = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3!(5-3)!} =40

    Tehát az összes út = 4+30+40=74.

Példa: Az a szám, hogy 12 fiú tud utazni három autóban úgy, hogy minden autóban 4 fiú legyen, feltételezve, hogy három konkrét fiú nem megy ugyanabban az autóban.

Megoldás: Először hagyjon ki három fiút, a maradék 9 fiú minden autóban 3 lehet. Ezt megteheti a 9 CHOOSE 3-ban, azaz 9C3 módokon,

A három fiút háromféleképpen lehet elhelyezni egy-egy autóban. Ezért az utak teljes száma = 3X9C3.

={9!/3!(9-3)!}X3= 252

tehát 252 módon helyezhetők el.

Példa: Hányféleképpen jött ki 2 zöld és 2 fekete golyó egy zacskóból, amelyben 7 zöld és 8 fekete golyó volt?

Megoldás: Itt a táska 7 zöldet tartalmaz, ebből 2-t kell választanunk, tehát 7 KIVÁLASZT 2 feladatot és 8 fekete golyót ebből kell 2-t választanunk, tehát 8 VÁLASSZ 2-t.

Ezért a Kötelező szám = 7C2 X 8C2 = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!}=21X28=588

így 588 módon választhatunk ki ebből a táskából 2 zöldet és 2 feketét.

Példa: Az angol szavak tizenkét különböző karakterét tartalmazzák. Ezekből a betűkből 2 betűrendes név alakul ki. Hány szót lehet létrehozni legalább egy betű megismétlésével.

Megoldás: itt 2 betű közül 12 betűs szót kell választanunk, így 12 VÁLASZT 2 feladatot.

A 2 betűből álló szavak száma, amelyekben a betűk többször ismétlődnek = 122

        De nem. szavak közül, ha két különböző betű van a 12-ből =12C2 = {12!/2!(12-2)!} =66

        Kötelező szavak száma = 122-66=144-66=78.

Példa: 12 pont van a síkon, ahol hat egyvonalas, akkor ezeknek a pontoknak az összekapcsolásával hány egyenes húzható.

Megoldás: Egy síkban 12 ponthoz az egyenes kialakításához 2 pontra van szükségünk hat kollineáris ponthoz, tehát ez a 12 CHOOSE 2 és 6 CHOOSE 2 feladat.

A sorok száma = 12C2 - 6C2 +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2)!}+1 =66-15+1=52

Tehát 52 különböző módon lehet vonalakat húzni.

Példa: Keresse meg a számot, hogyan lehet egy 6 tagú kabinetet 8 úriemberből és 4 hölgyből úgy felállítani, hogy a kabinet legalább 3 hölgyből álljon.

Megoldás: A bizottság megalakításához 3-2 férfi és nő, valamint 4 férfi és 8 nő közül választhatunk, így a probléma a következőt tartalmazza: 3 KIVÁLASZD 4-at, 3 KIVÁLASZD 8-at, 2 VÁLASSZ 4-T és 4 VÁLASSZ XNUMX-et.

Kétféle szekrény alakítható ki

        (i) 3 férfiból és 3 hölgyből áll

        (ii) 2 férfival és 4 nővel

        Lehetséges sz. módokon = (8C3 X 4C3) + (8C2 X4C4)= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252      

Tehát 252 módon alakíthatunk ki ilyen szekrényt.

       Íme néhány példa, ahol összehasonlíthatjuk a helyzetet nPr vs nCr permutáció esetén a dolgok szervezésének módja a fontos. Kombinációban azonban a sorrend nem jelent semmit.

Következtetés

A permutáció és a kombináció rövid leírása ismétlődő és nem ismétlődő alapképlettel és a fontos eredményeket valós példák formájában közöljükEbben a cikksorozatban részletesen megvitatjuk a különböző eredményeket és képleteket releváns példákkal, ha folytatni szeretné az olvasást:

SCHAUM VÁZLATA A DISZKRÉT MATEMATIKA elméletéről és problémáiról

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

További matematikai cikkért kövesse ezt Link