Point Sections Or Ratio Formulae: 41 Critical Solutions -

Alapvető példák a „pontszakaszok vagy arány” képletekre

I. eset

21. feladat: Határozzuk meg annak a P(x, y) pontnak a koordinátáit, amely a két pontot (1,1) és (4,1) összekötő szakaszt 1:2 arányban osztja fel.

Megoldás: Már tudjuk,

Ha egy pont P(x, y) osztja az AB szakaszt belsőleg az arányban m:n,ahol a koordináták A és a B faliórái (x₁,y₁) és a (x₂,y₂) illetőleg. Ekkor P koordinátái

és a

(Lásd a képletek táblázatát)

Ezzel a képlettel azt mondhatjuk, (x₁,y₁) ≌(1,1) azaz x₁= 1, y₁=1;

(x₂,y₂)≌(4,1) azaz x₂= 4, y₂=1

és a

m:n ≌ 1:2 azaz m = 1, n = 2

Ezért

x =

( m & n értékeinek megadása

Vagy x =1*4+2*1/3 ( értékeinek elhelyezése x₁ & x₂ is )

Vagy x = 4 + 2 / 3

Vagy x = * 6 3

Or, x = 2

Hasonlóképpen kapjuk,

y =

( m & n értékeinek megadása y =

Vagy y =(1*1+2*1)/3 ( értékeinek elhelyezése y₁ & y₂ is )

Vagy y = 1*1+2/3

Vagy y = 3 / 3

Vagy y = 1

Ezért x=2 és y=1 a P pont koordinátái, azaz (2,1). (Ans)

A további megválaszolt problémákat az alábbiakban adjuk meg a további gyakorláshoz a fenti 21. feladatban leírt eljárással: -

22 probléma: Határozzuk meg annak a pontnak a koordinátáit, amely a két pontot (0,5) és (0,0) összekötő szakaszt 2:3 arányban elválasztja.

Ans. (0,2)

23 probléma: Keresse meg azt a pontot, amely az (1,1) és (4,1) pontokat 2:1 arányban összekötő szakaszt belsőleg elválasztja.

Ans. (3,1)

24 probléma: Keresse meg azt a pontot, amely a két pontot (3,5,) és (3,-5,) összekötő szakaszon fekszik, osztva 1:1 arányban

Ans. (3,0)

25 probléma: Keresse meg annak a pontnak a koordinátáit, amely a két pontot (-4,1) és (4,1) összekötő szakaszt 3:5 arányban osztja el

Válasz. (-1,1)

26 probléma: Keresse meg azt a pontot, amely belsőleg osztja a két pontot (-10,2) és (10,2) összekötő szakaszt arányban 1.5 : 2.5.

_____________________________

II. Eset

27. problémák: Határozzuk meg annak a Q(x,y) pontnak a koordinátáit, amely a két (2,1) és (6,1) pontot összekötő szakaszt kívülről 3:1 arányban osztja el.

Megoldás: Már tudjuk,

Ha egy pont Q(x,y) osztja az AB szakaszt külsőleg az arányban m:n,ahol koordináták of A és a B faliórái (x₁,y₁) és a (x₂,y₂) rendre,akkor a P pont koordinátái

és a

(Lásd a képletek táblázatát)

Ezzel a képlettel azt mondhatjuk, (x₁,y₁) ≌(2,1) azaz x₁= 2, y₁=1;

(x₂,y₂)≌(6,1) azaz x₂= 6, y₂=1 és

m:n ≌ 3:1 azaz m=3,n=1

Ezért

x =

( m & n értékeinek megadása x =

Vagy x =(3*6)-(1*2)/2 ( értékeinek elhelyezése x₁ & x₂ is )

Vagy x = 18-2/2

Vagy x = 16/2

Vagy x = 8

Hasonlóképpen kapjuk,

y =

( m & n értékeinek megadása y =

Vagy y =

( értékeinek elhelyezése y₁ & y₂ is )

Vagy y = 3-1/2

Vagy y = 2 / 2

Vagy y = 1

Ezért x=8 és y=1 a Q pont koordinátái, azaz (8,1). (Ans)

A további megválaszolt problémákat az alábbiakban adjuk meg a további gyakorláshoz a fenti 27. feladatban leírt eljárással: -

28 probléma: Keresse meg azt a pontot, amely a két pontot (2,2) és (4,2) összekötő szakaszt arányosan osztja 3 : 1.

Ans. (5,2)

29 probléma: Keresse meg azt a pontot, amely a két pontot (0,2) és (0,5) összekötő szakaszt arányosan osztja 5: 2.

Ans. (0,7)

30 probléma: Keresse meg azt a pontot, amely a két pontot (-3,-2) és (3,-2) összekötő szakasz kiterjesztett részén fekszik az arányban 2 : 1.

Ans. (9,-2)

________________________________

ügy-III

31. problémák: Keresse meg a két pontot (-1,2) és (1,2) összekötő szakasz felezőpontjának koordinátáit!

Megoldás: Már tudjuk,

Ha egy pont R(x,y) legyen az összekötő szakasz felezőpontja Fejsze₁,y₁) és a B(x₂,y₂).Ezután a koordináták R faliórái

és a

(Lásd a képletek táblázatát)

A III. eset az I. eset formája, míg m=1 és n=1

Ezzel a képlettel azt mondhatjuk, (x₁,y₁) ≌(-1,2) azaz x₁= -1, y₁=2 és

(x₂,y₂)≌(1,2) azaz x₂= 1, y₂=2

Ezért

x =

( értékeinek elhelyezése x₁ & x₂ in x =

Vagy x = 0 / 2

Vagy x = 0

Hasonlóképpen kapjuk,

y =2 + 2 / 2 ( értékeinek elhelyezése y₁ & y₂ in y =

Vagy y = 4 / 2

Vagy y = 2

Ezért x=0 és y=2 az R felezőpont koordinátái, azaz (0,2). (Ans)

A további megválaszolt problémákat az alábbiakban adjuk meg a további gyakorláshoz a fenti 31. feladatban leírt eljárással: -

32 probléma: Keresse meg a két pontot (-1,-3) és (1,-4) összekötő egyenes felezőpontjának koordinátáit!

Ans. (0,3.5)

33 probléma: Keresse meg annak a felezőpontnak a koordinátáit, amely elválasztja a két pontot (-5,-7) és (5,7) összekötő szakaszt.

Ans. (0,0)

34 probléma: Keresse meg annak a felezőpontnak a koordinátáit, amely elválasztja a két pontot (10,-5) és (-7,2) összekötő szakaszt.

Ans. (1.5, -1.5)

35 probléma: Keresse meg annak a felezőpontnak a koordinátáit, amely elválasztja a két pontot (3,√2) és (1,3) összekötő szakaszt.√2).

Ans. (2,2√2)

36 probléma: Keresse meg a két pontot (2+3i,5) és (2-3i,-5) összekötő szakaszt elválasztó felezőpont koordinátáit!

Ans. (2,0)

Megjegyzés: Hogyan ellenőrizhető, hogy egy pont oszt-e egy egyenest (hossz=d egység) belül vagy kívül az m:n arányban

Ha (m×d)/(m+n) + (n×d)/(m+n) = d , akkor belső osztás és a

Ha ( m×d)/(m+n) – ( n×d)/(m+n) = d , akkor külső osztás

____________________________________________________________________________

Alapvető példák a „háromszög területe” képletekre

I. eset

37. problémák: Mekkora a két csúcsú háromszög területe A (1,2) és a B (5,3) és a magassághoz képest AB be 3 egységek a koordinátasíkban?

Megoldás: Már tudjuk,

If "H" legyen a magasság és „B” akkor legyen a háromszög alapja A háromszög területe = ½ × b × h

(Lásd a képletek táblázatát)

Ezzel a képlettel azt mondhatjuk,

h = 3 egység és b = √ [(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²] azaz √ [(5-1)²+(3-2)²]

Vagy b = √ [(4)²+ (1)²]

Vagy b = √ [(16+1]

Vagy b = √ 17 egység

Ezért a háromszög szükséges területe az = ½ × b × h azaz

= ½ × (√ 17 ) × 3 egységek

= 3⁄2 × (√ 17 ) egység (Ans.)

______________________________________________________________________________________

II. Eset

38. problémák:Mekkora a csúcsokkal rendelkező háromszög területe A(1,2), B(5,3) és C(3,5) a koordinátasíkban?

Megoldás: Már tudjuk,

If Fejsze₁,y₁) B(x₂,y₂) és a C(x₃,y₃) legyenek egy háromszög csúcsai,

A háromszög területe =|½[x₁ (y₂- y₃) + x₂ (y₃- y₂) + x₃ (y₂- Igen₁)]|

(Lásd a képletek táblázatát)

Ezzel a képlettel azt kapjuk,

(x₁,y₁) ≌(1,2) azaz x₁= 1, y₁=2;

(x₂,y₂) ≌(5,3) azaz x₂= 5, y₂=3 és

(x₃,y₃) ≌(3,5) azaz x₃= 3, y₃=5

Ezért a háromszög területe = |½[x₁ (y₂- y₃) + x₂ (y₃- y₁) + x₃ (y₁-y₂)]| azaz

= |½[1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)]| négyzetméter

= |½[ 1x (-2) + (5 × 2) + (3 × 1)]| négyzetméter

= |½[-2 + 10 + 3]| négyzetméter

= |½ x 11| négyzetméter

= 11⁄2 négyzetméter

= 5.5 négyzetméter (Válasz.)

A további megválaszolt problémákat az alábbiakban adjuk meg a további gyakorláshoz a fenti problémáknál leírt eljárással: -

39 probléma: Keresse meg annak a háromszögnek a területét, amelynek csúcsai (1,1), (-1,2) és (3,2)!

Ans. 2 négyzetméter

40 probléma: Keresse meg a háromszög területét, amelynek csúcsai (3,0), (0,6) és (6,9)!

Ans. 22.5 négyzetméter

41 probléma: Keresse meg a háromszög területét, amelynek csúcsai (-1,-2), (0,4) és (1,-3)!

Ans. 6.5 négyzetméter

42 probléma: Keresse meg a háromszög területét, amelynek csúcsai (-5,0,), (0,5) és (0,-5)! Ans. 25 négyzetméter

_______________________________________________________________________________________

A matematikával kapcsolatos további bejegyzésekért kérjük, kövesse az oldalunkat Matematika oldal.