Pontszakaszok vagy arányképletek: 41 kritikus megoldás

Alapvető példák a „pontszakaszok vagy arány” képletekre

I. eset

21. feladat: Határozzuk meg annak a P(x, y) pontnak a koordinátáit, amely a két pontot (1,1) és (4,1) összekötő szakaszt 1:2 arányban osztja fel.

Megoldás:   Már tudjuk,

Ha egy pont P(x, y) osztja az AB szakaszt belsőleg az arányban m:n,ahol a koordináták A és a B faliórái (x1,y1) és a (x2,y2) illetőleg. Ekkor P koordinátái 

és a

(Lásd a képletek táblázatát)

Ezzel a képlettel azt mondhatjuk, (x1,y1) ≌(1,1) azaz   x1= 1, y1=1;

(x2,y2)≌(4,1) azaz   x2= 4, y2=1   

és a

m:n  ≌ 1:2 azaz   m = 1, n = 2

Grafikus ábrázolás

Ezért       

x =

( m & n értékeinek megadása   

Vagy x =1*4+2*1/3 ( értékeinek elhelyezése x1 &  x2 is )

Vagy x = 4 + 2 / 3

Vagy x = * 6 3

 Or, x = 2

Hasonlóképpen kapjuk,  

y =

( m & n értékeinek megadása     y =

Vagy y =(1*1+2*1)/3 ( értékeinek elhelyezése y1 &  y2 is )

Vagy y = 1*1+2/3

Vagy y =  3 / 3

Vagy y = 1

 Ezért x=2 és y=1 a P pont koordinátái, azaz (2,1).   (Ans)

A további megválaszolt problémákat az alábbiakban adjuk meg a további gyakorláshoz a fenti 21. feladatban leírt eljárással: -

22 probléma: Határozzuk meg annak a pontnak a koordinátáit, amely a két pontot (0,5) és (0,0) összekötő szakaszt 2:3 arányban elválasztja.

                     Ans. (0,2)

23 probléma: Keresse meg azt a pontot, amely az (1,1) és (4,1) pontokat 2:1 arányban összekötő szakaszt belsőleg elválasztja.

Ans. (3,1)

24 probléma: Keresse meg azt a pontot, amely a két pontot (3,5,) és (3,-5,) összekötő szakaszon fekszik, osztva 1:1 arányban

Ans. (3,0)

25 probléma: Keresse meg annak a pontnak a koordinátáit, amely a két pontot (-4,1) és (4,1) összekötő szakaszt 3:5 arányban osztja el

Válasz. (-1,1)

26 probléma: Keresse meg azt a pontot, amely belsőleg osztja a két pontot (-10,2) és (10,2) összekötő szakaszt arányban 1.5 : 2.5.

_____________________________

II. Eset

27. problémák:   Határozzuk meg annak a Q(x,y) pontnak a koordinátáit, amely a két (2,1) és (6,1) pontot összekötő szakaszt kívülről 3:1 arányban osztja el.

Megoldás:  Már tudjuk,

Ha egy pont Q(x,y) osztja az AB szakaszt külsőleg az arányban m:n,ahol koordináták of A és a B faliórái (x1,y1) és a (x2,y2) rendre,akkor a P pont koordinátái 

és a

(Lásd a képletek táblázatát)

Ezzel a képlettel azt mondhatjuk,  (x1,y1) ≌(2,1) azaz  x1= 2, y1=1;

                                                    (x2,y2)≌(6,1) azaz   x2= 6, y2=1 és   

                                                    m:n  ≌ 3:1 azaz    m=3,n=1   

Pont szakaszok
Grafikus ábrázolás

Ezért 

x =

( m & n értékeinek megadása     x  =

Vagy x =(3*6)-(1*2)/2 ( értékeinek elhelyezése x1 &  x2 is )

Vagy x18-2/2

Vagy x  = 16/2

Vagy x = 8

Hasonlóképpen kapjuk,  

y =

( m & n értékeinek megadása     y =

Vagy y =

( értékeinek elhelyezése y1 &  y2 is )

Vagy y = 3-1/2

Vagy y =  2 / 2

Vagy y = 1

 Ezért x=8 és y=1 a Q pont koordinátái, azaz (8,1).   (Ans)

A további megválaszolt problémákat az alábbiakban adjuk meg a további gyakorláshoz a fenti 27. feladatban leírt eljárással: -

28 probléma: Keresse meg azt a pontot, amely a két pontot (2,2) és (4,2) összekötő szakaszt arányosan osztja 3 : 1.

Ans. (5,2)

29 probléma: Keresse meg azt a pontot, amely a két pontot (0,2) és (0,5) összekötő szakaszt arányosan osztja 5: 2.

Ans. (0,7)

30 probléma: Keresse meg azt a pontot, amely a két pontot (-3,-2) és (3,-2) összekötő szakasz kiterjesztett részén fekszik az arányban 2 : 1.

Ans. (9,-2)

________________________________

ügy-III

31. problémák:  Keresse meg a két pontot (-1,2) és (1,2) összekötő szakasz felezőpontjának koordinátáit!

Megoldás:   Már tudjuk,

Ha egy pont R(x,y) legyen az összekötő szakasz felezőpontja Fejsze1,y1) és a B(x2,y2).Ezután a koordináták R faliórái

és a

(Lásd a képletek táblázatát)

A III. eset az I. eset formája, míg m=1 és n=1

Ezzel a képlettel azt mondhatjuk,  (x1,y1) ≌(-1,2) azaz  x1= -1, y1=2 és

                                                    (x2,y2)≌(1,2) azaz   x2= 1, y2=2

Grafikus ábrázolás

Ezért

x =

( értékeinek elhelyezése x1 &  x2  in x =

Vagy x  = 0 / 2

Vagy x = 0

Hasonlóképpen kapjuk, 

y =2 + 2 / 2 ( értékeinek elhelyezése y1 &  y2  in y =

Vagy y 4 / 2

Vagy y = 2

Ezért x=0 és y=2 az R felezőpont koordinátái, azaz (0,2).   (Ans)

A további megválaszolt problémákat az alábbiakban adjuk meg a további gyakorláshoz a fenti 31. feladatban leírt eljárással: -

32 probléma: Keresse meg a két pontot (-1,-3) és (1,-4) összekötő egyenes felezőpontjának koordinátáit!

Ans. (0,3.5)

33 probléma: Keresse meg annak a felezőpontnak a koordinátáit, amely elválasztja a két pontot (-5,-7) és (5,7) összekötő szakaszt.

Ans. (0,0)

34 probléma: Keresse meg annak a felezőpontnak a koordinátáit, amely elválasztja a két pontot (10,-5) és (-7,2) összekötő szakaszt.

Ans. (1.5, -1.5)

35 probléma: Keresse meg annak a felezőpontnak a koordinátáit, amely elválasztja a két pontot (3,√2) és (1,3) összekötő szakaszt.2).

Ans. (2,2√2)

36 probléma: Keresse meg a két pontot (2+3i,5) és (2-3i,-5) összekötő szakaszt elválasztó felezőpont koordinátáit!

Ans. (2,0)

Megjegyzés: Hogyan ellenőrizhető, hogy egy pont oszt-e egy egyenest (hossz=d egység) belül vagy kívül az m:n arányban

Ha (m×d)/(m+n) + (n×d)/(m+n) = d , akkor belső osztás és a

Ha ( m×d)/(m+n) – ( ​​n×d)/(m+n) = d , akkor külső osztás

____________________________________________________________________________

Alapvető példák a „háromszög területe” képletekre

I. eset 

37. problémák: Mekkora a két csúcsú háromszög területe A (1,2) és a B (5,3) és a magassághoz képest AB be 3 egységek a koordinátasíkban?

 Megoldás:   Már tudjuk,

If "H" legyen a magasság és „B” akkor legyen a háromszög alapja  A háromszög területe = ½ × b × h

(Lásd a képletek táblázatát)

Grafikus ábrázolás

Ezzel a képlettel azt mondhatjuk, 

 h = 3 egység és b = √ [(x2-x1)2+(y2-y1)2 ] azaz  √ [(5-1)2+(3-2)2 ]

                    Vagy b = √ [(4)2+ (1)2 ]

                    Vagy b = √ [(16+1 ]

                    Vagy  b = √ 17 egység

Ezért a háromszög szükséges területe az   = ½ × b × h azaz

= ½ × (√ 17 ) × 3 egységek

= 3⁄2 × (√ 17 ) egység (Ans.)

______________________________________________________________________________________

II. Eset

38. problémák:Mekkora a csúcsokkal rendelkező háromszög területe A(1,2), B(5,3) és C(3,5) a koordinátasíkban?

 Megoldás:   Már tudjuk,

If  Fejsze1,y1) B(x2,y2) és a C(x3,y3) legyenek egy háromszög csúcsai,

A háromszög területe  =|½[x1 (y2-  y3) + x2 (y3-  y2) + x3 (y2- Igen1)]|

(Lásd a képletek táblázatát)

Ezzel a képlettel azt kapjuk, 

                                              (x1,y1) ≌(1,2) azaz   x1= 1, y1=2;

                                              (x2,y2) ≌(5,3) azaz   x2= 5, y2=3 és

                                              (x3,y3) ≌(3,5) azaz    x3= 3, y3=5

Grafikus ábrázolás

Ezért a háromszög területe = |½[x1 (y2-  y3) + x2 (y3-  y1) + x3 (y1-y2)]| azaz 

= |½[1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)]|  négyzetméter 

= |½[ 1x (-2) + (5 × 2) + (3 × 1)]|    négyzetméter

= |½[-2 + 10 + 3]|    négyzetméter

= x 11|     négyzetméter

= 11⁄2     négyzetméter

= 5.5      négyzetméter         (Válasz.)

A további megválaszolt problémákat az alábbiakban adjuk meg a további gyakorláshoz a fenti problémáknál leírt eljárással: -

39 probléma: Keresse meg annak a háromszögnek a területét, amelynek csúcsai (1,1), (-1,2) és (3,2)!

Ans. 2 négyzetméter

40 probléma: Keresse meg a háromszög területét, amelynek csúcsai (3,0), (0,6) és (6,9)!

Ans. 22.5 négyzetméter

41 probléma: Keresse meg a háromszög területét, amelynek csúcsai (-1,-2), (0,4) és (1,-3)!

Ans. 6.5 négyzetméter

42 probléma: Keresse meg a háromszög területét, amelynek csúcsai (-5,0,), (0,5) és (0,-5)!                                 Ans. 25 négyzetméter

 _______________________________________________________________________________________

A matematikával kapcsolatos további bejegyzésekért kérjük, kövesse az oldalunkat Matematika oldal.

Lapozzon a lap tetejére